Показать ещё...
Первое издание этой книжки вышло в 1947 году. Предлагаемое второе издание печатается без изменений. Несмотря на то, что за прошедший период времени вышло большое количество литературы по комбинаторной топологии, эта книжка не утрачивает своих прежних преимуществ: сжатости и тщательности изложения, отличаясь благоприятным образом от более современных, но зато более обширных и абстрактных книг. Она содержит ряд основных понятий теории гомологии и заканчивается изложением важнейшего результата комбинаторной топологии – теоремы о числе неподвижных точек отображения. Книжка написана на основе полугодового курса комбинаторной топологии, который я несколько раз читал в Московском государственном университете. Формально у читателя предполагаются лишь незначительные знания из теории функций действительного переменного, теории матриц и теории коммутативных групп; в действительности же для понимания книги требуется значительная математическая культура. Существенным недостатком книги является полное отсутствие в ней примеров, которые так нужны для уяснения геометрического содержания комбинаторной топологии. В книге используются некоторые весьма немногочисленные сведения относительно метрических пространств, которые теперь обычно включаются в курс анализа. Сведения эти можно почерпнуть, например, из книги Ж.Дьедонне "Основы современного анализа". Сведения из теории коммутативных групп, употребляемые в настоящей книге, можно найти в моей книге "Непрерывные группы". Л.Понтрягин
Основы комбинаторной топологии были заложены на грани прошлого и нашего столетий великим французским математиком Пуанкаре, который черпал постановки математических задач из естествознания. В большей части его работ важную роль играет геометрическая интерпретация аналитических задач и геометрическая интуиция. Исходя из задач анализа, Пуанкаре пришел к мысли о необходимости изучения геометрических и в первую очередь топологических свойств многомерных многообразий. Первоначально Пуанкаре считал, что многообразие задается системой уравнений и неравенств относительно координат многомерного евклидова пространства. В таком многообразии он выделял подмногообразия меньшего числа измерений также при помощи уравнений. Уже при такой трактовке выявились те основные понятия, которые играют теперь главную роль в комбинаторной топологии. Если в n-мерном многообразии М имеется замкнутое подмногообразие Z меньшей размерности r, r<n, то возможны два случая: 1) в М существует ограниченное (r+1)-мерное подмногообразие С, границей которого служит Z; 2) в М не существует подмногообразия С с границей Z. В первом случае говорят, что Z гомологично нулю в М, и пишут: Z 0 в М. Во втором случае говорят, что Z негомологично нулю в М. Пусть, например, М – область плоскости, заключенная между двумя концентрическими окружностями. Если за Z принять теперь окружность, концентрическую с исходными и расположенную в М, то очевидно, что Z не может служить границей в М и, следовательно, не гомологично нулю в М. Если же принять за Z окружность, которая ограничивает круг, целиком расположенный в М, то Z 0 в М. Из приведенного примера ясно видна связь понятия гомологии с анализом. Если в области М задана аналитическая функция, то интеграл от нее по контуру Z равен нулю в случае, когда Z 0 в М, и может быть не равен нулю в противном случае. Здесь же видно, что контур Z целесообразно рассматривать с заданным на нем направлением, так как от направления зависит знак интеграла. Аналогичная связь с интегрированием имеет место и в многомерном случае (формула Стокса); на место направления контура Z тогда становится ориентация многообразия М. Уже после первой работы Пуанкаре обнаружилось, что аналитическая трактовка многообразий – задание их при помощи уравнений – приводит к ряду затруднений и может служить источником ошибок. Тогда Пуанкаре ввел новый прием изучения многообразий, – он стал разбивать их на элементарные куски – симплексы, правильно примыкающие друг к другу. Этот прием в полной мере сохраняет свое значение до сих пор и является основным в комбинаторной топологии. Благодаря ему понятие гомологии было формализовано, а гомологические инварианты многообразия, введенные Пуанкаре, – числа Бетти и коэффициенты кручения – получили точный логический смысл. Пуанкаре, введший числа Бетти и коэффициенты кручения многообразий, не сумел, однако, доказать их топологическую инвариантность; заслуга эта принадлежит американским математикам Александеру и Веблену. Они же установили, что вся теория гомологии применима не только к многообразиям, но и к геометрическим объектам более общего типа, именно к полиэдрам. После Пуанкаре теория гомологии развивалась очень интенсивно. К ней присоединилась теория пересечений Лефшеца, которая была известна Пуанкаре лишь в зачаточном виде. Лефшецом и Хопфом были доказаны теоремы о неподвижных точках отображений. Александером была открыта новая теорема двойственности, которая вместе с теоремой двойственности Пуанкаре послужила базой для широкого развития топологических теорем двойственности, в чем большое участие приняли советские математики. Также при участии советских математиков была построена теория верхних гомологии. Наконец, Александров нашел пути применения теории гомологий к теоретико-множественным объектам и тем установил синтез комбинаторной и теоретико-множественной топологии. В настоящее время теория гомологии продолжает развиваться, но главной задачей, как я считаю, является теперь применение ее к решению геометрических проблем, в постановку которых самое понятие гомологии не входит. Некоторые из них решены полностью, – такова задача о нахождении суммы индексов неподвижных точек при отображении полиэдра в себя. Решение других находится в зачаточном состоянии, – такова задача о классификации непрерывных отображений одного полиэдра в другой. В настоящее время широко понимаемая теория гомологии является основным хорошо развитым аппаратом комбинаторной топологии, и знание ее для занятий комбинаторной топологией совершенно необходимо. В предлагаемой книге дается изложение основ теории гомологии и некоторых ее приложений. В главе I определяются понятия комплекса и его групп Бетти. В главе II доказывается топологическая инвариантность групп Бетти. В главе III даются приложения теории гомологии: строятся гомологические инварианты непрерывного отображения одного полиэдра в другой и устанавливается некоторое достаточное условие существования неподвижной точки при отображении полиэдра в себя. Лев Семенович Понтрягин (1908–1988) Выдающийся российский математик, академик АН СССР, Герой Социалистического Труда (1969). Родился 3 сентября 1908 г. в Москве. В 14 лет потерял зрение от несчастного случая. Окончил Московский государственный университет им.М.В.Ломоносова (1929). С 1930 г. работал в Московском университете, где в 1935 г. получил ученое звание профессора, и одновременно с 1939 г. занимал должность заведующего отделом Математического института им.В.А.Стеклова АН СССР. Основные работы Л.С.Понтрягина относятся к теории дифференциальных уравнений, топологии, теории колебаний, теории управления, вариационному исчислению, алгебре. В топологии он открыл общий закон двойственности и в связи с этим построил теорию характеров непрерывных групп; получил ряд результатов в теории гомотопий (классы Понтрягина). В теории колебаний главные результаты работ Л.С.Понтрягина относятся к асимптотике релаксационных колебаний. В теории управления он выступил как создатель математической теории оптимальных процессов, в основе которой лежит так называемый принцип максимума Понтрягина. Ему принадлежат также существенные результаты в области вариационного исчисления, дифференциальных игр, теории размерности, теории регулирования. Работы школы Л.С.Понтрягина оказали большое влияние на развитие теории управления и вариационного исчисления во всем мире. |
2023. 720 с. Твердый переплет. 16.9 EUR
Книга «Зияющие высоты» – первый, главный, социологический роман, созданный интеллектуальной легендой нашего времени – Александром Александровичем Зиновьевым (1922-2006), единственным российским лауреатом Премии Алексиса де Токвиля, членом многочисленных международных академий, автором десятков логических... (Подробнее) URSS. 2023. 272 с. Мягкая обложка. 15.9 EUR
Настоящая книга посвящена рассмотрению базовых понятий и техник психологического консультирования. В ней детально представлены структура процесса консультирования, описаны основные его этапы, содержание деятельности психолога и приемы, которые могут быть использованы на каждом из них. В книге... (Подробнее) URSS. 2024. 704 с. Твердый переплет. 26.9 EUR
В новой книге профессора В.Н.Лексина подведены итоги многолетних исследований одной из фундаментальных проблем бытия — дихотомии естественной неминуемости и широчайшего присутствия смерти в пространстве жизни и инстинктивного неприятия всего связанного со смертью в обыденном сознании. Впервые... (Подробнее) 2023. 696 с. Твердый переплет в суперобложке. 119.9 EUR
Опираясь на новейшие исследования, историк Кристофер Кларк предлагает свежий взгляд на Первую мировую войну, сосредотачивая внимание не на полях сражений и кровопролитии, а на сложных событиях и отношениях, которые привели группу благонамеренных лидеров к жестокому конфликту. Кларк прослеживает... (Подробнее) URSS. 2024. 800 с. Мягкая обложка. 37.9 EUR
ВЕРСАЛЬ: ЖЕЛАННЫЙ МИР ИЛИ ПЛАН БУДУЩЕЙ ВОЙНЫ?. 224 стр. (ТВЁРДЫЙ ПЕРЕПЛЁТ) 11 ноября 1918 года в старом вагоне неподалеку от Компьеня было подписано перемирие, которое означало окончание Первой мировой войны. Через полгода, 28 июня 1919 года, был подписан Версальский договор — вердикт, возлагавший... (Подробнее) URSS. 2024. 344 с. Мягкая обложка. 18.9 EUR
Мы очень часто сталкиваемся с чудом самоорганизации. Оно воспринимается как само собой разумеющееся, не требующее внимания, радости и удивления. Из случайно брошенного замечания на семинаре странным образом возникает новая задача. Размышления над ней вовлекают коллег, появляются новые идеи, надежды,... (Подробнее) URSS. 2024. 576 с. Мягкая обложка. 23.9 EUR
Эта книга — самоучитель по военной стратегии. Прочитав её, вы получите представление о принципах военной стратегии и сможете применять их на практике — в стратегических компьютерных играх и реальном мире. Книга состоит из пяти частей. Первая вводит читателя в мир игр: что в играх... (Подробнее) URSS. 2024. 248 с. Мягкая обложка. 14.9 EUR
В книге изложены вопросы новой области современной медицины — «Anti-Ageing Medicine» (Медицина антистарения, или Антивозрастная медицина), которая совмещает глубокие фундаментальные исследования в биомедицине и широкие профилактические возможности практической медицины, а также современные общеоздоровительные... (Подробнее) URSS. 2024. 240 с. Твердый переплет. 23.9 EUR
Предлагаемая вниманию читателей книга, написанная крупным биологом и государственным деятелем Н.Н.Воронцовым, посвящена жизни и творчеству выдающегося ученого-математика, обогатившего советскую науку в области теории множеств, кибернетики и программирования — Алексея Андреевича Ляпунова. Книга написана... (Подробнее) 2023. 416 с. Твердый переплет. 19.9 EUR
Вам кажется, что экономика — это очень скучно? Тогда мы идем к вам! Вам даже не понадобится «стоп-слово», чтобы разобраться в заумных формулах — их в книге нет! Все проще, чем кажется. Автор подаст вам экономику под таким дерзким соусом, что вы проглотите ее не жуя! Вы получите необходимые... (Подробнее) |