| Предисловие |
| Список обозначений |
| Часть I. Обзор теории матриц |
| 1. | Вводные понятия |
| | 1.1. Матрицы и векторы. 1.2. Матричные операции. 1.3. Обращение. 1.4. Матричные и векторные операции. 1.5. Примеры. 1.6. Транспонирование. 1.7. Прямая сумма и блочное
умножение. 1.8. Примеры. 1.9. Кронекерово произведение.
1.10. Пример. |
| 2. | Величины, связанные с матрицами |
| | 2.1. Обозначения.. 2.2. Подматрицы. 2.3. Перестановки.
2.4. Определители. 2.5. Квадратичные соотношения между минорами. 2.6. Примеры. 2.7. Ассоциированные матрицы.
2.8. Симметрические функции; след. 2.9. Перманенты.
2.10. Пример. 2.11. Свойства перманентов. 2.12. Индуцированные матрицы. 2.13. Характеристический полином.
2.14. Примеры. 2.15. Характеристические числа. 2.16. Примеры. 2.17. Ранг. 2.18. Линейные комбинации (46) 2.19. Пример.
2.20. Линейная зависимость; размерность. 2.21. Пример. |
| 3. | Линейные уравнения и канонические формы |
| | 3.1. Введение и обозначения. 3.2. Элементарные преобразования. 3.3. Пример. 3.4. Элементарные матрицы. 3.5. Пример. 3.6. Эрмитова нормальная форма. 3.7. Пример.
3.8. Применение эрмитовой нормальной формы к решению системы
уравнений Ax = b. 3.9. Пример. 3.10. Элементарные столбцовые преобразования и матрицы. 3.11. Примеры. 3.12. Собственные векторы. 3.13. Примеры. 3.14. Соглашения относительно полиномиальных и целочисленных матриц. 3.15. Делители миноров. 3.16. Примеры. 3.17. Эквивалентность.
3.18. Пример. 3.19. Инвариантные множители. 3.20. Элементарные делители. 3.21. Примеры. 3.22. Нормальная форма
Смита. 3.23. Пример. 3.24. Подобие. 3.25. Примеры.
3.26. Элементарные делители и подобие. 3.27. Пример.
3.28. Минимальный полином (75), 3.29. Сопровождающая матрица.
3.30. Примеры. 3.31. Неприводимость. 3.32. Подобие диагональной матрице. 3.33. Примеры. |
| 4. | Специальные классы матриц; коммутативность |
| | 4.1. Билинейный функционал. 4.2. Примеры. 4.3. Скалярное
произведение. 4.4. Пример. 4.5. Ортогональность.
4.6. Пример. 4.7. Нормальные матрицы. 4.8. Примеры.
4.9. Циркулянт. 4.10. Унитарное подобие. 4.11. Пример.
4.12. Положительно определенные матрицы. 4 13. Пример.
4.14. Функции от нормальных матриц (ЮЗ). 4.15. Примеры.
4.16. Матричная экспонента. 4,17. Функции от произвольных
матриц. 4.18. Пример. 4.19. Представление матрицы в виде
функции от других матриц. 4.20. Примеры. 4.21. Одновременное приведение перестановочных матриц. 4.22. Перестановочность. 4.23. Пример. 4.24. Квазиперестановочность.
4.25. Пример. 4.26. Свойство L. 4.27. Примеры.
4.28. Различные результаты, связанные с перестановочностью. |
| 5. | Конгруэнтность |
| | 5.1. Определения. 5.2. Тридиагональная форма. 5.3. Конгруэнтность и элементарные преобразования. 5,4. Пример.
5.5. Связь с квадратичными формами. 5.6. Пример. 5.7. Свойства конгруэнтных матриц. 5.8. Эрмитова конгруэнтность.
5.9. Пример. 5.10. Представление в виде произведения треугольных матриц. 5.11. Пример. 5.12. Конъюнктивное приведение
косоэрмитовых матриц. 5.13. Конъюнктивное приведение двух
эрмитовых матриц. |
| Библиографические указания к части I |
| Литература к части I |
| Часть II. Выпуклость и матрицы |
| 1. | Выпуклые множества |
| | 1.1. Определения. 1.2. Примеры. 1.3. Свойство пересечения. 1.4. Примеры. 1.5. Выпуклые многогранники.
1.6. Пример. 1.7. Теорема Биркгофа. 1.8. Симплекс.
1.9. Примеры. 1.10. Размерность. 1.11. Пример.
1.12. Линейные функционалы. 1.13. Пример. |
| 2. | Выпуклые функции |
| | 2.1. Определения. 2.2. Примеры. 2.3. Свойства выпуклых
функций. 2.4. Примеры. |
| 3. | Классические неравенства |
| | 3.1. Степенные средние. 3.2. Симметрические функции.
3.3. Неравенство Гельдера (146) 3.4. Неравенство Минковского ( 148).
3.5. Другие неравенства. 3.6. Пример. |
| 4. | Выпуклые функции и матричные неравенства |
| | 4.1. Выпуклые функции матриц. 4.2. Неравенства Г. Вейля.
4.3. Неравенство Канторовича. 4.4. Другие неравенства.
4.5. Произведение в смысле Адамара. |
| 5. | Неотрицательные матрицы |
| | 5.1. Введение. 5.2. Неразложимые матрицы. 5.3. Примеры. 5.4. Вполне неразложимые матрицы. 5.5. Теорема
Перрона–Фробениуса. 5.6. Пример. 5.7. Неотрицательные
матрицы. 5.8. Примеры. 5.9. Примитивные матрицы.
5.10. Примеры. 5.11. Двоякостохастические матрицы.
5.12. Примеры. 5.13. Стохастические матрицы. |
| Библиографические указания к части II |
| Литература к части II |
| Часть III. Локализация характеристических чисел |
| 1. | Границы для характеристических чисел |
| | 1.1. Введение. 1.2. Теоремы Бендиксона. 1.3. Теоремы
Гирща. 1.4. Неравенство Шура. 1.5. Теорема Брауна.
1.6. Теорема Перрона. 1.7. Теорема Шнайдера. |
| 2. | Области, содержащие характеристические числа матриц общего вида |
| | 2.1. Теорема Леви–Деспланка. 2.2. Круги Гершгорина.
2.3. Пример. 2.4. Овалы Кассини. 2.5. Теоремы Островского. 2.6. Теорема Фань Цзы. |
| 3. | Характеристические числа специальных типов матриц |
| | 3.1. Неотрицательные матрицы. 3.2. Пример. 3.3. Устойчивые матрицы. 3.4. Стохастические матрицы. 3.5. Нормальные матрицы. 3.6. Эрмитовы матрицы. 3.7. Якобиевы, или
тридиагональные, матрицы. |
| 4. | Размах матрицы |
| | 4.1. Определение. 4.2. Размах матрицы общего вида.
4.3. Размах нормальной матрицы. |
| 5. | Числовая область матрицы |
| | 5.1. Определения. 5.2. Свойства числовой области. |
| Библиографические указания к части III |
| Литература к части III |
| Именной указатель |
| Предметный указатель |
Теория матриц в последнее время приобрела большую
популярность как учебная дисциплина и как
интересная область математических исследований. Популярность
теории матриц, помимо причин эстетического
характера, объясняется еще и тем, что матрицы
широко используются как в чистой математике, так
и в технических и общественных науках.
При написании этой книги мы ставили себе целью
изложить основные результаты теории матриц и матричных
неравенств на сравнительно небольшом количестве
страниц. Мы начинаем изложение, предполагая, что
читатель никогда ранее не видел матрицы, а затем
быстро вводим его в круг многих современных идей.
Чтобы осуществить это, нам пришлось опустить ряд
доказательств, которые, впрочем, можно найти в любой
из книг по теории матриц. Вместе с тем мы привели
ряд доказательств классических теорем, а также утверждений,
полученных сравнительно недавно и опубликованных
лишь в журналах. Как показал опыт, материал
части I более чем достаточен для годового курса
теории матриц. Разумеется, лектору придется воспроизвести
некоторые опущенные доказательства. Многие
вопросы, рассмотренные в части I, не являются стандартными
и отражают наши собственные вкусы: например,
кронекеровы произведения, ассоциированные
и индуцированные матрицы, перманенты, матрицы инциденций,
(v, k, lambda)-матрицы, обобщения понятия перестановочности,
свойство L.
Часть II начинается обзором элементарных свойств
выпуклых множеств и многогранников. Затем мы переходим
к доказательству теоремы Биркгофа о двоякостохастических
матрицах. Свойства выпуклых функций
и классические неравенства, которым посвящены две
небольшие главы, используются нами для получения
многих интересных матричных неравенств, в частности
неравенств Вейля, Фань Цзы, Канторовича и др.
В изложении мы следуем авторам этих результатов и приводим
большую часть доказательств. В части II рассматривается
также классическая теория Перрона – Фробениуса – Виландта неразложимых неотрицательных
матриц; заканчивается эта часть книги некоторыми
последними результатами по стохастическим матрицам.
Часть III посвящена разнообразным результатам
по локализации характеристических чисел матриц в терминах
простых функций, их элементов или элементов
связанных с ними матриц. Изложение ведется в историческом
порядке, и из огромного числа результатов
в этой области мы старались отобрать те, которые казались
нам наиболее интересными или подавали надежду
оказаться полезными.
Авторы надеются, что книга принесет пользу всякому,
кого интересуют вопросы, связанные с матрицами или
матричными неравенствами.
Книга состоит из трех частей, разбитых на главы
и параграфы. Внутри каждой части ссылка на параграф
из этой части указывает только номер главы
и номер параграфа. Ссылка на параграф из другой части
содержит также и указание на номер этой части. Так,
если в тексте части II мы хотим сослаться на § 2.12
части I, то мы пишем: "(см. 1.2.12)". Если в тексте
части III мы ссылаемся на формулу (2) из § 3.4 части I,
то мы пишем: "[см. 1.3.4. (2)]".
Марвин Маркус,
Хенрик Минк
