Показать ещё...
Теория интеграла является одним из фундаментальных разделов анализа и служит основой применения методов анализа в теории вероятностей, математической физике и других смежных математических дисциплинах. При этом широкий круг задач обслуживается интегралом Лебега. Однако, как для некоторых внутренних задач теории функций действительного переменного, так и для отдельных задач комплексного анализа, гармонического анализа, теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей потребовалось ввести различные обобщения интеграла Лебега. Эта потребность связана с тем, что интеграл Лебега является так называемым абсолютным интегралом, в то время как некоторые из упомянутых задач требуют процесса интегрирования, при котором интегрируемость функции может быть обеспечена за счет интерференции положительных и отрицательных значений функции, как это имеет место, например, в случае несобственного интеграла Римана. Другими словами, для этих задач требуется интегрирование, являющееся непрерывным аналогом условной сходимости ряда или суммирования расходящегося ряда каким-нибудь регулярным методом. Наиболее известными из такого рода обобщений интеграла Лебега являются интегралы Данжуа и интеграл Перрона. Эти интегралы были введены прежде всего для решения одной из основных задач классического интегрального исчисления – задачи восстановления первообразной по точной конечной производной (как известно, интеграл Лебега решает эту задачу лишь при условии суммируемости производной). Тем самым эти интегралы были призваны завершить согласование двух классических подходов к интегрированию, один из которых рассматривает интегрирование как обращение операции дифференцирования, а другой – как конструктивный процесс вычисления, включающий суммирование и предельные переходы, как это имеет место, например, при вычислении площади криволинейной трапеции. Теория интегралов Данжуа–Перрона была изложена в хорошо известной специалистам монографии С.Сакса "Теория интеграла", вышедшей в русском переводе в 1949 году и отразившей состояние теории к моменту своей публикации. Во второй половине XX века теория интеграла бурно развивалась. При этом в исследованиях последних десятилетий все более заметное место стала занимать предложенная в начале 60-х годов конструкция Хенстока–Курцвейля, определяющая интеграл в терминах обобщенных сумм Римана. Конструкция оказалась перспективной как в отношении возможностей ее обобшения на случай абстрактных пространств, так и по части приложений. Несколько позже Мак-Шейн показал, что и интеграл Лебега в Rn может быть определен с помощью варианта этой конструкции. Тем самым подход Хенстока–Курцвейля приобрел и методичекий интерес, позволяя в университетских курсах математического анализа определять интеграл Римана и Лебега одновременно как два частных случая одной и той же конструкции. Теории интеграла Хенстока–Курцвейля посвящена обширная литература на английском языке, в том числе ряд монографий. Однако на русском языке эта тематика представлена лишь журнальными публикациями и небольшой книгой С.Ф. Лукомского "Интегральное исчисление", выпущенной в 2005 году издательством Саратовского университета и представляющей собой введение в теорию. Целью настоящей книги является систематическое изложение современной теории обобщенных интегралов, применяемых в действительном анализе. В ней представлены результаты новейших исследований в этой области, в том числе некоторые из результатов авторов книги. В первой части книги представлены основы римановской теории интегрирования. Свойства интегралов Римана, Мак-Шейна и Хенстока–Курцвейля изучаются параллельно. Рассматриваются стилтьесовские варианты этих интегралов. Первая часть заканчивается теоремами о предельном переходе под знаком интеграла. Вторая часть посвящена, в основном, изучению характеристических свойств неопределенных интегралов, на основании которых можно получить различные дескриптивные определения рассматриваемых интегралов. В частности, здесь доказывается, что интеграл Мак-Шейна на отрезке действительной прямой эквивалентен дескриптивно определенному интегралу Лебега, а интеграл Хенстока–Курцвейля эквивалентен интегралу Данжуа–Перрона. Третья часть книги является введением в интенсивно развивающуюся область исследований, касающихся интегрирования функций, принимающих значения в банаховых пространствах. Некоторые сведения по истории развития изложенной здесь теории обобщенных интегралов приведены в помещенных в конце книги комментариях к каждой главе. В книге использованы материалы спецкурсов, читаемых авторами на механико-математическом факультете МГУ, а третья часть книги существенно опирается на материалы кандидатской диссертации одного из соавторов, А.П.Солодова. Книга предназначена студентам и аспирантам математических факультетов университетов и всем интересующимся теорией интегралов и их применением. Авторы выражают сердечную благодарность Т.А.Своровской(Жеребьевой), которая взяла на себя труд редактирования и подготовки рукописи к печати. Лукашенко Тарас Павлович
Доктор физико-математических наук, заслуженный профессор Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, заслуженный работник высшей школы Российской Федерации, лауреат Ломоносовской премии за педагогическую деятельность. Окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова в 1970 г. Свою научную работу начал под руководством В. А. Скворцова. Автор более 120 научных работ по теории меры и интеграла, гармоническому анализу, теории функций. Основное направление научных исследований в настоящее время — обобщенные интегралы, ряды Фурье и их обобщения.
Скворцов Валентин Анатольевич
Доктор физико-математических наук, заслуженный профессор Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. В 1958 г. окончил механико-математический факультет МГУ, где начал научную работу под руководством Д. Е. Меньшова. Автор более 200 научных работ по теории меры и интеграла, гармоническому анализу, действительному анализу. Наиболее известные научные результаты связаны с построением обобщенных интегралов, решающих задачу восстановления коэффициентов ортогональных рядов по их суммам с помощью обобщенных формул Фурье.
Солодов Алексей Петрович Доктор физико-математических наук, профессор Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, лауреат Ломоносовской премии за педагогическую деятельность. В 1996 г. окончил механико-математический факультет МГУ. Свою научную деятельность начал под руководством В. А. Скворцова. Автор более 40 работ по теории обобщенных интегралов, теории ортогональных рядов, теории функций. Основное направление научных исследований в настоящее время — интегрирование функций в банаховых пространствах, ряды по общим ортогональным системам, тригонометрические ряды, геометрическая теория функций комплексного переменного.
|
2023. 720 с. Твердый переплет. 16.9 EUR
Книга «Зияющие высоты» – первый, главный, социологический роман, созданный интеллектуальной легендой нашего времени – Александром Александровичем Зиновьевым (1922-2006), единственным российским лауреатом Премии Алексиса де Токвиля, членом многочисленных международных академий, автором десятков логических... (Подробнее) URSS. 2023. 272 с. Мягкая обложка. 15.9 EUR
Настоящая книга посвящена рассмотрению базовых понятий и техник психологического консультирования. В ней детально представлены структура процесса консультирования, описаны основные его этапы, содержание деятельности психолога и приемы, которые могут быть использованы на каждом из них. В книге... (Подробнее) 2023. 696 с. Твердый переплет в суперобложке. 119.9 EUR
Опираясь на новейшие исследования, историк Кристофер Кларк предлагает свежий взгляд на Первую мировую войну, сосредотачивая внимание не на полях сражений и кровопролитии, а на сложных событиях и отношениях, которые привели группу благонамеренных лидеров к жестокому конфликту. Кларк прослеживает... (Подробнее) URSS. 2024. 704 с. Твердый переплет. 26.9 EUR
В новой книге профессора В.Н.Лексина подведены итоги многолетних исследований одной из фундаментальных проблем бытия — дихотомии естественной неминуемости и широчайшего присутствия смерти в пространстве жизни и инстинктивного неприятия всего связанного со смертью в обыденном сознании. Впервые... (Подробнее) URSS. 2024. 800 с. Мягкая обложка. 37.9 EUR
ВЕРСАЛЬ: ЖЕЛАННЫЙ МИР ИЛИ ПЛАН БУДУЩЕЙ ВОЙНЫ?. 224 стр. (ТВЁРДЫЙ ПЕРЕПЛЁТ) 11 ноября 1918 года в старом вагоне неподалеку от Компьеня было подписано перемирие, которое означало окончание Первой мировой войны. Через полгода, 28 июня 1919 года, был подписан Версальский договор — вердикт, возлагавший... (Подробнее) URSS. 2024. 344 с. Мягкая обложка. 18.9 EUR
Мы очень часто сталкиваемся с чудом самоорганизации. Оно воспринимается как само собой разумеющееся, не требующее внимания, радости и удивления. Из случайно брошенного замечания на семинаре странным образом возникает новая задача. Размышления над ней вовлекают коллег, появляются новые идеи, надежды,... (Подробнее) URSS. 2024. 576 с. Мягкая обложка. 23.9 EUR
Эта книга — самоучитель по военной стратегии. Прочитав её, вы получите представление о принципах военной стратегии и сможете применять их на практике — в стратегических компьютерных играх и реальном мире. Книга состоит из пяти частей. Первая вводит читателя в мир игр: что в играх... (Подробнее) URSS. 2024. 248 с. Мягкая обложка. 14.9 EUR
В книге изложены вопросы новой области современной медицины — «Anti-Ageing Medicine» (Медицина антистарения, или Антивозрастная медицина), которая совмещает глубокие фундаментальные исследования в биомедицине и широкие профилактические возможности практической медицины, а также современные общеоздоровительные... (Подробнее) URSS. 2024. 240 с. Твердый переплет. 23.9 EUR
Предлагаемая вниманию читателей книга, написанная крупным биологом и государственным деятелем Н.Н.Воронцовым, посвящена жизни и творчеству выдающегося ученого-математика, обогатившего советскую науку в области теории множеств, кибернетики и программирования — Алексея Андреевича Ляпунова. Книга написана... (Подробнее) 2023. 416 с. Твердый переплет. 19.9 EUR
Вам кажется, что экономика — это очень скучно? Тогда мы идем к вам! Вам даже не понадобится «стоп-слово», чтобы разобраться в заумных формулах — их в книге нет! Все проще, чем кажется. Автор подаст вам экономику под таким дерзким соусом, что вы проглотите ее не жуя! Вы получите необходимые... (Подробнее) |