|
Оглавление
Предисловие
Моим родителям
Петру Павловичу Колесникову Марии Михайловне Колесниковой посвящаю Численный анализ как раздел математики имеет своей целью создание и обоснование способов преобразования задач математического анализа в форму, пригодную для их решения на вычислительных машинах. Книга преследует две цели. В ней систематизируются и излагаются в доступной форме методы численного анализа, приводящие непрерывные задачи математического анализа к дискретным. При этом ставится задача передать внутреннюю логику численного анализа как абстрактной математической дисциплины. В основание для классификации методов численного анализа положен метод выбора топологической природы приближающих конструкций. Основные математические аспекты метода исследуются в [41(1)]. Ясно, что рассмотрение фундаментальных вопросов численного анализа с абстрактной точки зрения позволяет устанавливать более общие закономерности, а следовательно, получать и более общие результаты, полезные для приложений. С другой стороны, с необходимой степенью подробности излагается проблематика построения численных методов решения разнообразных прикладных задач, обслуживаемых этой дисциплиной. В книге принята следующая схема расположения материала. В первой главе излагаются задачи и методы теории приближений. Для получения эффективных приближений и, как следствие, удовлетворительных численных решений, большое значение имеет надлежащее решение двух вопросов: а) определение топологии в векторном пространстве E, в котором ищется приближение, б) определение базиса в выбранной топологии. * * * В первой главе излагается также классический подход, опирающийся на многочленные приближения, эффективный в задачах приближения целых функций. Важной целью первой главы является демонстрация природы ограниченности многочленных приближений, использование которых для приближенных вычислений обычно оправдывается простотой базиса и высокой скоростью ручного счета. В связи с развитием компьютерной техники эти факторы перестали играть какую-либо роль и гораздо большее значение имеют точность и эффективность приближений. Вводится понятие обратного метода в теории приближений, который заключается в постановке и решении вариационной задачи вычисления базиса, наилучшего для данной задачи приближения. В аппроксимирующих сплайновых пространствах построены решения задач интерполяции, сглаживания и аппроксимации таблично заданных функций. Вводится понятие лагранжевой квазиинтерполяции. Полученные при этом приближения разрывных функций характеризуются отсутствием эффекта Гиббса. Показывается применение теоремы об отсчетах к задачам приближения. Во второй главе предложена классификация методов численного анализа. Дается краткое описание методов аналитической замены (сеточного и проекционного) и итерационного метода, примененных для решения задач численного дифференцирования и интегрирования, решения дифференциальных и интегральных уравнений. Построен базис аппроксимирующего пространства, в котором ищутся решения, зависящий от оператора A задачи и которое названо пространством A-сплайнов. Так что базис аппроксимирующего пространства индивидуален для каждой задачи и оптимально выбран (имеет вариационное происхождение). A-сплайны отличает быстрая и устойчивая сходимость. В третьей главе описаны приближенные методы анализа, связанные с численной реализацией операторного соотношения Ax=y, рассматриваемого в двух вариантах: как уравнение y–> x и как задача вычисления значения y оператора A на элементе x: x–> y. Оператор A предполагается линейным, определенным на подмножествах D(A) банаховых пространств со значениями в множествах R(A). Основное внимание уделено задачам, которые характеризуются как существенно некорректные. * * * В задаче A) искомыми считаются как множество корректности, так и псевдорешение, которое ему принадлежит. Численный анализ одного из примеров (интегральное уравнение Фредгольма I-го рода, y(in)R(A)) иллюстрирует явление сверхсходимости при использовании A-сплайнов. При n=3 (n-размерность аппроксимирующего пространства) вычисленная погрешность приближения в равномерной метрике имела первый порядок точности. При n=5 она скачком упала до машинного нуля 10-10 и устойчиво сохраняла это значение до весьма больших значений n (равных нескольким десяткам). В задаче B) построены сплайновые методы решения начально-краевых задач и метод нахождения частных решений дифференциального уравнения в случае, когда никакие дополнительные условия, обеспечивающие однозначную разрешимость уравнения, не заданы (это так называемые задачи со свободными границами). В задаче C) описаны методы вычисления глобальных производных. Изложены также некоторые методы неопределенного интегрирования. Существенное свойство всех рассмотренных задач заключается в предположении, что исходные данные для них определены как случайные функции или таблично заданы с ошибками, которые не считаются малыми. В качестве важного приложения топологических методов к задачам численного анализа в главе 4 даются примеры построения моделей наиболее важных фрагментов управляемых (адаптивных) оптических систем. Анализ математических моделей–это, по преимуществу, качественный и численный анализ. Математических моделей, имеющих прикладное значение и доступных исчерпывающему анализу в точной аналитической форме, не бывает. К исследованиям в этой области привлекается широкий круг таких дисциплин, как оптика, автоматическое управление, математическая физика, теория случайных полей, численный анализ и т.д. Объединение столь разных областей в одном научном исследовании отражает сложность рассматриваемой проблемы. В этой главе рассмотрены важные вопросы многомерной интерполяции, многомерной аппроксимации в случае, когда модель измерения представлена дифференциальным оператором, вопросы приближения функций решениями краевых и начально-краевых задач и т. д. Изложение ориентируется на читателя, подготовленного к восприятию абстрактного материала. Предлагаемая книга может служить практическим руководством для решения задач проектирования методов вычислений. Однако большое количество примеров делает книгу полезной и для тех читателей, которых интересует не столько разработка численных методов, сколько их применение к прикладным проблемам. Каждая глава делится на параграфы. Нумерация формул, теорем и т.д. своя внутри каждого параграфа. Система ссылок организована следующим образом: (13.6) означает ссылку на формулу (теорему и т.д.) 6 из параграфа 3 первой главы. При ссылках в пределах текущего параграфа (главы) нумерация параграфов (глав) не дается. Об авторе
 Колесников Александр Петрович Математик, профессор, доктор физико-математических наук. Окончил Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова в 1967 г. Научные интересы лежат в области вычислительной математики, математического моделирования и информатики. Активно занимался приложениями; в частности, в последней четверти прошлого века принимал участие в выполнении программы важных научных исследований в области математического моделирования управляемых оптических систем (адаптивной оптики). В 1994 г. защитил докторскую диссертацию, в которой получило начало новое научное направление — численный анализ в топологических пространствах.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||