Егоров И.П. Геометрия.
(О системах аксиом евклидовой геометрии. Обобщенные пространства). Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие

Книга состоит из двух самостоятельных разделов. Первый раздел (главы I–V) посвящен расширению и углублению вопросов школьного курса геометрии и объединенного курса геометрии I–II пединститутов; здесь рассматривается аксиоматика А.Н.Колмогорова школьного курса геометрии, аксиоматика Вейля и обзорно – аксиоматика Гильберта. Заключительная глава первого раздела посвящена дальнейшему развитию аксиоматического метода – символическим исчислениям и вопросам формализации геометрии.

Второй раздел книги (главы VI–VIII) посвящен дальнейшему развитию теории обобщенных пространств (римановым пространствам, пространствам аффинной связности), имеющим важные приложения в теории относительности. В добавлении кратко рассматриваются расслоенные пространства и инфинитезимальные связности. Приводятся некоторые понятия из теории касательного и кокасательного расслоений; определяются лифты функций, векторных полей и аффинных связностей с базисного многообразия М на его касательное расслоенное многообразие Т (М).

Автору приходилось читать по спецкурсу "Научные основы школьного курса геометрии" разные разделы предлагаемого учебного пособия.

В зависимости от конкретных условий подготовки студентов, наличия на кафедре специалистов можно рекомендовать в пединститутах один из указанных разделов для спецкурса, а другой для спецсеминаров и самостоятельной работы студентов.

Об актуальности рассматриваемой тематики убедительно говорит в объяснительной записке к программе "Научных основ школьного курса математики" (НОШКМ) акад. А.Н.Колмогоров. "Очень желательно, – указывает он, – чтобы к "Научным основам школьного курса математики" примыкал спецкурс или спецсеминар по геометрии, продолжающий общее направление данного курса".

Раздел I книги в основном продолжает общее направление НОШКМ на геометрические дисциплины.

Предлагаемое содержание спецкурса широко обсуждалось на научно-методическом семинаре МП РСФСР, на семинаре заведующих математическими кафедрами пединститутов Российской Федерации МП СССР и семинаре заведующих математическими кафедрами пединститутов союзных республик, конференции преподавателей математики Центральной зоны МП РСФСР по заочному отделению.

В заключение автор приносит искреннюю благодарность проф. В.Т.Базылеву и проф. Б.Л.Лаптеву за их ценные замечания по рукописи, которые были учтены при подготовке книги к опубликованию.

Из Главы I. Аксиоматический метод и математические структуры. Введение

Аксиоматический метод впервые был успешно применен при изложении геометрии Евклидом, греческим ученым, жившим в III в. до н.э. Его "Начала" построены следующим образом.

Сначала даются определения и перечисляются основные допущения – постулаты и аксиомы.

Затем идут предложения (теоремы), которые Евклид стремился доказать по правилам логики на основании принятых постулатов и аксиом.

Аксиоматический метод является в настоящее время основным методом исследования не только в геометрии, но и во многих других разделах современной математики.

Выясним теперь в общих чертах, что же представляет собой аксиоматический метод построения теории.

С этой целью мы обратим внимание на предложения (теоремы), рассматриваемые в геометрии. Истинность таких предложений устанавливается при помощи рассуждений – доказательств, которые опираются на определения, аксиомы и ранее полученные теоремы. Доказательства последних в свою очередь основываются на предыдущих теоремах, определениях и положенных в основу аксиомах. В итоге мы приходим к аксиомам как к простейшим отправным предложениям геометрии.

Аналогичное положение имеет место при определении понятий. Всякое понятие определяется через ранее введенные понятия и аксиомы. В результате указанной редукции мы придем в конце концов к понятиям, которые уже не сводятся к более простым и представляют собой отправные неопределяемые понятия. Эти понятия называются основными понятиями, и они также описываются аксиомами.

Например, в аксиоматике школьного курса геометрии в качестве основных понятий принимаются точки, прямые и расстояния от одной точки до другой. Основные понятия – точки и прямые – в этом случае называются также основными образами. Расстояния при таком построении геометрии образуют системы так называемых неотрицательных величин.

Отметим, что основные понятия при построении теории используются только через посредство аксиом. Поэтому все свойства основных понятий, необходимые для построения аксиоматической теории, должны быть перечислены в аксиомах. В этом смысле часто говорят, что аксиомы неявно определяют основные понятия. Ниже на конкретных примерах мы убедимся, как с помощью аксиом описываются свойства основных образов и отношений.

Задача выбора основных понятий и аксиом геометрии является одной из важных задач оснований геометрии. Эта задача решается неоднозначно и требует от математика большого внимания и навыка. Всякая аксиоматическая теория строится по следующему плану:

1. Сначала перечисляются основные понятия – основные образы и основные отношения.

2. Далее приводится список аксиом-предложений, в которых фиксируются некоторые свойства основных понятий, необходимые для построения теории.

3. Все последующие предложения (теоремы) должны быть получены из аксиом при помощи лишь одних логических законов.

4. Все понятия, не являющиеся основными, должны быть определены через основные и понятия, ранее введенные.

Аксиомы при этом должны удовлетворять определенным требованиям, в первую очередь требованию совместности.

Математика является одной из самых абстрактных наук. Но ее понятия отражают свойства реальных вещей и отношений между ними. Аксиомы не являются продуктом свободного творения математиков или условными соглашениями. Они выведены из взаимосвязей понятий и в своих предпосылках имеют опытное происхождение.

Усиленное развитие аксиоматического метода было связано с открытием в прошлом веке неевклидовой геометрии и созданием теории множеств. Геометрия Лобачевского и теория множеств вызвали появление ряда важнейших исследований по общим вопросам аксиоматики. Они содействовали распространению в математике метода научного исследования с помощью аксиом.

Если в аксиоматической теории правила вывода явно не перечисляются, то она называется содержательной, неформальной аксиоматической теорией; если же система правил вывода явным образом включается в аксиоматическую теорию, то последняя называется формальной или дедуктивной аксиоматической теорией. Примером содержательной аксиоматической теории может служить теория групп, примером формальной аксиоматической теории – исчисление высказываний (см. V главу).

Дальнейшее развитие аксиоматического метода привело математиков к понятию символического исчисления. Последнее характеризуется заданием на языке формул системы аксиом и правил вывода. В теории символических исчислений получен ряд важных результатов, составляющих новую ступень в развитии аксиоматического метода исследования.

Прежде чем перейти к математическим структурам, мы остановимся кратко на понятиях отношения, отношения эквивалентности и факторизации.

Об авторе

Известный отечественный математик и педагог. Родился в селе Большая Садовка (ныне Пензенская обл.). Окончил Казанский университет (1939), работал в Пензенском государственном педагогическом институте (ПГПИ). Также преподавал в Горьковском педагогическом институте и университете, в Мордовском университете. В 1945 г. стал кандидатом физико-математических наук, в 1956 г. защитил докторскую диссертацию, с 1957 г. – профессор.

И.П.Егоров – автор трудов по алгебре и дифференциальной геометрии, учебных пособий по неевклидовой геометрии. Возглавляя кафедру высшей математики ПГПИ, он создал Пензенскую математическую школу по движениям в обобщенных пространствах. С 1960 г. в институте функционировала аспирантура под его руководством. Более 70 его научных работ получили широкую известность и признание не только в СССР, но и за рубежом, способствовав появлению новых исследований в США, Японии, Румынии и других странах. Заслуженный деятель науки РСФСР (1970), дважды избирался депутатом Верховного Совета СССР. Награжден орденом Трудового Красного Знамени.