Толмачёв В.В., Скрипник Ф.В. КВАЗИКЛАССИЧЕСКАЯ И КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ АТОМА ВОДОРОДА.
(Ознакомление с квантовой механикой в курсе общей физики на примере построения теории атома водорода). Изд. 3, испр. и доп.

Оглавление

Предисловие к третьему изданию

Данное (третье) издание книги посвящено светлой памяти Владимира Вениаминовича Толмачeва — выдающегося ученого и потрясающей честности и порядочности человека, ушедшего из жизни в 2018 году.

Изначально книга была издана как учебное пособие, однако во второе издание, вышедшее уже более девяти лет назад, было включено теоретическое исследование строгой квазиклассической асимптотической теории для стационарных волновых функций электрона атома водорода которая является оригинальной, что выводит данный труд за рамки только учебной литературы. Эти исследования были проведены специально для подтверждения гипотезы, выдвинутой в первом издании, об изменении значений квантового числа n ϕ от 0 до n − 1, в отличие от теории Зоммерфельда, в которой n ϕ меняется от 1 до n. Проведeнные расчеты показали правильность выдвинутой гипотезы. При больших значениях n (главного квантового числа), которые намного больше l (орбитального квантового числа n ϕ в классической теории), и для магнитного квантового числа m = 0 классически доступная область траекторий электрона представляет собой шаровой слой с центром в начале координат, а сами траектории электрона — это очень узкие эллипсы, а при l = 0 — дважды покрытые отрезки одинаковой длины, начинающиеся в начале координат и заканчивающиеся на сфере радиуса орбиты электрона и классически доступная область траекторий — это уже шар с центром в начале координат, что полностью подтверждает выдвинутую в первом издании гипотезу.

Надеемся, что данная книга будет полезна не только студентам технических вузов, изучающим квантовую физику, но и преподавателям, а также всем, кто интересуется квантовой механикой и еe квазиклассическим приближением.

Предисловие ко второму изданию

Во втором издании этого учебного пособия внесены небольшие исправления и добавления.

В Приложении к гл . 2 изложен так называемый принцип соответствия Бора, который был важным руководящим началом старой, полуклассической квантовой механики до создания новой строгой квантовой механики Гейзенберга—Шредингера 1925–26 гг.

Далее, в Приложении к гл . 4 дано краткое изложение элементов общей теории криволинейных координат и коэффициентов Ламэ в связи с выводом формулы для лапласиана в сферических координатах.

В этом же Приложении к гл . 4 изложена строгая квазиклассическая асимптотическая теория стационарных волновых функций атома водорода.

При этом только для стационарных состояний с l = n − 1 и m_l = l получается в асимптотическом пределе классическая орбита, которая является круговой.

Для остальных стационарных состояний имеем не орбиты, а только трехмерные классически доступные области, непрерывно заполненные соответствующими классическими траекториями.

То есть установлена строгая связь полученных квазиклассических асимптотик строгих стационарных волновых функций атома водорода с точными решениями уравнения Гамильтона—Якоби для атома водорода.

Насколько нам известно, строгая квазиклассическая асимптотическая теория стационарных волновых функций атома водорода публикуется впервые.

Предисловие к первому изданию

Существуют объективные трудности ознакомления с основами квантовой механики студентов младших курсов университетов и высших учебных заведений, еще слабо владеющих основными приемами математического анализа. Соблазнительной при этом является идея о замене изучения трудных физических основ квантовой механики изучением ее математического аппарата. И даже довольно широко бытует мнение, что сначала надо изучить «математику» квантовой механики, а уж потом начнешь понимать ее «физику».

В данном учебном пособии предпринята попытка облегчить процесс ознакомления студентов с квантовой механикой, начинающих знакомиться с ее основами.

Поэтому в этом учебном пособии разбирается только одна задача, пожалуй, самая основная задача современной квантовой механики — задача построения теории атома с одним единственным электроном — атома водорода. Это задача исторически явилась главной задачей, решение которой привело к построению существующей квантовой теории. После теории атома водорода, квантовая механика смогла практически сразу развить теорию остальных атомов, молекул и твердых тел, атомных ядер и элементарных частиц.

В первой части предлагаемого вниманию читателя учебного пособия подробно изложена в историческом аспекте так называемая «старая», или «квазиклассическая» квантовая теория нерелятивистского атома водорода с покоящимся ядром.

Во второй части пособия рассмотрена строгая квантовая теория атома водорода с обсуждением отдельных основных положений квантовой механики, которые необходимы для понимания строгой квантовой теории атома водорода.

Пособие начинается с элементарной классической модели атома Дж. Дж. Томсона 1903 г., знаменитой модели «пудинга» (рисовой каши с изюмом). В этой модели атома атомное ядро представлялось в виде однородно заряженного положительным электричеством механически твердым шара с размерами атома, в который погружены подвижные точечные классические электроны. Изложены причины, по которой в 1911 г. от этой модели атома пришлось отказаться в связи с экспериментальным открытием Резерфордом точечного массивного атомного ядра малых размеров, находящегося внутри атома, в котором сосредоточена практически вся масса атома.

Классическая модель атома водорода Резерфорда с точечным ядром столкнулась, однако, с очень серьезной трудностью, трудностью «падения электрона на ядро» (т.е. отсутствия у атома основного состояния, которое тем не менее имелось в неправильной модели Дж. Дж. Томсона).

Выход из затруднительного положения был найден Бором, предложившим в 1913 г. на основе чисто классической теории атома Резерфорда первую успешную квантовую теорию атома водорода, объяснившую количественно экспериментально наблюдаемый спектр излучения атома водорода с точностью 5–6 значащих цифр. Бор сознательно пошел на отказ от ряда основных положений классической механики и электродинамики, четко зафиксировав этот свой отказ в своих знаменитых «постулатах Бора».

Бор отобрал из всех возможных по классической механике круговых орбит электрона в атоме водорода набор «стационарных орбит», двигаясь по которым электрон, по предположению Бора, не излучает электромагнитные волны. По постулату Бора, атом излучает (или поглощает) электромагнитное излучение только тогда, когда электрон «перескакивает» с одной стационарной орбиты на другую стационарную орбиту.

В 1916 г. Зоммерфельд усовершенствовал теорию Бора, включив в нее помимо круговых произвольные эллиптические орбиты. Он сформулировал при этом в общем виде так называемые «условия квантования» для отбора стационарных орбит для произвольной классической механической системы.

Новых орбит в теории Бора атома водорода Зоммерфельд, однако, не получил. Случайно Бор оказался прав, ограничившись рассмотрением только круговых орбит. Но построив совокупность квантовых эллиптических орбит, Зоммерфельд обнаружил среди них группы орбит, состоящие из нескольких орбит, имеющих одинаковую энергию, и тем самым открыл очень важный в квантовой механике эффект вырождения квантовых уровней. В предла гаемом учебном пособии довольно полно изложена теория Зоммерфельда атома водорода, с учетом эффекта «пространственного квантования» орбит.

В отличие от Зоммерфельда, однако, мы оставили в теории так называемые «проникающие в ядро орбиты», представляющие собой эллиптические орбиты, вырождающиеся в дважды покрытые отрезки с одним концом на ядре (соответствующие орбитальному квантовому числу l, равному нулю), но отбросили эллиптические орбиты, представляющие собой круги (соответствующие квантовому числу l, равному главному квантовому числу n).

Зоммерфельд в своей теории атома водорода проникающие орбиты не рассматривал.

Во второй части нашего учебного пособия мы уделяем большое внимание квантовой теории интегралов движения, вводим понятие «полной системы интегралов движения» и использования ее собственных чисел в качестве «квантовых чисел» для нумерации стационарных состояний, соответствующих вырожденным стационарным уровням. Все эти вопросы излагаются исключительно на примере теории атома водорода. Тем самым мы излагаем общую полную квантовомеханическую теорию квантовых чисел.

В предлагаемом учебном пособии мы ограничились полным изложением только вопросов, связанных с дискретными энергетическими уровнями атома водорода, и совсем не обсуждаем состояния непрерывного спектра этого атома, описывающие процессы рассеяния электрона на протоне и ионизации атома. Не рассмотрены также и более тонкие детали спектра атома водорода, связанные с интенсивностями отдельных спектральных линий его спектра, вероятностями квантовых переходов, тонкой и сверхтонкой структурой линий и т. д. Это вывело бы нас далеко за пределы нашей основной задачи начального ознакомления читателя с основами квантовой механики.

Надеемся, что предлагаемое учебное пособие поможет всем желающим по возможности с меньшим трудом ознакомиться с основными идеями современной квантовой теории.

Об авторах

Толмачёв Владимир Вениаминович

Доктор физико-математических наук, профессор. Окончил МГУ имени М. В. Ломоносова. Работал в Математическом институте имени В. А. Стеклова, в Институте тонкой химической технологии имени Д. И. Менделеева, в МГУ, а также в МГТУ имени Н. Э. Баумана. Автор более 150 научных работ и монографий. Перевел на русский язык и отредактировал 7 монографий зарубежных авторов. Основные направления научной деятельности: теория ферми- и бозе-газов, квазиклассические приближения в квантовой механике, теория сверхпроводимости, элементарные частицы, специальная теория относительности, статистическая физика, теория твердого тела.

Скрипник Фёдор Васильевич

Кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник. Окончил Черновицкий государственный университет имени Ю. Федьковича. Работал в Черновицком госуниверситете, в МИРЭА и в МГТУ имени Н. Э. Баумана. Автор более 50 научных работ и монографий. Основные направления научной деятельности: теория твердого тела, квазиклассические приближения в квантовой механике, элементарные частицы, релятивистская механика, электромагнитные волны.