Тарасевич Ю.Ю.

Перколяция:
теория, приложения, алгоритмы

---

...следует проявлять осторожность, объявляя, что некоторая область науки близка к завершению. ...К моему удивлению, теория перколяции не мертва. (Дитрих Штауффер)

Теории перколяции уже более пятидесяти лет. Ежегодно на Западе публикуются сотни статей, посвященных как теоретическим вопросам перколяции, так и ее приложениям. Опубликована несколько монографий, посвященных как теории, так и приложениям [38,39,60,82,89], а также обзоров [55,86,88]. К сожалению, в нашей стране о теории перколяции знают немногие. Во многом это связано с тем, что литература по теории перколяции на русском языке довольно скудна. Мне известна единственная книга отечественных авторов, вышедшая на русском языке и целиком посвященная перколяции [99]. Даже если добавить несколько книг, в том числе и переводных, где теории перколяции посвящены отдельные главы [24,35,49,130], и перевод книги [60], -- список оказывается не очень впечатляющим.

С одной стороны, ощущается потребность в книге, которая могла бы послужить учебником на начальном этапе знакомства с перколяцией. С другой стороны, монография, которая отражала бы последние достижения теории перколяции и состояние проблемы на сегодняшний день, тоже весьма актуальна. Эти две во многом взаимоисключающие друг друга задачи послужили толчком для написания книги. В какой мере удалось выполнить поставленную задачу, судить читателям.

Теория перколяции имеет дело с образованием связанных объектов в неупорядоченных средах. С точки зрения математика теорию, перколяции следует отнести к теории вероятности на графах. С точки зрения физика, перколяция -- это геометрический фазовый переход. С точки зрения программиста -- широчайшее поле для разработки новых алгоритмов. С точки зрения практика -- простой, но мощный инструмент, позволяющий в едином подходе решать самые разнообразные жизненные задачи.

Теория перколяции привлекает к себе внимание специалистов по ряду причин [38]:

 легкие и элегантные формулировки задач теории протекания сочетаются с трудностью их решения;

 их решение требует объединения новых идей из геометрии, анализа и дискретной математики;

 физическая интуиция бывает весьма плодотворной при решении этих задач;

 техника, развитая для теории перколяции, имеет многочисленные приложения в других задачах о случайных процессах;

 теория перколяции дает ключ к пониманию иных физических процессов.

То, что перколяцией занимаются специалисты в разных областях, породило определенные проблемы: исследователи порой плохо ориентируясь в работах по перколяции, выполненных специалистами из другой предметной области. Гриммет пишет [39, р. 8]: "Перколяция стала предметом энергичных исследований математиков и физиков, каждая группа использует свой собственный язык". Штауффер призывает [90] специалистов в области компьютерных экспериментов читать работы специалистов в области математической физики и наоборот. Это способствовало бы, по его мнению, большему прогрессу в теории перколяции.

Мне хочется выразить особую благодарность профессору С.А.Просандееву, который познакомил меня с основными идеями теории перколяции; доктору С. ван дер Марку, совместная работа с которым и многочисленные дискуссии серьезно повлияли на становление моего нынешнего понимания теории перколяции; всем коллегам по перколяционному сообществу, общение с которыми -- не всегда продолжительное, но всегда продуктивное, -- способствовало написанию этой книге.

---

Предисловие
1	Введение в теорию перколяции
	1.1	Введение
	1.2	Немного терминологии
	1.3	Перколяция как критическое явление
	1.4	Критические показатели и масштабная инвариантность
	1.5	Точно решаемые задачи теории перколяции
		1.5.1	Перколяция на одномерной цепочке
		1.5.2	Перколяция на дереве Кейли
		1.5.3	Точные решения для некоторых плоских решеток
	1.6	Перколяционный кластер и его подструктуры
	1.7	Структура перколяционного кластера
		1.7.1	Модель Скал-Шкловского--де Жена
		1.7.2	Модель капель и связей
		1.7.3	Модель на основе ковра Серпинского
		1.7.4	Модель на основе фрактала Гивена--Мандельброта
		1.7.5	Иерархическая модель
	1.8	Формулы для оценки порога перколяции
		1.8.1	Определения и оценки
		1.8.2	Оценки Шера и Цаллена
		1.8.3	"Универсальная формула" Галама и Можера
		1.8.4	Порог перколяции для архимедовых решеток
	1.9	Смешанная задача теории перколяции
	1.10	Квантовая перколяция
	1.11	Цветная перколяция
	1.12	Диффузионный фронт
	1.13	Инвазионная перколяция
	1.14	Континуальная перколяция
	1.15	Задача "иголок" и родственные проблемы
	1.16	"Решеточные звери" и разложение в ряд
	1.17	Метод ренорм-групп
		1.17.1	Метод ренорм-групп для малых ячеек
		1.17.2	Метод ренорм-групп для больших ячеек
		1.17.3	Е-разложение
2	Алгоритмы
	2.1	Алгоритм Зиффа
	2.2	Алгоритм Лиса
	2.3	Алгоритм Хошена--Копельмана
	2.4	Алгоритмы поиска в глубину и ширину
		2.4.1	Алгоритм поиска в глубину
		2.4.2	Алгоритм поиска в ширину
	2.5	Специальные алгоритмы
3	Некоторые приложения теории перколяции
	3.1	Процессы гелеобразования
	3.2	Применение теории перколяции для описания магнитных фазовых переходов
А	Значения порогов перколяции для различных решеток
В	Элементарные сведения по теории графов
С	Производящие функции
	С.1	Применение метода производящих функций для определения порога перколяции на дереве Кэли
D	Фракталы
	D.1	Фракталы в математике и физике
	D.2	Размерности
		D.2.1	Размерность самоподобия
		D.2.2	Размерность по Хаусдорфу--Безиковичу
	D.3	Определение фрактальной размерности кластера
Литература

---

ТАРАСЕВИЧ Юрий Юрьевич

Кандидат физико-математических наук, доцент (кафедра прикладной математики и информатики Астраханского государственого университета).

Области научных интересов:

Вычислительная физика и компьютерное моделирование

Физика твердого тела

Компьютеризация учебного процесса

Преподавательская деятельность (курсы, читавшиеся в различные годы и в различных вузах):

Компьютерное и математическое моделирование

Математические модели физических процессов

Численные методы

Дискретная математика

Введение во фрактальную геометрию

Языки программирования

Пакеты прикладных программ

Современные издательские технологии

Физика

Качественные методы теоретической физики

Концепции современного естествознания

Образование:

1980--1985 гг. --- физический факультет Ростовского государственного университета.

1988--1991 гг. --- аспирантура по физике твердого тела на кафедре теоретической и вычислительной физики Ростовского государственного университета.

1999--2002 гг. --- докторантура по математической физике в Ростовском государственном университете.