Федорюк М.В. Метод перевала Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие

Тема настоящей книги – асимптотические оценки интегралов. Многочисленные задачи математики, математической и теоретической физики, механики, техники приводят к необходимости исследовать интегралы вида

F(lambda) = интеграл от gamma exp [lambda S(x)] f (x)dx

при больших значениях параметра lambda => + oo. Здесь интеграл может быть одномерным или многомерным, область интегрирования у может быть интервалом вещественной оси или областью n-мерного вещественного пространства, контуром в комплексной плоскости или n-мерным контуром в n-мерном комплексном пространстве.

Можно по пальцам пересчитать те случаи, когда такие интегралы явно вычисляются. С другой стороны, при больших значениях параметра вычисление значений таких интегралов не под силу даже самым современным ЭЦВМ. Единственное, что остается-это попытаться воспользоваться асимптотическими методами.

В настоящей книге рассмотрены основные методы асимптотических оценок интегралов: метод Лапласа, метод стационарной фазы, метод перевала. В частных случаях асимптотические разложения были открыты и применялись еще в XVIII столетии Стирлингом, Маклореном и Эйлером. Дальнейшее развитие эти методы получили в работах Стокса, Кельвина, Дебая и многих других авторов. Тем не менее книги, посвященные специально асимптотическим методам, начали появляться только в 60-х годах нашего столетия.

Настоящая книга рассчитана на широкий круг лиц-математиков, физиков, механиков, инженеров-исследователей. Для чтения книги достаточно знания основ математического анализа, линейной алгебры и теории функций комплексного переменного. Исключение составляет лишь гл.V; необходимые для ее понимания элементарные топологические и алгебраические факты приведены в тексте. Некоторые факты в книге сформулированы в форме задач. Примеры, которые приводятся в книге, как правило, связаны с конкретными задачами; мы избегали примеров, придуманных специально для демонстрации того или иного метода.

Литература, посвященная асимптотическим оценкам интегралов, в особенности одномерных, огромна, и приведенные нами библиографические указания ни в коей мере не претендуют на полноту. Имеется ряд монографий, полностью или частично посвященных асимптотике интегралов, – это книги [10], [34], [44], [66], [97], [106], [ИЗ], [128]. Подробная библиография имеется в [66], [128].

Асимптотические методы, к сожалению, также имеют свои границы. Не следует думать, что асимптотику любого интеграла вида F(lambda), даже одномерного, можно вычислить. Рассмотрим, например, преобразование Фурье

F(lambda) = интеграл от oo до -oo e^{-i lambda x} phi(x)dx.

Если про функцию phi(x) известно лишь, что она финитна и бесконечно дифференцируема, то про функцию F(lambda) можно сказать только, что она убывает при lambda => +- oo быстрее любой степени lambda; но никакой асимптотической формулы (кроме написанного выше интеграла) для нее получить нельзя. Имеется не такое уж большое число эталонных типов интегралов, асимптотику которых удается вычислить. По-видимому, в недалеком будущем наряду с таблицами интегралов возникнут и таблицы асимптотик интегралов.

Нумерация формул в каждой главе независима от нумерации в других главах. При ссылке на формулу из другой главы добавляется номер этой главы.

Об авторе

Федорюк Михаил Васильевич

Известный отечественный математик, доктор физико-математических наук, профессор Московского физико-технического института. Родился в Свердловске. В 1957 г. после окончания механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова поступил в аспирантуру, где занимался под руководством И. М. Гельфанда. С 1960 г. работал на кафедре высшей математики Московского физико-технического института сначала в должности ассистента, затем, с 1963 г. — в должности доцента. В 1961 г. защитил кандидатскую, а в 1967 г. — докторскую диссертацию по асимптотическим методам в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В 1969 г. ему было присвоено ученое звание профессора. С 1966 г. работал по совместительству старшим научным сотрудником Акустического института имени Н. Н. Андреева.

М. В. Федорюк — автор серии работ, относящихся к асимптотическому исследованию решений обыкновенных дифференциальных уравнений, а также большого цикла работ об асимптотике решений линейных уравнений высокого порядка. Он является создателем многомерного метода перевала. Фундаментальным вкладом в акустику являются его труды по проблеме активного гашения акустических полей, цикл работ, посвященный задачам дифракции звука на вытянутых телах. Широкую популярность приобрели его монографии «Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики» (совм. с В. П. Масловым), «Метод перевала», «Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений» и «Асимптотика. Интегралы и ряды», а также учебники «Лекции по теории функций комплексного переменного» (совм. с М. И. Шабуниным и Ю. В. Сидоровым), «Обыкновенные дифференциальные уравнения» и «Сборник задач по теории асимптотических функций» (коллектив авторов), выдержавшие по несколько изданий и переведенные на многие иностранные языки.