В книге изложен ряд основных идей и методов, применяемых для исследования обыкновенных дифференциальных уравнений. Элементарные методы интегрирования рассматриваются с точки зрения общематематических понятий (разрешение особенностей, группы Ли симметрий, диаграммы Ньютона и т.д.). В данное издание включены некоторые дополнительные результаты: удвоение периода Фейгенбаума и его развитие - ренормгрупповой анализ бифуркаций (Персиваль, Ландфорд, Синай); доказательство Ильяшенко теоремы Дюлака об ограниченности числа предельных циклов полиномиальных плоских векторных полей и другие.
Рассчитана на широкий круг математиков - от студентов до преподавателей и научных работников.
Содержание
Предисловие 5
Некоторые используемые обозначения 9
Глава 1. Специальные уравнения 11
1. Дифференциальные уравнения, инвариантные относительно групп симметрий 11
2. Разрешение особенностей дифференциальных уравнений 19
3. Уравнения, не разрешенные относительно производных 25
4. Нормальная форма уравнения, не разрешенного относительно производной,
в окрестности регулярной особой точки 37
5. Стационарное уравнение Шредингера 44
6. Геометрия дифференциального уравнения второго порядка и геометрия пары
полей направлений в трехмерном пространстве 57
Глава 2. Уравнения с частными производными первого порядка 75
7. Линейные и квазилинейные уравнения
с частными производными первого порядка 75
8. Нелинейное уравнение с частными производными первого порядка 85
9. Теорема Фробениуса 104
Глава 3. Структурная устойчивость 108
10. Понятие структурной устойчивости 109
11. Дифференциальные уравнения на торе 117
12. Аналитическое приведение к повороту аналитических
диффеоморфизмов окружности 136
13. Введение в гиперболическую теорию 144
14. У-системы 151
15. Структурно устойчивые системы не всюду плотны 166
Глава 4. Теория возмущений 169
16. Метод усреднения 170
17. Усреднение в одночастотных системах 174
18. Усреднение в многочастотных системах 179
19. Усреднение в гамильтоновых системах 192
20. Адиабатические инварианты 196
21. Усреднение в слоении Зейферта 202
Глава 5. Нормальные формы 209
22. Формальное приведение к линейной нормальной форме 209
23. Резонансный случай 213
24. Области Пуанкаре и Зигеля 217
25. Нормальная форма отображения в окрестности неподвижной точки 223
26. Нормальная форма уравнения с периодическими коэффициентами 226
27. Нормальная форма окрестности эллиптической кривой 235
28. Доказательство теоремы Зигеля 250
Глава 6. Локальная теория бифуркаций 258
29. Семейства и деформации 258
30. Матрицы, зависящие от параметров, и особенности декремент-диаграмм 276
31. Бифуркации особых точек векторного поля 301
32. Версальные деформации фазовых портретов 307
33. Потеря устойчивости положения равновесия 312
34. Потеря устойчивости автоколебаний 330
35. Версальные деформации эквивариантных векторных полей на плоскости 349
36. Перестройки топологии при резонансах 372
37. Классификация особых точек 388
Образцы экзаменационных задач 394
