| Prólogo |
| 1 | Axiomas de las paralelas de Euclides y de Lobachevski |
| 2 | Sistema de axiomas de la geometría. Primeros tres grupos de axiomas |
| 3 | Relación de los axiomas de congruencia con el concepto de movimiento |
| 4 | Sistema de axiomas de la geometría (continuación). Axiomas de continuidad. Axiomas de las paralelas |
| 5 | Consistencia de la geometría euclídea. Geometría proyectiva. Construcción del primer modelo de la geometría de Lobachevski |
| 6 | Investigación del primer modelo de la geometría de Lobachevski |
| 7 | Medición de ángulos en el plano de Lobachevski. Segundo modelo del plano de Lobachevski (modelo de Poincaré). Suma de los ángulos de un triángulo |
| 8 | Aplicaciones de semejanza. Geometría elíptica |
| 9 | Superficies de curvatura constante. La seudoesfera |
| Índice de materias |
Dedicado a la memoria de mi maestro,
Alexandr Románovich Eigues
Este pequeño libro es la segunda edición, ligeramente modificada, de mi
artículo publicado con el mismo título en el libro "Nikolay Ivánovich
Lobachevski", publicado en conmemoración del 150 aniversario del
nacimiento del célebre geómetra. Aparte del artículo que constituye la
base del presente libro, la obra mencionada contenía otros dos artículos:
uno de carácter biográfico escrito por mí y uno de A.N.Kolmogórov
titulado "Lobachevski y el pensamiento matemático del siglo diecinueve".
El artículo ofrecido aquí al lector no es un manual de geometría
no-euclídea y no pretende reemplazar en modo alguno los libros sobre esta
disciplina ya existentes. Nuestro objetivo es absolutamente otro: dar al
lector una introducción a las ideas fundamentales de la geometría
no-euclídea y presentar las mismas en la forma más compacta posible y en
estrecha conexión con otras ideas geométricas (principalmente con la
geometría proyectiva y, desde luego, con los fundamentos de la geometría).
El libro comienza con la exposición de la axiomática de la geometría
euclídea aceptada generalmente en la actualidad. A continuación se
introduce el concepto de movimiento, que está estrechamente relacionado
con los axiomas de congruencia, y terminamos esta parte del libro con los
axiomas de las paralelas de Euclides y de Lobachevski. A la vez, se
presentan varios modelos de demostración de teoremas de la geometría
elemental, pero dado el pequeño volumen del libro, naturalmente, no nos
propusimos la tarea de efectuar una construcción completa del sistema de
la geometría elemental, con todas las demostraciones necesarias, partiendo
de los axiomas y definiciones. Para el cumplimiento de esta tarea sería
necesario escribir un nuevo curso de fundamentos de la geometría, lo que
no estaba entre nuestros planes.
La segunda parte del libro está dedicada principalmente a la construcción
e investigación de dos modelos de la geometría de Lobachevski (modelo de
Klein y modelo de Poincaré). Del estudio de estos modelos obtendremos la
demostración de la consistencia de la geometría de Lobachevski. Aquí la
exposición se llevará a cabo utilizando los conceptos principales de la
geometría proyectiva en su forma analítica. Esto debe preparar al lector
para el contenido de la tercera parte, la última de este libro. En ella
estudiaremos otra geometría no-euclídea, la geometría del plano elíptico,
la cual por medio de la geometría esférica nos conduce al problema de la
realización de la geometría no-euclídea desde el punto de vista de la
geometría diferencial. A nuestro parecer, la exposición, que hemos tratado
de llevar a cabo con la mayor claridad posible, contiene una cantidad
suficiente de demostraciones para satisfacer la curiosidad natural del
lector y las exigencias lógicas de toda la construcción. Sin embargo,
algunos resultados geométricos, aunque formulados con toda rigurosidad, se
han dejado sin demostración.
Al escribir este libro tuvimos en cuenta, principalmente, dos tipos de
lectores. En primer lugar, nuestro profesorado, y en segundo lugar, los
estudiantes de centros de enseñanza preuniversitaria que se interesan
especialmente en la matemática. La gran mayoría de los profesores
culminaron sus estudios en el instituto pedagógico y, por tanto, en su
tiempo estudiaron uno u otro curso de fundamentos de la geometría, que
posiblemente ya ha sido olvidado. Esperamos que el libro que ofrecemos les
permita recordar el tema principal de este curso sin sobrecargar el
contenido con demasiados detalles y que, además, los introduzca
directamente en el círculo de las ideas fundamentales de la geometría
no-euclídea.
No obstante, estamos seguros de que estas ideas pueden ser comprendidas
también por aquéllos que no tuvieron la oportunidad de estudiar los
fundamentos de la geometría. Precisamente esta seguridad nos permite tener
en cuenta a los estudiantes de institutos preuniversitarios.
Pensamos que aquéllos para quienes la geometría es la asignatura
predilecta serán cautivados por las grandiosas ideas geométricas de
Lobachevski y obtendrán provecho de la lectura de este libro. A propósito,
el primer encuentro del autor con las ideas de la geometría no-euclídea
tuvo lugar cuando estudiaba en la escuela media, gracias a su profesor
A.R.Eigues, a cuya memoria se dedica este libro. Las nociones
fundamentales de la geometría de Lobachevski, impartidas talentosamente
por el profesor Eigues, constituyeron la causa principal que en su tiempo
condujo al autor a la elección de la matemática como su especialidad
futura. Esperamos que, para los jóvenes que por primera vez estudian las
nociones e ideas geométricas que no entran en el programa escolar de
matemática, la lectura de este libro se transforme en un estímulo para
estudiar más profundamente la geometría no-euclídea (véanse, por ejemplo,
los correspondientes capítulos del excelente libro de Efímov N.V.
"Geometría superior" (Moscú: Mir), así como Kostin V.I. Osnovaniya
geometrii (Fundamentos de la geometría) (en ruso)).
Queremos, finalmente, recomendar al lector que intente demostrar los
teoremas que han quedado sin demostración en el libro. En muchos casos,
sobre todo en los teoremas de los primeros capítulos, el lector tendrá
éxito.
Pável Serguiéevich Alexándrov (1896--1982)
Eminente matemático, fundador de la mundialmente reconocida escuela
soviética de topología. Culminó sus estudios en la Universidad Estatal "M. V.
Lomonósov" de Moscú en 1917, en la cual impartió clases desde 1921. En 1929,
el autor fue elegido Miembro Correspondiente de la Academia de Ciencias de
la URSS y designado Académico en el año 1953. De 1932 a 1964 ocupó el cargo
de Presidente de la Sociedad Matemática de Moscú.
P. S. Alexándrov introdujo una serie de conceptos y construcciones de
fundamental importancia en la topología, creó la teoría homológica de la
dimensión, la teoría de los espacios compactos y localmente compactos.
Asimismo, obtuvo resultados importantes en la teoría de conjuntos y en la
teoría de funciones de variable real. Entre sus discípulos se encuentran
grandes matemáticos como L.S.Pontriaguin, A.N.Tíjonov y G.S.Chogoshvili.
