URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Стинрод Н., Чинн У. Первые понятия топологии: Геометрия отображений отрезков, кривых, окружностей и кругов. Пер. с англ.
Id: 73250
 
299 руб. Бестселлер!

Первые понятия топологии: Геометрия отображений отрезков, кривых, окружностей и кругов. Пер. с англ. Изд.3, стереот.

URSS. 2008. 224 с. Мягкая обложка. ISBN 978-5-382-00703-8.

 Аннотация

W.G.Chinn, N.E.Steenrod. First Concepts of Topology. The Geometry of Mappings of Segments, Curves, Circles and Disks

Иногда говорят, что топология --- это качественная геометрия, но в наши дни едва ли следует считать топологию лишь частью геометрии. Она представляет собой один из наиболее бурно и интенсивно развивающихся разделов математики и все шире проникает в самые разнообразные области математических знаний. Все больше приложений находит топология и вне математики.

Эта книга посвящена основным и простейшим понятиям топологии. На примере двух важных теорем авторы показывают, как эти понятия возникают, как они позволяют правильно понять и точно сформулировать некоторые утверждения и как с помощью топологических методов эти утверждения можно доказать.

Книга написана ясным языком и содержит много полезных упражнений; от читателя не требуется предварительных знаний по топологии. Книга, безусловно, заинтересует всех любителей математики, начиная с учащихся старших классов средней школы.


 Оглавление

От редактора
Введение
ЧАСТЬ I. Теоремы существования в одномерном случае
 § 1. Первая теорема существования
Упражнения
 § 2. Множества и функции
Упражнения
 § 3. Окрестности и непрерывность
Упражнения
 § 4. Открытые и замкнутые множества
Упражнения
 § 5. Полнота системы действительных чисел
Упражнения
 § 6. Компактность
Упражнения
 § 7. Связность
Упражнения
 § 8. Топологические свойства и топологическая эквивалентность
Упражнения
 § 9. Теорема о неподвижной точке
Упражнения
 § 10. Отображения окружности в прямую
Упражнения
 § 11. Задачи о блинах
Упражнения
 § 12. Нули многочленов
Упражнения
ЧАСТЬ II. Теоремы существования в двумерном случае
 § 13. Отображения плоскости в себя
Упражнения
 § 14. Круг
Упражнения
 § 15. Первые попытки сформулировать главную теорему
Упражнение
 § 16. Кривые и замкнутые кривые
Упражнения
 § 17. Интуитивное определение порядка кривой
Упражнения
 § 18. Формулировка главной теоремы
Упражнения
 § 19. Когда рассуждение не является доказательством?
 § 20. Угол, заметаемый кривой
Упражнения
 § 21. Подразделение кривой на неполные кривые
Упражнения
 § 22. Порядок W(\phi, у) кривой относительно точки
Упражнения
 § 23. Свойства A(\phi, у) и W(\phi, y)
Упражнение
 § 24. Гомотопии кривых
Упражнения
 § 25. Постоянство порядка кривой относительно точки
Упражнения
 § 26. Доказательство главной теоремы
Упражнение
 § 27. Порядок окружности относительно каждой внутренней точки равен единице
Упражнения
 § 28. Свойство неподвижной точки
Упражнения
 § 29. Векторные поля
 § 30. Эквивалентность векторных полей и отображений
Упражнения
 § 31. Индекс векторного поля относительно замкнутой
кривой Упражнения
 § 32. Отображения сферы в плоскость
Упражнения
 § 33. Разрезание сэндвича с ветчиной
Упражнения
 § 34. Векторные поля, касательные к сфере
Упражнения
 § 35. Комплексные числа
Упражнение
 § 36. Каждый многочлен имеет нуль
Упражнения
 § 37. Эпилог: несколько слов о случае более высоких размерностей
Ответы и решения Часть I Часть II
Литература
Предметный указатель

 От редактора

Эта небольшая книга, заметно отличающаяся по своему характеру и содержанию от всех других известных нам научно-популярных книг на близкую тему (об этом еще будет сказано ниже), бесспорно, обладает большими достоинствами: она посвящена достаточно глубоким и важным идеям и теоремам, но притом доступна и малоопытному читателю, строга без излишнего педантизма, элегантна и лишена всяких элементов вульгаризации, столь частых в литературе для начинающих. Авторы книги -- выдающийся американский ученый Норман Стинрод и опытный преподаватель Уильям Чинн, связанный с известной Исследовательской группой по школьной математике, которая объединяет многих видных математиков и педагогов США.

В книге рассматриваются некоторые вопросы очень интересного раздела современной математики -- топологии, идеи которой начинают занимать все более и более важное место в общей математической культуре. В настоящее время топология переживает период бурного развития: она активно вторгается в другие разделы математики, частично вытесняя свою старшую сестру -- геометрию, рамки топологии раздвигаются сразу в нескольких направлениях. Об этом говорят в своем введении и авторы настоящей книги. Однако начинающему читателю это введение может показаться трудным; в таком случае можно лишь бегло просмотреть его и приступить к изучению основного текста книги.

Отличие настоящей книги от других начальных книг по топологии (некоторые из них указаны в приложенном к русскому изданию списке литературы) состоит в том, что авторы не пытаются описать различные занимательные эффекты (родственные области "математических развлечений"), которых довольно много в этой науке. Они уделяют внимание лишь нескольким действительно первичным понятиям топологии и лишь одной задаче, которая на самом деле является очень важной. На примере этой задачи авторам удается показать читателю сущность топологии и ее связь с другими разделами математики.

В первую очередь книга рассчитана на тех, кто только начинает интересоваться математикой -- учеников старших классов средней школы, студентовпервокурсников. Но она будет очень интересной и для преподавателей математики.

И.М.Яглом

 Введение

Когда мы писали эту книгу, нашей целью было показать, как топология возникла, ввести и объяснить первые ее понятия и рассказать о некоторых из ее простейших приложений.

Отдельной областью математики топологию стали считать примерно пятьдесят лет назад, но в основном ее развитие приходится на последние тридцать лет. Будучи самой энергичной из новых ветвей математики, она оказала огромное влияние и на большинство более старых ветвей. Топология была вызвана к жизни потребностями анализа (части математики, охватывающей дифференциальное и интегральное исчисление и дифференциальные уравнения). Но она не является отделом анализа, это скорее один из видов геометрии. Топология не так специализирована, как, скажем, проективная или дифференциальная геометрия, напротив, она является примитивной, элементарной формой, лежащей в основе всякой геометрии. Самое поразительное -- что идеи топологии проникают почти во все области математики. В большей части этих приложений топология дает важные орудия и понятия для доказательства некоторых основных предложений, известных под названием теорем существования.

Наш рассказ о началах топологии будет концентрироваться вокруг двух теорем существования из анализа. Первая из них, о которой идет речь в части I, играет в анализе фундаментальную роль. Она была известна задолго до того, как топология была осознана как отдельный предмет. Разрабатывая ее доказательство, мы разовьем основные идеи топологии. При этом будет показано, как топология возникла и почему она полезна. Вторая главная теорема, изложенная в части II, является обобщением первой на случай двух измерений. В отличие от первой теоремы ее нельзя сформулировать без помощи одного топологического понятия. Ее доказательство выявляет то своеобразное сочетание точных числовых выкладок и качественных геометрических соображений, которое так характерно для топологии. Обе теоремы имеют многочисленные приложения. Мы расскажем о тех из них, которые наиболее интересны с точки зрения топологии.

Первые сведения по топологии можно найти в работах Карла Вейерштрасса (60-е годы прошлого века), в которых он анализирует понятие предела функции (поскольку оно встречается в анализе). Он попытался реконструировать систему действительных чисел и обнаружил некоторые из ее свойств, ныне называемых "топологическими". Затем появились смелые исследования Георга Кантора по теории точечных множеств (1874-1895 г.); они подготовили фундамент, на котором в конце концов топология воздвигла свой собственный дом. Второму направлению топологии, называемому комбинаторной или алгебраической топологией, положили начало в 90-х годах прошлого столетия замечательные работы Анри Пуанкаре, посвященные интегральному исчислению для высших размерностей. Теоретико-множественная топология, представляющая первое направление, была поставлена на твердое основание Ф.Хаусдорфом и другими на протяжении первого десятилетия нашего века. Объединение комбинаторного и теоретико-множественного направлений топологии впервые было осуществлено Л.Э.Брауэром при изучении понятия размерности (1908-1912 г.). Существенное развитие объединенной теории было дано в период с 1915 по 1930 г. Д.У.Александером, П.С.Александровым, С.Лефшецом и другими. До 1930 г. топология называлась analysis situs. Первым, кто использовал и популяризовал термин топология, был Лефшец, опубликовавший в 1930 г. книгу под этим названием.

С 1930 г. топология двигалась ускоренными шагами. Чтобы это подтвердить, упомянем некоторые из ее достижений, Через теорию критических точек, развитую М.Морсом (Институт высших исследований, Лринстон), она вторглась в вариационное исчисление. Работами X. Уитни (Институт высших исследований, Принстон) по расслоенным пространствам, Ж.Де Рама (Лозанна) по дифференциальным формам и Г.Хопфа (Цюрих) по группам Ли она дала новый толчок дифференциальной геометрии. Развив новые основы алгебры и новую ее ветвь, называемую гомологической алгеброй, она вызвала целую революцию в современной алгебре. Многое здесь было сделано С.Эйленбергом (Колумбийский университет) и С.Маклейном (университет Чикаго). С помощью теории пучков и когомологий топология дала новые стимулы к жизни алгебраической геометрии, а в работах Ж.Лере (Париж) и М.Атьи (Оксфорд) она нашла важные приложения к дифференциальным уравнениям в частных производных.

Были найдены приложения топологии и к другим наукам за пределами математики, но почти все они осуществляются через посредство какой-либо промежуточной математической дисциплины. Например, изменения, внесенные топологией в дифференциальную геометрию, положили начало топологическим представлениям в теории относительности. Топология превратилась в один из основных объектов математики и фактически стала необходимостью для многих ее областей и объединяющей силой для почти всей математики.

Когда нематематик спрашивает тополога: "Что такое топология?", "Для чего она нужна?", последний оказывается в невыгодном положении. Спрашивающий ждет ответа, который можно дать на аналогичные вопросы относительно тригонометрии, вроде того, что тригонометрия имеет дело с определением углов и используется для решения задач в геодезии, навигации и астрономии. Но такого прямого ответа тополог дать не может. Он может с полным основанием сказать, что топология -- это род геометрических соображений, полезных во многих областях современной математики. Однако это не удовлетворит того, кто хотел бы уловить суть предмета. Тогда тополог может принести сделанный из бумаги с помощью ножниц и клея лист Мебиуса и разрезать его вдоль центральной линии или же он может взять веревку и показать, как можно, не связывая ее, образовать три отдельные петли. Если он почувствует прилив энергии, он может продемонстрировать, как снять пиджак, не снимая пальто. Каждый из этих домашних фокусов основан на серьезной математической идее, требующей для своего объяснения по крайней мере нескольких часов. Но показывать эти фокусы без соответствующего объяснения значило бы изображать карикатуру на топологию.

Чтобы оценить топологию по достоинству, необходимо стать на точку зрения математика и изучить некоторые из ее плодотворных приложений. Большинство этих приложений имеет то общее, что они встречаются при доказательстве теорем существования. Теорема существования -- это теорема, утверждающая, что каждая из некоторого широкого класса задач имеет решение специального вида. Такие теоремы часто являются основными в рассматриваемом вопросе. Одна из главных наших целей -- продемонстрировать силу и гибкость топологии при доказательстве теорем существования.

Теорема существования, которую мы докажем в части I, отвечает на вопрос: когда уравнение вида f(x)=y можно разрешить относительно х? Здесь f(x) обозначает функцию или формулу... определенную для действительных чисел х в некотором замкнутом промежутке [а, b] (например, [2, 4]), а у -- некоторое действительное число (например, 33/2). Вопрос состоит в следующем: существует ли в промежутке [a, b] такое число х, что f(x)=y?..

Подчеркнем, что мы не собираемся искать методы для нахождения значения или значений х в какихлибо конкретных случаях. Мы хотим вместо этого отыскать широкий критерий, применимый для каждой из многих различных задач и выясняющий, существует решение или нет. Если этот критерий гарантирует нам, что данная конкретная задача решение имеет, то мы можем приступить к нахождению этого решения, зная, что наши поиски не напрасны.

Критерий, даваемый нашей главной теоремой (сформулированной в § 1), требует понятия непрерывности функции (определенного в § 3). Доказательство этой теоремы (которое проводится в § 2-8) основано на двух топологических свойствах замкнутого промежутка [а, b], называемых компактностью и связностью. Мы остановимся на этих понятиях очень подробно, потому что они играют в современной математике основную роль.

Главная теорема части II -- это теорема существования, отвечающая на вопрос: когда систему двух уравнений f(х, у)=а и g(x, y)=b можно разрешить относительно х и у? Известным примером такой задачи служит система двух линейных уравнений

х -- 2у = 3 и 3x+y=5,

которую можно легко решить путем исключения неизвестных. Вот более трудная задача того же типа: найти пару чисел хиу, удовлетворяющих двум уравнениям

y lg x / 1+x2=-1/4 и x+2y3=10.

В частности, существует ли такое решение при условии, что х находится между 1/2 и 1, а у -- между -1 и 2? Так же как и раньше, мы ищем не набор методов, позволяющих найти решение, а скорее способ для определения, существует решение или нет.

Критерий, даваемый второй главной теоремой (сформулированной в § 18), требует понятия порядка замкнутой кривой на плоскости относительно точки, лежащей в этой плоскости. В доказательстве также широко используется аппарат части I, связанный с компактностью, связностью и непрерывностью.

Приложениями наших главных теорем служат теоремы о существовании нулей многочленов, неподвижных точек отображений и особенностей векторных полей.

В заключение будет нелишним сказать несколько слов о теоремах существования вообще, С тем, что они важны, немедленно соглашаются математики. Учащиеся на первых порах могут отнестись к ним несколько скептически. Причина этого состоит в том, что между методами, употребляемыми при доказательстве существования, и приемами для нахождения решения, которые учащимся приходится осваивать, имеется серьезный пробел. Доказательство существования должно быть применимым во всех случаях, какие только могут встретиться, поэтому оно трудно, а его методы в конкретных случаях имеют тенденцию становиться сложными и скучными. Большинство же случаев, с которыми имеет дело учащийся, относительно несложно и потому поддается значительно более простым методам.

Рассмотрим для примера задачу о нахождении нулей многочленов. Сначала учащийся изучает многочлены низкой степени с целыми коэффициентами, и их легко разложить на множители. В более трудных задачах он учится находить целочисленные корни, подставляя в уравнение делители свободного члена, Затем он знакомится с более сложным методом нахождения рациональных корней. Наконец, на случай отчаянных ситуаций он может научиться методу последовательных приближений, принадлежащему Горнеру. Трудности овладения этими методами достаточны, чтобы заставить его забыть общий вопрос о существовании или несуществовании того, что он ищет. Если ему напомнить об этом вопросе, он сразу отнесет его к числу метафизических.

То, что это вовсе не метафизический вопрос, станет ясным, если мы рассмотрим историю известных задач о трисекции угла и квадратуре круга. Со времен Евклида многие математики и нематематики пытались решить эти задачи, придумывая различные планы и проявляя чудеса изобретательности. Они неизменно подходили к этим задачам с молчаливым предположением, что решения существуют, и считали, что вопрос состоит лишь в том, как их найти. Количество усилий, затраченных при этих поисках, было грандиозным. И до второй половины прошлого века не нашлось никого, кто рассмотрел бы возможность, что решений этих задач вообще не существует. Вскоре после того, как это произошло, появилось и доказательство несуществования. Как только вопрос о существовании был в явной форме поставлен, он быстро получил ответ. В современных исследованиях вопросы существования ставятся прежде всего; ответы на них жизненно необходимы для того, чтобы соответствующие теории имели прочные основания.

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце