URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Оптимизация: теория, примеры, задачи
Id: 729
 
199 руб.

Оптимизация: теория, примеры, задачи

URSS. 2000. 320 с. Твердый переплетISBN 5-8360-0041-7.

 Аннотация

Книга посвящена важнейшим проблемам оптимизации. Она построена на базе преподавания теории оптимизации на механико-математическом факультете МГУ. В основе ее лежат курсы, прочитанные в 1998/99 годах Э.М.Галеевым (Главы 1--5) и В.М.Тихомировым (Глава 6). Рассматриваются фрагменты следующих разделов теории экстремальных задач: линейного и выпуклого программирования, математического программирования, классического вариационного исчисления и оптимального управления. Приводятся как необходимые так и достаточные условия экстремума. Для изучения этих разделов в необходимом объеме даются элементы функционального и выпуклого анализа. В каждом параграфе после теоретической части приводятся примеры решения задач, предлагаются задачи для решения на семинарах, контрольных и для домашних заданий. Дается обзор общих методов теории экстремума.

Для студентов вузов по специальностям "Математика", "Прикладная математика", а также для аспирантов, преподавателей и научных работников.


 Предисловие

Задачи на отыскание наибольших и наименьших величин являются актуальными на протяжении всей истории развития человечества. Особенное значение они приобретают в настоящее время, когда возрастает важность в наиболее эффективном использовании природных богатств, людских ресурсов, материальных и финансовых средств. Все это приводит к необходимости отыскивать наилучшее, или как говорят, оптимальное решение того или иного вопроса.

Первые задачи на максимум и минимум были поставлены и решены в глубокой древности, когда математика только зарождалась как наука. Теория экстремальных задач начала создаваться в начале 17 века, и затем она активно развивалась вплоть до наших дней, включая в свою орбиту крупнейших математиков таких как Ферма, Ньютон, Лейбниц, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Пуанкаре, фон Нейман, Канторович, Понтрягин и других. В наше время невозможно мыслить себе полноценное математическое образование без элементов теории экстремума.

Книга состоит из 6 глав. Первые пять глав, составляющих первую часть, написаны Э.М.Галеевым. Они содержат материал курсов оптимизации, читаемых на курсах лекций по методам оптимизации, линейному программированию, оптимальному управлению и вариационному исчислению на механико-математическом факультете Московского государственного университета, а также в некоторых институтах естественно научного профиля. Данный курс лекций был разработан целым рядом профессоров и преподавателей механико-математического факультета МГУ. На начальном этапе курс формировался усилиями В.М.Алексеева, В.М.Тихомирова, С.В.Фомина. Методическая разработка доказательств, а так же подбор и составление задачного материала во многом были проведены Э.М.Галеевым. При написании этих глав использовался материал, содержащийся в ранее опубликованных книгах: (АТФ) Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. "Оптимальное управление", М.: Наука, 1979; (АГТ) Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. "Сборник задач по оптимизации", М.: Наука, 1984; (ГТ) Галеев Э.М., Тихомиров В.М. "Краткий курс теории экстремальных задач", М.: Изд-во МГУ, 1989. Эта часть книги является расширением вариантом пособия Галеева Э.М. "Курс лекций по вариационному исчислению и оптимальному управлению", М.: Изд-во мехмата МГУ, 1996. Она предназначена для курсов, включающих элементы теории экстремума любого уровня и приспособлена к действующим ныне программам. Все чертежи в LATEX' 2e выполнены Альфирой Галеевой.

В этой части рассматриваются следующие разделы теории экстремальных задач: задачи без ограничений, гладкие задачи с ограничениями типа равенств и неравенств, линейное программирование, классическое вариационное исчисление, оптимальное управление, необходимые и достаточные условия экстремума в классическом вариационном исчислении.

При изучении данных разделов требуется знание основ математического анализа и линейной алгебры, изучаемых на первых двух курсах технических и педагогических вузов, университетов. Предполагается, что читатели знакомы с элементарными приемами дифференцирования и интегрирования функций, умеют решать простейшие дифференциальные уравнения, знакомы с элементарными навыками работы с матрицами (умножением, транспонированием, нахождением обратной). Все остальные используемые в курсе математические понятия подробно определяются.

В первой главе рассматриваются задачи без ограничений, задачи с ограничениями типа равенств, с ограничениями типа равенств и неравенств для числовых функций n переменных и в нормированных пространствах. Для каждого типа задач приводятся решения соответствующих примеров. Одним из примеров является старинная задача Аполлония о нормалях к эллипсу. Методами теории экстремальных задач решается задача из курса алгебры о приведении квадратичной формы к главным осям. Большое внимание уделяется выпуклым задачам. Даются элементы выпуклого анализа, причем выпуклый анализ в зависимости от уровня математической подготовки читателя может рассматриваться как в конечномерных пространствах, так и в линейных нормированных пространствах, вводится понятие субдифференциала и доказывается теорема Куна--Таккера. В этой же главе даются некоторые элементы функционального анализа и дифференциального исчисления в нормированных пространствах.

Вторая глава посвящена линейному программированию. В ней вначале даются постановки задач линейного программирования, правило решения задач в канонической форме по симплекс-методу, приводятся с решениями примеры. Вводится понятие двойственности, затем проводится строгое обоснование симплекс-метода, дается ряд методов нахождения первоначальной крайней точки. Полученные навыки применяются к некоторым наиболее известным типам задач линейного программирования -- транспортным задачам и задачам о назначении. Основная цель при этом -- ознакомление студентов с имеющимися методами решения задач линейного программирования и проведение обоснования этих методов. Обоснование проводится таким образом, чтобы для решения подобных задач в дальнейшем возможно было бы самостоятельно создать метод решения и провести его обоснование. В пособии приведены доказательства теоремы существования решений и теоремы двойственности, позволяющие более глубоко понять данный курс.

В третьей главе приводятся следующие элементарные задачи классического вариационного исчисления: простейшая задача, задача Больца, изопериметрическая задача. Все эти задачи являются частным случаем более общей задачи Лагранжа. Как частный случай задачи Лагранжа рассматриваются задача с подвижными концами и задача со старшими производными.

В четвертой главе рассматриваются задачи оптимального управления. Приводится формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина в общем случае, а также принципа максимума для задачи со свободным концом. Решаются простейшая задача о быстродействии, задача Ньютона и ряд других задач оптимального управления.

В пятой главе даны необходимые и достаточные условия экстремума в простейшей задаче классического вариационного исчисления.

Глава 6, составляющая вторую часть, написана В.М.Тихомировым и посвящена обзору всей теории экстремальных задач с единых современных позиций. Она основана на записях курса лекций, читавшегося Тихомировым В.М. на механико-математическом факультете МГУ осенью 1998 года. В ней в сжатой форме выражено воззрение на теорию экстремальных задач, составившее стержень книг Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. "Теория экстремальных задач", М.: Наука, 1974 и Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. "Оптимальное управление", М.: Наука, 1979.

Эта часть рассчитана на преподавателей вузов и университетов (в особенности, на ведущих занятия по курсам оптимизации), студентов старших курсов университетов и научных работников, интересующихся проблемами теории экстремума и местом, которое занимает этот раздел анализа в современной математике. Глава 6 написана в надежде на то, что она поспособствует модернизации курсов оптимизации в будущем.

Глава 6 состоит из пяти параграфов, посвященных принципу Лагранжа для необходимых условий экстремума, возмущениям экстремальных задач, существованию решений, алгоритмам оптимизации. Отдельный пятый параграф посвящен решению конкретных задач.

Э.М.Галеев, В.М.Тихомиров


 Оглавление

Предисловие

ЧАСТЬ I

Введение
Глава 1. Экстремальные задачи
 1.Конечномерные задачи без ограничений
  1.1.Постановка задачи
  1.2.Необходимые и достаточные условия экстремума
  1.3.Правило решения
  1.4.Примеры
  1.5.Задачи, упражнения
 2.Конечномерные гладкие задачи с равенствами
  2.1.Постановка задачи
  2.2.Необходимые и достаточные условия экстремума
  2.3.Правило решения
  2.4.Примеры
  2.5.Задача Аполлония
  2.6.Задачи
 3.Конечномерные гладкие задачи с равенствами и неравенствами
  3.1.Постановка задачи
  3.2Необходимые и достаточные условия экстремума
  3.3.Правило решения
  3.4.Примеры
  3.5.Задачи
 4.Выпуклые задачи
  4.1.Элементы выпуклого анализа. Субдифференциал
  4.2.Теоремы отделимости
  4.3.Задачи без ограничений
  4.4.Задачи с ограничением
  4.5.Задача выпуклого программирования
  4.6.Задачи, упражнения
 5.Элементы функционального анализа
  5.1.Нормированные и банаховы пространства
  5.2.Определения производных
  5.3.Некоторые теоремы дифференциального исчисления в нормированных пространствах
  5.4.Дополнительные сведения из алгебры и функционального анализа
  5.5.Задачи
 6.Гладкая задача без ограничений
  6.1.Постановка задачи
  6.2.Необходимые условия I порядка
  6.3.Необходимые и достаточные условия II порядка
 7.Гладкая задача с равенствами
  7.1.Постановка задачи
  7.2.Необходимые условия I порядка
  7.3.Необходимые условия II порядка
  7.4.Достаточные условия II порядка
 8.Гладкая задача с равенствами и неравенствами
  8.1.Постановка задачи
  8.2.Необходимые условия I порядка
  8.3.Необходимые условия II порядка
  8.4.Достаточные условия II порядка
 Ответы к задачам главы 1
Глава 2. Линейное программирование
 1.Симплекс-метод
  1.1.Постановки задач. Геометрическая интерпретация
  1.2.Правило решения задач по симплекс-методу
  1.3.Примеры
  1.4.Задачи
 2.Двойственность в линейном программировании
  2.1.Элементы выпуклого анализа. Преобразование Лежандра
  2.2.Примеры
  2.3.Вывод двойственных задач
 3.Обоснование симплекс-метода
  3.1.Теоремы существования, двойственности, критерий решения
  3.2.Свойства множества допустимых точек
  3.3.Доказательство симплекс-метода
 4.Методы нахождения начальной крайней точки
  4.1.Переход к решению двойственной задачи
  4.2.Метод искусственного базиса
  4.3.Примеры
  4.4.Задачи
 5.Транспортная задача
  5.1.Постановка задачи
  5.2.Особенности задачи
  5.3.Методы нахождения начальной крайней точки
  5.4.Метод потенциалов
  5.5.Примеры транспортных задач
  5.6.Задача двойственная к транспортной задаче
  5.7.Обоснование метода потенциалов решения тран-спортной задачи
  5.8.Задача о назначении. Пример
  5.9.Задачи
 Ответы к задачам главы 2
Глава 3. Вариационное исчисление
 1.Простейшая задача классического вариационного исчисления
  1.1.Постановка задачи
  1.2.Вывод уравнения Эйлера с помощью основной леммы вариационного исчисления
  1.3.Вывод уравнения Эйлера с помощью леммы Дю-буа-Реймона
  1.4.Векторный случай
  1.5.Интегралы уравнения Эйлера
  1.6.Примеры
  1.7.Задачи
 2.Задача Больца
  2.1.Постановка задачи
  2.2.Необходимое условие экстремума
  2.3.Многомерный случай
  2.4.Пример
  2.5.Задачи Больца
 3.Задача с подвижными концами
  3.1.Постановка задачи
  3.2.Hеобходимые условия экстремума
  3.3.Пример
  3.4.Задачи с подвижными концами
 4.Изопериметрическая задача
  4.1.Постановка задачи
  4.2.Необходимое условие экстремума
  4.3.Пример
  4.4.Задача Дидоны
  4.5.Изопериметрические задачи
 5.Задача со старшими производными
  5.1.Постановка задачи
  5.2.Необходимое условие экстремума
  5.3.Пример
  5.4.Задачи со старшими производными
 6.Задача Лагранжа
  6.1.Постановка задачи
  6.2.Необходимые условия экстремума
  6.3.Примеры
  6.4.Вывод уравнения Эйлера--Пуассона из теоремы Эй-лера--Лагранжа
  6.5.Задачи Лагранжа
 Ответы к задачам главы 3
Глава 4. Задачи оптимального управления
 1.Принцип максимума Понтрягина в общем случае
  1.1.Постановка задачи
  1.2.Формулировка теоремы
  1.3.Доказательство
  1.4.Пример
 2.Формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина для задачи со свободным концом
 3.Избранные задачи оптимального управления
  3.1.Простейшая задача о быстродействии
  3.2.Аэродинамическая задача Ньютона
  3.3.Примеры задач оптимального управления
  3.4.Задачи оптимального управления
 Ответы к задачам главы 4
Глава 5. Условия второго порядка в вариационном исчислении
 1.Простейшая задача вариационного исчисления
  1.1.Сильный и слабый экстремум
  1.2.Пример слабого, но не сильного экстремума
  1.3.Условия Лежандра, Якоби, Вейерштрасса
  1.4.Необходимые и достаточные условия слабого и сильного экстремума
  1.5.Правило решения
  1.6.Примеры
  1.7.Задачи
 Ответы к задачам главы 5
Список литературы к части I

ЧАСТЬ II

Глава 6. Общая теория экстремальных задач
 0.Введение
  0.1.Основные темы и принципы общей теории экстремума
  0.2.Классы экстремальных задач
  0.3.О базе теории
 1.Пpинцип Лагранжа для необходимых условий экстремума
  1.1.Формулировка принципа Лагранжа для гладко-выпуклых задач
  1.2.Доказательство принципа Лагранжа для гладко-выпуклых задач
  1.3.Следствия принципа Лагранжа
 2.Возмущения экстремальных задач
  2.1.Возмущения в математическом программировании
  2.2.Простейшая задача классического вариационного исчисления
 3.Расширение вариационных задач и существование решений
  3.1.Расширение вариационных задач
  3.2.Теоремы существования в задачах вариационного исчисления
 4.Алгоритмы оптимизации
  4.1.Алгоритмы минимизации квадратичной функции
  4.2.Метод центрированных сечений и метод эллипсоидов
 5.Приложения общей теории к решению конкретных задач
 6.Заключительные замечания
Список литературы к части II
Список обозначений
Предметный указатель
Сведения об авторах

 Авторы

Галеев Эльфат Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры общих проблем управления механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова. Автор более 75 научных работ, в том числе ряда монографий по теории экстремальных задач. Научные интересы: теория приближений, теория экстремальных задач.

Тихомиров Владимир Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой общих проблем управления механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова. Автор более 140 научных работ, в том числе ряда монографий по теории экстремальных задач и теории приближений. Научные интересы: теория приближений, теория экстремальных задач.



 Исправления

PDF


 Об авторах

Галеев Эльфат Михайлович
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры общих проблем управления механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Специалист в области теории аппроксимации, функционального анализа, теории экстремальных задач и методики преподавания элементарной математики.

Автор более 150 научных работ, в том числе ряда монографий по теории экстремальных задач и учебно-методических пособий по подготовке к вступительным экзаменам по математике в МГУ.

Тихомиров Владимир Михайлович
Доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой общих проблем управления механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, почетный профессор МГУ. Автор более 250 научных работ и более 20 монографий и учебников.
 
© URSS 2016.

Информация о Продавце