URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., Шикин Е.В., Заляпин В.И. ВСЯ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА: Теория вероятностей, математическая статистика, теория игр
Id: 7237
 
299 руб.

ВСЯ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА: Теория вероятностей, математическая статистика, теория игр. Т.5. Изд.2

URSS. 2002. 296 с. Мягкая обложка. ISBN 5-8360-0478-1.

 Аннотация

Предлагаемый учебник впервые вышел в свет в виде двухтомника сначала на английском и испанском языках в 1990 году, а затем на французском. Он пользуется большим спросом за рубежом.

В 1999 году книга стала лауреатом конкурса по созданию новых учебников Министерства образования России.

Этот учебник адресован студентам высших учебных заведений (в первую очередь будущим инженерам и экономистам) и охватывает практически все разделы математики, но при этом представляет собой не набор разрозненных глав, а единое целое.

Пятый том включает в себя материал по теории вероятностей, математической статистике и теории игр.


 Оглавление

Теория вероятностей

Глава XXXVII. Элементарные соображения
Глава XXXVIII. Случайные события. Вероятность
Глава XXXIX. Случайные величины и законы распределения
Глава XL. Функции случайных величин
Глава XLI. Числовые характеристики случайных величин
Глава XLII. Законы больших чисел и предельные теоремы
Задачи к разделу
Примеры решения задач

Математическая статистика

Глава XLIII. Оценки
Глава XLIV. Статистическая проверка гипотез
Глава XLV. Статистическое исследование зависимостей
Заключение

Введение в теорию игр

Глава XLVI. Матричные игры
Глава XLVII. Позиционные игры
Глава XLVIII. Биматричные игры
Заключение
Задачи к разделу
Приложение. Подсчет численностей выборочных совокупностей. Принцип умножения. Комбинаторика
Предметный указатель

 Предисловие

Предлагаемый учебник адресован студентам высших технических учебных заведений и по охвату материала соответствует духу и букве образовательного стандарта для большинства инженерно-технических специальностей. Он охватывает практически все разделы математики, включая ряд пока еще нетрадиционных (дискретная математика, вычислительные методы и др.), и тем не менее представляет собой не набор разрозненных глав, а единое целое, где естественные связи между разделами и главами прослеживаются явно.

Отбор материала и способы его изложения строились авторами так, чтобы у читателя постепенно складывалось цельное представление об основных математических идеях и методах, и вместе с тем так, чтобы вложить в руки пользователя простой, но эффективный инструмент, необходимый для разрешения прикладных задач разного уровня и разнообразной природы.

При подготовке книги авторы исходили из предпосылки, что выпускник инженерно-технического учебного заведения должен обладать достаточно высокой математической культурой, иметь навыки современного математического мышления и использования математического моделирования в своей практической деятельности.

В книге учтен опыт многолетнего преподавания авторов в высших учебных заведениях разного профиля и уровня подготовки студентов.

Книга не перегружена доказательствами. Предпочтение отдано тем из них, которые имеют самостоятельное значение: раскрывают существо проблемы или метода, несут алгоритмическую направленность, раскрывающую схему решения типичной задачи, или полезны с методической точки зрения. Авторы стремились к тому, чтобы развитие математических понятий и конструкций начиналось с примеров физических и технических задач, к ним приводящим.

Отличительной особенностью книги является большое количество разнообразных примеров и геометрических иллюстраций. Наличие рисунков позволяет читателю лучше разобраться в материале, более основательно усвоить соответствующие темы и разделы.

Книга написана простым, доходчивым и, в то же время, современным математическим языком на достаточно строгом (для инженера) уровне.

В конце каждой главы приводятся задачи и упражнения (с ответами) для самостоятельного решения.


 Теория вероятностей

При изучении различных явлений в природе и обществе исследователь сталкивается с двумя видами экспериментов -- теми, результаты которых однозначно прогнозируемы в данных условиях, и теми, результаты которых в условиях, контролируемых исследователем, однозначно спрогнозировать нельзя, а можно лишь высказать предположение о спектре возможных результатов. В первом случае говорят о детерминированных явлениях, во втором -- о явлениях, носящих случайный характер. При этом имеют в виду, что a priori (заранее, до проведения эксперимента или завершения наблюдения за явлением) в первом случае мы в состоянии предсказать результат, а во втором -- нет. Для дальнейшего несущественно, чем вызвана подобная непредсказуемость -- законами природы, лежащими в основе изучаемого явления или неполнотой информации о процессах, обуславливающих это явление. Важным обстоятельством является наличие самого факта непредсказуемости.

Теория вероятностей, изложению основ которой посвящен этот раздел, призвана дать исследователю возможность описывать подобного рода эксперименты и явления и предоставляет ему надежный инструмент для изучения реальности в ситуациях, когда детерминистическое описание невозможно.


 Математическая статистика

Приступая к изучению элементов статистики, отметим несколько особенностей в постановке и решении ее задач в сравнении с задачами теоретико-вероятностными.

Теория вероятностей, исходя из известных характеристик совокупности случайных величин, отвечает на вопрос о возможности осуществления того или иного события, обусловленного рассматриваемыми случайными величинами: знаем закон распределения совокупности случайных величин \bar\xi={xi1...xin} -- хотим уметь находить вероятности событий, которые этими случайными величинами определяются.

В статистике мы решаем задачи, в некотором смысле обратные, а именно: наблюдая некоторые события, о которых известно, что возможность их осуществления или неосуществления обусловливается комплексом случайных величин, хотим определить эти (неизвестные) случайные величины, их вероятностные характеристики: знаем результаты наблюдений (конкретные значения, принятые случайной величиной) -- хотим сделать какие-нибудь заключения о законе распределения (в частности о параметрах и числовых характеристиках) наблюдаемой случайной величины.

Ясно, что в силу принципиальной непредсказуемости результатов наблюдения за случайной величиной, выводы, сделанные на основе результатов эксперимента, будут информативными только в том случае, когда эти наблюдения "хорошие" -- т.е. те значения xi, которые имеют б\'ольшую вероятность, будут наблюдаться в эксперименте чаще, а имеющие меньшую вероятность -- реже. Законы больших чисел утверждают, что в подавляющем большинстве экспериментов так и будет. Однако, это не гарантирует нам, что данный конкретный эксперимент окажется именно таким.

Поэтому всякое статистическое заключение недостоверно: если основа заключения "хороший" эксперимент, то заключение достаточно близко к истине, если "плохой", то ошибочно. При этом "хорош" эксперимент или "плох" определяется не нами, не нашей добросовестностью наблюдателя и тщательностью экспериментатора, а исключительно случаем -- природой.

Сказанное хорошо иллюстрируется следующим примером: пусть наблюдаются результаты n-кратного бросания монеты. Если бросать монету достаточно долго, то частота появления, например, герба, как гласит закон больших чисел в форме Бернулли, будет близка к вероятности. Поэтому по частоте (наблюдаемой и вычисляемой величине) можно сделать заключение о вероятности (неизвестной величине). Насколько это заключение соответствует истине?

Пусть монета симметрична, т.е. P(Г)=P(Р)=0,5 (что тем не менее не препятствует асимметрии в количестве появлений герба и решки в конкретном эксперименте)!

Может статься, что в серии из 100 бросаний герб появится 45 раз, а решка 55, а может статься и так, что герб появится 20 раз, а решка -- 80. Ясно, что первая серия может быть признана "хорошей" с точки зрения рассматриваемой задачи, а вторая -- "плохой". В любом случае мы сделаем заключение о неизвестной вероятности выпадения герба по наблюденной в эксперименте частоте и в первом случае положим P(Г)=0,45, а во втором -- 0,2. Основанием для оптимизма является то важное обстоятельство, что "плохие" серии будут встречаться тем реже, чем длиннее серия! Значит, при достаточно длинной серии бросаний эксперимент скорее будет "хорошим" чем "плохим", и определенная по результатам такого эксперимента P(Г) будет "похожа" на истинную. Достоверность статистического вывода будет определяться тем, насколько "редки" плохие эксперименты.

Практика использования статистических процедур показывает, что чаще всего решения, принятые на основании подобных выводов, оказываются верными. И именно это обстоятельство (согласованность статистических выводов с экспериментом) делает математическую статистику не бесполезной в практическом отношении наукой.

В дальнейшем мы неоднократно будем употреблять термины "маленькая вероятность", "маловероятное событие" и т.п. Какая же вероятность может считаться маленькой, а какая нет? Не вдаваясь подробно в обсуждение этого вопроса, заметим только, что абсолютная величина вероятности вне связи с конкретной обстановкой не дает нам никаких сведений о ее малости или немалости. Скажем, если нам известно, что вероятность осуществления некоторого события равна 0,01, то эта вероятность будет маленькой, если комплекс условий, обусловливающий рассматриваемое событие, складывается один раз за сто лет. Если же комплекс условий, при котором наблюдается рассматриваемое событие, складывается каждые пять минут, то эта же вероятность должна рассматриваться как значительная. Другими словами, под маленькой вероятностью мы будем понимать вероятность такого события, которое практически не наблюдается, вне зависимости от ее численного значения.


 Введение в теорию игр

В практической деятельности весьма часто приходится рассматривать явления и ситуации, в которых участвуют две или более стороны, имеющие различные интересы и обладающие возможностями применять для достижения своих целей разнообразные действия. Подобные явления и ситуации принято называть конфликтными, или просто конфликтами.

Типичный конфликт характеризуется тремя основными составляющими:

1) заинтересованными сторонами,

2) возможными действиями этих сторон,

3) интересами сторон.

Конфликтная ситуация, взятая из реальной жизни, как правило, довольно сложна. К тому же ее изучение затруднено наличием многих разных обстоятельств, часть из которых не оказывает сколь-либо существенного влияния ни на развитие конфликта, ни на его исход. Поэтому для того, чтобы анализ конфликтной ситуации оказался возможным, необходимо отвлечение от этих второстепенных факторов, при удачном стечении обстоятельств позволяющее построить упрощенную формализованную модель конфликта, которую и принято называть игрой. От реальной конфликтной ситуации игра отличается еще и тем, что ведется по вполне определенным правилам.

Необходимость изучения и анализа конфликтов, представляемых в виде упрощенных математических моделей (игр), вызвала к жизни специальный математический аппарат -- теорию игр.

Опишем некоторые основные понятия, используемые в этой теории.

Заинтересованные стороны называются игроками. Любое возможное для игрока действие (в рамках заданных правил игры) называется его стратегией. В условиях конфликта каждый игрок выбирает свою стратегию, в результате чего складывается набор стратегий, называемый ситуацией. Заинтересованность игроков в ситуации проявляется в том, что каждому игроку в каждой ситуации приписывается число, выражающее степень удовлетворения его интересов в этой ситуации и называемое его выигрышем в ней.

В этих условиях протекание конфликта состоит в выборе каждым игроком своей стратегии и в получении им в сложившейся ситуации выигрыша из некоторого источника. На этом пути создается теория игр с выигрышами.

Однако оценка игроком ситуации путем указания его выигрыша, вообще говоря, не всегда возможна практически и даже не всегда имеет смысл. В подобных случаях иногда удается вместо прямых численных оценок ситуаций указывать на их сравнительную предпочтительность для отдельных игроков. На этом пути создается теория игр с предпочтениями, включающая в себя как частный случай и теорию игр с выигрышами. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только игр с выигрышами.

Изучение игр можно проводить с различных точек зрения. Мы будем стремиться к

-- выработке принципов оптимальности, то есть того, какое поведение игроков следует считать оптимальным (разумным, целесообразным);

-- выяснению реализуемости этих принципов, то есть установлению существования оптимальных в выработанном смысле ситуаций;

-- отысканию этих реализаций.

Одной из плодотворных форм реализации представлений об оптимальности можно считать понятие равновесия, при котором складывается такая (равновесная) ситуация, в нарушении которой не заинтересован ни один из игроков.

Именно ситуации равновесия могут быть предметом устойчивых договоров между игроками (ни у одного из игроков не будет мотивов к нарушению договора). Кроме того, ситуации равновесия являются выгодными для каждого игрока: в равновесной ситуации каждый игрок получает наибольший выигрыш (разумеется, в той мере, в какой это от него зависит).

Если в игре ситуации равновесия (в пределах отпущенных возможностей) нет, то, оставаясь в условиях стратегий, имеющихся у игроков, мы сталкиваемся с неразрешимой задачей. При возникновении подобных случаев естественно ставить вопрос о таком расширении первоначального понятия стратегии, чтобы среди ситуаций, составленных из новых, обобщенных стратегий, заведомо нашлись бы равновесные. Если такие обобщенные стратегии существуют, то обычно они представляются некоторыми комбинациями исходных стратегий (при этом, естественно, предполагается, что игра повторяется многократно). Для того, чтобы отличать прежние стратегии от новых, первые называют чистыми, а вторые -- смешанными стратегиями.

Весьма плодотворным является представление смешанной стратегии как случайного выбора игроками их чистых стратегий, при котором случайные выборы различных игроков независимы в совокупности, а выигрыш каждого из них определяется как математическое ожидание случайного выигрыша. Игра, преобразованная таким образом, обычно называется смешанным расширением исходной игры.

Проиллюстрируем сказанное на примере одного из самых простых, но одновременно и наиболее изученных классов игр, на так называемых матричных играх. Исследование матричных игр интересно еще и потому, что к ним могут быть приближенно сведены многие игры более общего вида.

Затем мы кратко остановимся на вопросе классификации игр и рассмотрим еще два вида игр -- позиционные игры и биматричные игры.


 Об авторах

Краснов Михаил Леонтьевич
  • Родился 30 ноября 1925 г.
  • Окончил механико-математический факультет МГУ в 1951 г.
  • В 1951-1985 гг. профессор Московского энергетического института, факультет математики.

  • Область интересов: дифференциальные уравнения.


    Киселев Александр Иванович
  • Родился 26 августа 1917 г.
  • Окончил механико-математический факультет МГУ в 1951 г.
  • В 1951-1962 гг. работал в Институте физических проблем АН СССР.
  • В 1962--1996 доцент Московского энергетического института, факультет математики.

  • Область интересов: теория функций.


    Макаренко Григорий Иванович
  • Родился 23 апреля 1922 г.
  • Окончил механико-математический факультет МГУ в 1951 г.
  • В 1951-1960 профессор Московского энергетического института, факультет математики.
  • В 1960-1978 гг. старший научный сотрудник Объединенного института ядерных исследований в Дубне.
  • В 1978-1989 гг. профессор Московского государственного института путей сообщения, факультет математики.

  • Область интересов: дифференциальные уравнения.


    Шикин Евгений Викторович
  • Родился 10 декабря 1942 г.
  • Окончил механико-математический факультет МГУ в 1964 г.
  • Кандидат физико-математических наук (1970), доктор физико-математических наук (1977). Профессор кафедры общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики.

  • Область научных интересов: геометрические методы исследования дифференциальных уравнений, вычислительная геометрия, компьютерная графика.

    Читал курсы лекций "Линейная алгебра и аналитическая геометрия", "Теория функций комплексного переменного", "Задача изометрического погружения и уравнения Монжа-Ампера", "Геометрические сплайны", "Геометрические методы в задачах поиска", "Компьютерная графика".


     Authors

    Krasnov Michail Leontievich

  • Born on November 30th 1925 in Russia.
  • Graduated from Moscow State University (Department of Mechanics and Mathematics) in 1951.
  • 1951-1985: Professor of Moscow Power Institute. Department of Mathematics.
  • Fields of interest: Differential Equations.


    Kiselyov Alexandr Ivanovich

  • Born on August 26th 1917 in Russia.
  • Graduated from Moscow State University (Department of Mechanics and Mathematics) in 1951.
  • 1951-1962: Affiliated to the Institute of Physical Problems of USSR Academy of Sciences.
  • 1962-1996: Associate Professor of Moscow Power Institute. Department of Mathematics.
  • Fields of interest: Theory of Functions.


    Makarenko Grigorij Ivanovich

  • Born on April 23th 1922 in Ukraine.
  • Graduated from Moscow State University (Department of Mechanics and Mathematics) in 1951.
  • 1951-1960: Assistant Professor of Moscow Power Institute. Department of Mathematics.
  • 1960-1978: Senior Researcher of the Joint Institute of Nuclear Research. Dubna.
  • 1978-1989: Professor of the Institute of Transport Engineers. Department of Mathematics.
  • Fields of interest: Differential Equations.


    Shikin Evgenij Viktorovich

  • Born on December 10th 1942 in Russia.
  • Graduated from Moscow State University (Department of Mechanics and Mathematics) in 1964.
  • Since 1964: Professor of Moscow State University. Department of Computational Mathematics and Cybernetics.

    Fields of interest: Differential Geometry.

  •  
    © URSS 2016.

    Информация о Продавце