URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Гастев Ю.А. Гомоморфизмы и модели: Логико-алгебраические аспекты моделирования
Id: 71267
 
311 руб.

Гомоморфизмы и модели: Логико-алгебраические аспекты моделирования. Изд.2, испр. и доп.

URSS. 2009. 208 с. Мягкая обложка. ISBN 978-5-397-00585-2.

 Аннотация

Настоящая книга посвящена проблемам логики, семиотики, методологии науки. В ней говорится о структурных аспектах процесса познания в терминах математической логики и алгебры. Уточняется понятие модели и процедуры моделирования с помощью понятий изоморфизма, гомоморфизма и их обобщений. Рассматриваются возможности упрощения описываемой концептуальной схемы и условия ее применимости. Помимо материала, вошедшего в первое издание, в книгу включены три энциклопедические статьи автора по философии математики и логике, подготовленные редактором-составителем для настоящего издания.

Книга адресована как математикам, так и философам, логикам и историкам науки, а также широкому кругу читателей, интересующихся математической логикой и философскими проблемами математики.


 Оглавление

Предисловие
Введение
 § 1."Модели" и "моделирование"
 § 2.Тождество и отождествление
 § 3.Изоморфизм
 § 4.Гомоморфизм
 § 5.Точные определения
 § 6.Последовательные усложнения схемы
 § 7.Факторизация
 § 8.Обобщенные гомоморфизмы
 § 9.Дополнительные определения
 § 10.Схема "Отражения" в алгебраических терминах
 § 11.Теоремы о гомоморфизмах
 § 12.Отступление (о формуле Байеса)
 § 13.Дальнейшие обобщения
 § 14."Огрубления" введенных понятий
 § 15.О "предельных вариантах" схемы
 § 16.О пределах применимости концепции
 § 17.Соотношение предложенной схемы с другими концепциями и ее перспективы
Заключение
Приложение
Литература
Указатель

 Предисловие

Вопросами, связанными с приложением идей математической логики, абстрактной алгебры, кибернетики и семиотики к проблеме моделирования, автор начал активно заниматься начиная примерно с 1961 г. Общие контуры вырисовавшейся в довольно многочисленных публикациях на эту тему концепции к концу 1970 г. были зафиксированы в диссертации "Изоморфизм и гомоморфизм как логико-гносеологические категории" [1]. В ходе дальнейшей работы развиваемая схема претерпела существенные изменения: многие вопросы, ранее разве что едва намеченные и казавшиеся второстепенными, выдвинулись на первый план, в то время как некоторым едва ли не центральным для первоначального очерка понятиям потом отводилось куда более скромное место. Некоторые (хотя и немногочисленные) из казавшихся особенно плодотворными ветвей пришлось решительно отсечь; в то же время возникали новые понятия, зачастую с трудом вписывающиеся в исходную картину. Ряд понятий, в том числе и ключевых для развиваемой концепции, получил новую трактовку.

Развиваемая в книге концепция не претендует на роль некоей "математики философии". Тем более, что это вообще не математика. Новых теорем в книге нет. Уже по этой причине претензии на абсолютную новизну и оригинальность выдвигаемых в ней тезисов выглядели бы несколько забавно (хотя никакого другого сколько-нибудь связного изложения всего этого круга вопросов, по-видимому, пока нет). Это избавляет автора от обязанности следовать утомительной традиции, пытаясь вызвать у читателя иллюзию полноты обзора работ предшественников.

Из сказанного, однако, не следует, что автор склонен недооценивать роль испытанных им многочисленных влияний, которые он стремился постоянно указывать по ходу изложения и которым он обязан гипотетическими достоинствами книги (в то время как все ее недостатки естественно отнести целиком на его счет). Наибольшее влияние на автора, насколько он может судить, оказали Н.А.Бернштейн, А.К.Гастев, У.Стоке, М.Л.Цетлин, Дж.Чейн, В.С.Чернявский, И. X. Шмаин, а также П.С.Новиков, А.С.Вольпин и С.А.Яновская, у которых он учился логике. Формированием многих освещаемых в книге понятий автор обязан беседам с Н.Я.Виленкиным, В.К.Финном, Ю.А.Шрейдером. Ряд ценных советов дали ему Ю.Ш.Гуревич и С.Р.Когаловский. С участниками культурологических семинаров Ю.А.Левады были обсуждены, подчас в весьма острых дискуссиях, многие тезисы книги. В формировании и уточнении излагаемой в книге концепции большую роль сыграло многолетнее сотрудничество автора в "Философской энциклопедии", к участию в которой он был привлечен А.Г.Спиркиным и где работал в постоянном контакте с М.М.Новоселовым. Б.В.Бирюкову автор обязан решимостью написать книгу и многочисленными редакционными предложениями-от рукописей первых энциклопедических статей до корректур нижеследующих страниц. Безусловно критическое отношение редактора книги Я.А.Мильнера ко многим ее тезисам не помешало ему выполнить свою неблагодарную работу с обычной (для него) тщательностью. Всем этим людям автор искренне благодарен.


 Введение

ПРАВ ТОТ, КТО СЧИТАЕТ РАЗДЕЛЕННОЕ -- РАЗДЕЛЕННЫМ И СОЕДИНЕННОЕ -- СОЕДИНЕННЫМ,
А В ЗАБЛУЖДЕНИИ -- ТОТ, МНЕНИЕ КОТОРОГО ПРОТИВОПОЛОЖНО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМ
ОБСТОЯТЕЛЬСТВАМ.

Аристотель

НЕТ НИЧЕГО В ИНТЕЛЛЕКТЕ, ЧЕГО БЫ НЕ БЫЛО РАНЬШЕ В ЧУВСТВЕ, КРОМЕ САМОГО ИНТЕЛЛЕКТА.

Г. В. Лейбниц

НАД ВСЕМ НАШИМ ТЕОРЕТИЧЕСКИМ МЫШЛЕНИЕМ ГОСПОДСТВУЕТ С АБСОЛЮТНОЙ СИЛОЙ ТОТ ФАКТ,
ЧТО НАШЕ СУБЪЕКТИВНОЕ МЫШЛЕНИЕ И ОБЪЕКТИВНЫЙ МИР ПОДЧИНЕНЫ ОДНИМ И ТЕМ ЖЕ ЗАКОНАМ
И ЧТО ПОЭТОМУ ОНИ И НЕ МОГУТ ПРОТИВОРЕЧИТЬ ДРУГ ДРУГУ В СВОИХ РЕЗУЛЬТАТАХ, А ДОЛЖНЫ СОГЛАСОВЫВАТЬСЯ
МЕЖДУ СОБОЙ.

Ф. Энгельс

ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ ДЛЯ ВСЕГО ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНОГО МИРОВОЗЗРЕНИЯ ТРЕБОВАНИЕ... СОГЛАСНО КОТОРОМУ
ДОЛЖНО БЫТЬ ВОЗМОЖНО ТАК ОПИСАТЬ В ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ ВНЕФИЗИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС СУБЪЕКТИВНОГО ВОСПРИЯТИЯ, КАК ЕСЛИ БЫ ОН ИМЕЛ МЕСТО В ФИЗИЧЕСКОМ МИРЕ.

Дж. фон Нейман

Предметом настоящей книги является формально-логическое исследование структурных закономерностей, проявляющихся при отражении реальной действительности в процессе человеческого познания. Конечно, проблематика теории познания ни в ее общетеоретическом аспекте, ни в конкретных (естественнонаучном и психологическом) планах отнюдь не исчерпывается анализом такого рода структурных закономерностей, да и такой анализ сам по себе вполне может потребовать выхода за рамки чисто дедуктивных рассмотрений. Тем не менее избранные автором тематические и методологические ограничения представляются ему весьма естественными и правомерными.

Такого рода ограничения для науки обычны. С них, в известном смысле, наука и начинается. Выделение предмета физики из натурфилософии было связано с "отсечением " целого ряда проблем (в том числе интересных и важных) и с еще более суровыми ограничениями в методе. Тем более это относится к оформлению в качестве самостоятельной науки "чистой" математики (в частности, конечно, к конституированию собственно Геометрии как дедуктивной теории вне и помимо свода правил, составлявших к тому времени содержание геометрии-"землемерия ").

Тезис Канта (многократно варьировавшийся другими мыслителями) о "математизации" как "мере научности" любой научной дисциплины в течение долгого времени если и воспринимался несколько метафорически, то тем не менее играл роль подсознательного стимула к попыткам превращения самых различных областей знания и исследования в "точные науки". Не желая вдаваться в достаточно надоевшую дискуссию о правомерности такого рода попыток, отмечу лишь, что проблемы математики и математизации знания всегда были предметом пристального интереса со стороны философов. Философская и математическая проблематика чрезвычайно тесно переплетались между собой практически с самого возникновения если не философии, то уж во всяком случае математики (пифагорейцы, Фалес Милетский и вообще вся античная математико-философская традиция).

Философский анализ фундаментальных понятий математики играл и играет важнейшую роль в ее развитии. В этой книге, однако, взаимодействие философии и математики будет рассмотрено с другой стороны: нас будут интересовать возможности применения математических понятий и методов к анализу некоторых проблем теории познания. В этом отношении довольно ободряющий прецедент создает логика, дающая в некотором роде классический пример обособления исследования "формальной ", "структурной" проблематики от "целостного", содержательного взгляда на предмет. Хорошо известно, что это размежевание предмета исследования в свою очередь потребовало размежевания методологического -- в данном случае связь между проблематикой и методологией настолько органична и глубока, что стало даже традицией вообще связывать рождение логики как науки с тем, идущим еще от Аристотеля каноном, который так прочно закрепил за дедуктивной логикой эпитет "формальная ".

Тем важнее и поучительнее отметить тот бесспорный факт, что этот столь заслуженный эпитет был присвоен "формальной" логике все же несколько поспешно: формализация (в современном понимании этого слова) дедуктивной логики отнюдь не была в полной мере произведена ни Аристотелем, ни стоиками, ни схоластами. Этот сложный, связанный с рядом противоречивых тенденций процесс не был, как мы сейчас хорошо понимаем, завершении Лейбницем, ни Булем, ни Расселом, Более того, если формулировка гильбертовской теории доказательства и дала повод для мнения о "полной формализации" логики (достаточно популярного в наше время), то уже знаменитая теорема Гёделя (см. [9, 10]), с одной стороны, противопоставляемые гильбертовской интуиционистские и конструктивистские альтернативные программы [11, 12], с другой, и, наконец, стимулируемые этими идеями успешные поиски новых методов дедукции, отвечающих критерию "строгой формальности", с третьей, показали со всей убедительностью, что процесс этот не завершен и до сих пор.

Уже из этих беглых примеров видно, с какой осторожностью следует относиться к поспешным и прямолинейным противопоставлениям целостности и многообразия проблем науки о мышлении и узости и ограниченности формальных методов изучения отдельных комплексов этих проблем и даже отдельных их аспектов: без исчерпывающего и точного (а тем самым "формального") анализа всех конкретных составляющих и "частных" аспектов сложной проблемы ее "общее", "содержательное" рассмотрение, при всех своих претензиях на широту взгляда и учет всех взаимодействующих факторов в их единстве и развитии и т.п., так и не достигнет профессионального уровня.

Именно поэтому, не повторяя больше общих мест о сложности, взаимосвязанности и взаимообусловленности отдельных составляющих эпистемологической проблематики, мы из всего этого комплекса выделим для предстоящего исследования один аспект, который вполне можно считать "техническим" и отнести даже не к "анатомии", а к "гигиене" научного знания.

Задача наша упрощается и в то же время усложняется рядом факторов. Безусловное упрощение (повлиявшее -- и не только подсознательно -- на сам выбор предмета рассмотрения) состоит в наличии готового понятийного аппарата, буквально просящегося на "обслуживание" рассматриваемого круга вопросов: давно и хорошо известные алгебраические понятия изоморфизма и гомоморфизма позволяют с самого начала ввести рассмотрение в четко очерченные концептуальные рамки. Более того, к рассматриваемым ниже задачам "структурной эпистемологии " представляются непосредственно приложимыми и некоторые алгебраические результаты -- в первую очередь известные теоремы о гомоморфизмах.

Однако, как ни парадоксально может это прозвучать, именно в этой разработанности системы алгебраических понятий, в рамки которых так хорошо укладываются концепции, относящиеся к гносеологической проблематике, таятся и немалые трудности. Коротко их можно охарактеризовать как "опасность вульгаризации". История применения концептуального аппарата логики, математики и кибернетики к сферам, ранее традиционно квалифицируемым как чисто гуманитарные, как известно, довольно-таки прихотлива.

Еще недавно приходилось, например, с серьезным видом говорить о "правомерности" математического моделирования в экономике, педагогике или лингвистике, да и вообще отношение к кибернетике служило своеобразным индикатором прогрессивности. Но -- такова уж своеобразная диалектика прогресса -- Тарелкин, бегущий "впереди прогресса", оказывается в смешной и нелепой роли при каждом изменении направления поступательного движения идей. Не "нападок" на кибернетику стоит сейчас опасаться, а опошления ее идей.

Надо сказать, что опасность слишком прямолинейной "математизации" вполне реальна и по отношению к ставящейся в этой книге задаче приложения понятий изоморфизма и гомоморфизма к проблемам описания Мира. Любопытно попытаться проследить источники таких "научных суеверий" (здесь я пользуюсь очень уместной, на мой взгляд, терминологией статьи [20]). Наиболее очевидный из них -- это, конечно, позитивистская традиция, довольно-таки устойчивая (не будучи впрочем, как правило, в явном виде сформулированной) в отношении современных ученых-естественников к проблемам, которые им еще вчера (именно вчера, а не позавчера) казались образцами нечеткой постановки.

"То, что вообще может быть сказано, -- говорит Людвиг Витгенштейн, -- может быть сказано ясно, а о чем невозможно говорить -- о том следует молчать" ([21], с.29). Психологически, конечно, можно понять создателей алгоритмического языка АЛГОЛ-60, поместивших этот эффектный тезис автора "Логико-философского трактата" в качестве эпиграфа к официальному сообщению об АЛГОЛе [22] (хотя, думается, более скромная и деловая ссылка на язык прикладного исчисления предикатов или теории рекурсивных функций была бы куда более уместной). Но до чего же неясным оказывается при ближайшем рассмотрении этот призыв к ясности, столь близкий сердцу представителям "технической интеллигенции ", так подчеркнуто отказывающихся от всяческой языковой "метафизики".

Начнем с того, что этот призыв чрезвычайно уязвим как раз со своей лингвистической стороны. Ведь выражен он как-никак языковыми средствами. Как тут не провести несколько вольную аналогию со всемогущим и всеведущим Богом, который, как известно, не настолько всемогущ, чтобы сделать себя невсеведущим (или же -- не настолько всеведущ)? Аналогия эта, кстати, при ближайшем рассмотрении оказывается достаточно серьезной. Дело в том, что наш язык (не АЛГОЛ, а обычный человеческий язык, нормам которого в конечном счете следует, надо признать, хотя и с разумными упрощениями и модификациями, любой язык искусственный), в отличие от Господа, как раз достаточно всемогущ, чтобы выразить свое невсеведение, и достаточно всеведущ, чтобы знать о своем невсемогуществе -- именно этот факт выражен уже упоминавшейся выше гёделевской теоремой о неполноте формализованных языков. Другое дело, что теорема Гёделя, утверждающая принципиальную ограниченность аксиоматического метода, дает в то же время великолепный пример неформализованного (и в рамках данной системы не формализуемого), но чрезвычайно убедительного доказательства, трактуя как раз о том, о чем "говорить нельзя". На АЛГОЛе, быть может, и вправду "незачем" говорить о столь "неясных" вещах, как сам ("ясный") язык, -- но витгенштейновский "логический атомизм", демонстративно "запрещающий" метаязыковые средства, убедительнее от этого не становится. "Запротоколировать" результаты своих раздумий и поисков истины мы можем и должны ясно (так сказать, дедуктивно). Но сами эти поиски мы часто вынуждены вести чуть ли не наощупь ("по индукции").

Представим себе, однако, что мы все же решились совершенно сознательно ограничить свой лингвистический арсенал "сферой ясных мыслей", поскольку в нее, согласно Витгенштейну, все-таки укладываются -- не много, не мало -- все факты естественных наук. Что ж, и этого хватит не одному поколению программистов, пользующихся АЛГОЛом. Если, однако, вспомнить, что человечество состоит не из одних программистов, то трудно отделаться от новых недоуменных вопросов. Ведь согласившись, что Человек отделился от животного мира Мыслью и Речью, надо, конечно, поверить, что он воспринял столь полезные дары (вместе с инструкцией пользования ими) непосредственно из некоего "официального сообщения о неалгоритмическом языке". Либо же придется признать, что поколения Homo sapiens, жившие до опубликования "Логико-философского трактата", прежде чем научиться обсуждать факты естественных наук, проходили не предусмотренные столь экономной концепцией стадии обучения родному языку со всеми неизбежными неясностями, невнятностями и нечленораздельностями, столь неоднозначно интерпретируемыми на совокупности фактов (описаний состояния). Впрочем, и для более поздних поколений при всей их образованности проблема достижения ясности выражения решается отнюдь не автоматически, почему мы и склоняемся к примирительной точке зрения, согласно которой "речь, при всех ее явных недостатках, все же является наиболее ясным способом общения одного человека с другим" ([28], с.215).

Но со всеми этими несообразностями можно было бы в конце концов примириться, если бы не обстоятельство, имеющее уже самое прямое отношение к обсуждаемому ниже предмету и поистине удивительное: Язык Людвига Витгенштейна претендует -- не много, не мало! -- на изоморфизм (см. ниже, §§ и 5) с Миром. Если при этом еще вспомнить, что искомый изоморфизм гарантируется дополнительным (причем, согласно приведенной выше цитате, имеющим неязыковую природу) сообщением о полноте этого замечательного языка ("...все факты" -- см. [21], афоризм 1.11, с.31), то остается предположить, что владеющему этим языком доступны не только естественные, но также и сверхъестественные науки. И это обстоятельство уже окончательно вынуждает нас расстаться не только с имеющей столь прозрачную онтологическую интерпретацию лингвистической концепцией "Трактата", питаемой, по-видимому, идеями кантовского априоризма и монадологии Лейбница, но и вообще с любыми претензиями на "чисто формальное" рассмотрение занимающей нас проблематики.

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце