| 1 | Дифференциальные уравнения первого порядка |
| | 1. | Основные понятия и определения |
| | 2. | Метод изоклин |
| | 3. | Метод последовательных приближений |
| | 4. | Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним |
| | 5. | Уравнения однородные и приводящиеся к ним |
| | | 1. | Однородные уравнения |
| | | 2. | Уравнения, приводящиеся к однородным |
| | 6. | Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли |
| | | 1. | Линейные уравнения первого порядка |
| | | 2. | Уравнение Бернулли |
| | 7. | Уравнения в полных дифференциалах.\ Интегрирующий множитель |
| | | 1. | Уравнения в полных дифференциалах |
| | | 2. | Интегрирующий множитель |
| | 8. | Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной |
| | | 1. | Уравнения первого порядка n-й степени относительно y' |
| | | 2. | Уравнения вида f(y,y')=0 и f(x,y') = 0 |
| | | 3. | Уравнения Лагранжа и Клеро |
| | 9. | Уравнение Риккати |
| | 10. | Составление дифференциальных уравнений семейств линий. Задачи на траектории |
| | | 1. | Составление дифференциальных уравнений семейств линий |
| | | 2. | Задачи на траектории |
| | 11. | Особые решения дифференциальных уравнений |
| | 12. | Разные задачи |
| 2 | Дифференциальные уравнения высших порядков |
| | 13. | Основные понятия и определения |
| | 14. | Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка |
| | 15. | Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка |
| | | 1. | Линейная независимость функций. Определитель Вронского. Определитель Грама |
| | | 2. | Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами |
| | | 3. | Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами |
| | | 4. | Уравнения Эйлера |
| | | 5. | Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. Метод Лагранжа |
| | | 6. | Составление дифференциального уравнения по заданной фундаментальной системе решений |
| | | 7. | Разные задачи |
| | 16. | Метод изоклин для дифференциальных уравнений второго порядка |
| | 17. | Краевые задачи |
| | 18. | Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов |
| | | 1. | Разложение решения в степенной ряд |
| | | 2. | Разложение решения в обобщенный степенной ряд. Уравнение Бесселя |
| | | 3. | Нахождение периодических решений линейных дифференциальных уравнений |
| | | 4. | Асимптотическое интегрирование |
| | | 5. | Приложения к интегрированию дифференциальных уравнений |
| 3 | Системы дифференциальных уравнений |
| | 19. | Основные понятия и определения |
| | 20. | Метод исключения (сведение системы\ дифференциальных уравнений к одному уравнению) |
| | 21. | Нахождение интегрируемых комбинаций. Симметрическая форма системы дифференциальных уравнений |
| | | 1. | Нахождение интегрируемых комбинаций |
| | | 2. | Симметрическая форма системы дифференциальных уравнений |
| | 22. | Интегрирование однородных линейных систем с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера |
| | 23. | Методы интегрирования неоднородных линейных систем с постоянными коэффициентами |
| | | 1. | Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) |
| | | 2. | Метод неопределенных коэффициентов (метод подбора) |
| | | 3. | Построение интегрируемых комбинаций (метод Даламбера) |
| | 24. | Применение преобразования Лапласа к решению линейных дифференциальных уравнений и систем |
| | | 1. | Общие сведения о преобразовании Лапласа |
| | | 2. | Решение задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами |
| | | 3. | Решение систем линейных дифференциальныхуравнений с постоянными коэффициентами |
| 4 | Теория устойчивости |
| | 25. | Устойчивость по Ляпунову. Основные понятия и определения |
| | 26. | Простейшие типы точек покоя |
| | 27. | Метод функций Ляпунова |
| | 28. | Устойчивость по первому приближению |
| | 29. | Устойчивость решений дифференциальных уравнений по отношению к изменению правых частей уравнений |
| | 30. | Критерий Рауса–Гурвица |
| | 31. | Геометрический критерий устойчивости (критерий Михайлова) |
| | 32. | Уравнения с малым параметром при производной |
| Ответы |
| Приложение 1 |
| | Некоторые формулы из дифференциальной геометрии |
| Приложение 2 |
| | Основные оригиналы и их изображения |
Третье издание книги существенно переработано и дополнено. Многие
задачи заменены новыми; некоторые задачи, имеющие громоздкие решения,
изъяты из сборника; добавлено свыше 50 примеров, разобранных в тексте;
устранены замеченные опечатки и неточности в формулировках. Наиболее
существенные дополнения относятся к следующим вопросам: 1) решение
систем дифференциальных уравнений; 2) исследование устойчивости решений
по Ляпунову; 3) использование метода суперпозиции при решении линейных
дифференциальных уравнений n-порядка; 4) асимптотическое интегрирование.
Для удобства пользования книгой иногда употребляется специальный
знак (треугольник), означающий, что решение примера или формулировка замечания
окончены.
При подготовке этой книги большую помощь как рецензенты рукописи нам
оказали проф. Б.А.Богатов и доц. А.И.Шум (Калининский политехнический
институт) и сотрудники кафедры высшей математики МИЭТ (заведующий
кафедрой проф. А.В.Ефимов). Выражаем им нашу искреннюю благодарность.
Мы признательны Н.Н.Зарубиной за большой труд по изготовлению
рисунков.
Хотя задачник выходит и третьим изданием, мы сознаем, что он
не свободен от недостатков. Все замечания и пожелания по его улучшению
будут приняты нами с благодарностью.
