URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Колесников А.П. Топологические методы в теории приближений и численном анализе
Id: 70218
 
449 руб.

Топологические методы в теории приближений и численном анализе. Изд.2

URSS. 2008. 376 с. Мягкая обложка. ISBN 978-5-382-00512-6.

 Аннотация

В настоящей книге рассматриваются вариационные методы решения систем линейных функциональных уравнений в локально выпуклых пространствах. Точное вариационное решение конечных систем линейных функциональных уравнений приводит к понятию алгебраического сплайна. Если система бесконечна, а функционалы образуют слабый топологический базис в сопряженном пространстве, то установлены условия, при которых соответствующая дуальная система функций образует топологический базис в исходном пространстве.

Переходом к проективному пределу в последовательности пространств Соболева вычислен сеточный базис бесконечно дифференцируемых B-сплайнов в пространстве Шварца.

Введенные понятия используются для построения методов теории приближений и численного анализа.

Издание предназначено студентам и аспирантам физико-математических специальностей, а также научным работникам, интересующихся методами решения прикладных задач. Может быть использовано в качестве учебного пособия.


 Оглавление

Предисловие
Глава 1. Абстрактные пространства
 §1. Множества
 §2. Топологические пространства
 §3. Векторные пространства
 §4. Топологические векторные пространства
 §5. Локально выпуклые пространства
 §6. Нормированные пространства
 §7. Гильбертовы пространства
Глава 2. Функциональные пространства
 §1. Мера и интеграл Радона !
 §2. Пространства суммируемых функций
 §3. Пространства дифференцируемых функций
 §4. Пространства обобщенных функций
 §5. Пространства Соболева
 §6. Теоремы вложения
 §7. Дискретные пространства
Глава 3. Сплайны в функциональных пространствах
 §1. Алгебраические базисы
 §2. Системы линейных функциональных уравнений
 §3. Минимизация функционалов
 §4. Алгебраические сплайны
 §5. Топологические базисы
 §6. Топологические сплайны
 §7. Сплайны в ядерных пространствах
Глава 4. Сплайны в пространствах с полускалярным произведением
 §1. Характеристические операторы
 §2. Фундаментальные решения
 §3. Топологические сплайны и их свойства
 §4. Вложенные L2-сплайны
 §5. Вложенные С-сплайны
 §6. R-сплайны
 §7. Обертывающие L2-сплайны
Глава 5. Элементы теории приближений
 §1. Приближение алгебраическими многочленами
 §2. Приближение тригонометрическими многочленами
 §3. Кусочно-многочленные сплайны
 §4. Прямой и обратный методы в теории приближений
 §5. Задача интерполирования данных
 §6. Задача сглаживания данных
 §7. Регуляризованное решение задачи аппроксимации
Глава 6. Приближенные методы анализа
 §1. Сеточный метод
 §2. Прямой метод
 §3. Обратный метод
 §4. Дифференциальные уравнения
 §5. Интегральные уравнения
 §6. Дифференцирование
 §7. Интегрирование
Литература

 Из предисловия

В предлагаемой вниманию читателя книге описан достаточно общий подход к проблеме построения базисов в функциональных пространствах, в котором центральную роль играет понятие двойственности. Затем он применен к некоторым задачам теории приближений и численного анализа.

Первые две главы содержат ряд результатов функционального анализа, на которые имеются ссылки в последующих главах. Существенной частью первой главы является изложение основных понятий локально выпуклых пространств. Наиболее важным здесь является принцип двойственности, представляющий теоретическую основу описанного далее метода построения базисов в локально выпуклых пространствах. Во второй главе выясняется, как абстрактная теория двойственности реализуется в конкретных функциональных пространствах. Эти главы носят справочный характер и, возможно, не потребуются тем читателям, которые знакомы с рассмотренным в них кругом вопросов.

Две последующих главы посвящены методам построения топологических базисов в локально выпуклых пространствах. В третьей главе:

1) Определяются алгебраические сплайны как точные вариационные решения конечной системы из n линейных функциональных уравнений в локально выпуклых (в общем случае неотделимых) пространствах. Они строятся путем минимизации некоторого оценочного функционала с ограничениями типа равенств, задаваемых функционалами, определяющими линейную систему. За решением этой вариационной задачи сохраняется термин "сплайн", поскольку таково же вариационное определение классического сплайна в гильбертовых пространствах. Выяснено, какой топологией нужно наделить векторное пространство и какими должны быть свойства оценочного функционала, чтобы получить искомое решение в форме разложения по базису, двойственному для заданного семейства функционалов системы. Его базисные элементы точно вычислены и названы базисными алгебраическими сплайнами, а построенная по ним линейная оболочка - пространством алгебраических сплайнов в соответствующем локально выпуклом пространстве.

2) Рассмотрен топологический аспект проблемы порождения векторных пространств, наделенных локально выпуклой топологией. С помощью теории двойственности понятие сплайна распространяется на более широкие классы локально выпуклых пространств, чем гильбертовы. Практически метод вычисления счетных топологических базисов в локально выпуклом пространстве Е сводится к нахождению топологических изоморфизмов между Е и некоторым локально выпуклым пространством F, базис в котором существует и порождает базис в Е. Пространство F названо калибровочным для Е, соответствующие базисные элементы в Е -- базисными сплайнами, а построенная по ним линейная оболочка -- пространством топологических сплайнов в Е.

3) Рассматриваются расширения понятия сплайна на ядерные пространства. Переходом к проективному пределу в последовательности пространств Соболева вычислены сеточные базисы в пространстве Шварца быстро убывающих на бесконечности функций и в пространстве бесконечно дифференцируемых функций. В частности, дается описание бесконечно дифференцируемого В-сплайна. Он определен как сеточный (полученный изменением масштаба и сдвигами на сетке некоторой эталонной функции) базис в (ядерном) пространстве проективного предела последовательности пространств Соболева, в каждом из которых классические В-сплайны ограниченной гладкости являются сеточными базисами. Описан метод вычисления сеточных базисов в пространстве бесконечно дифференцируемых функций.

4) Решена задача проектирования гильбертова случайного процесса на пространство Шварца. Соответствующее решение используется для построения алгоритма сглаживания выборочных функций гильбертовой случайной функции, определенной в пространстве Rn.

Описанный метод в четвертой главе применен к частному, но весьма важному пространству Е с полускалярным произведением, элементами которого являются непрерывные числовые функции и топология в котором определена с помощью неотрицательной симметричной билинейной формы. Для описания двойственности <Е,Е'> вводится понятие характеристического оператора Р:Е->Е', являющегося изометрическим гомоморфизмом заданного пространства Е и его топологически сопряженного Е'. Выяснены условия, при которых могут быть найдены фундаментальные решения оператора Р (точнее класс фундаментальных решений в факторпространстве Н, ассоциированном с пространством Е) и которые используются для построения непрерывного обратного отображения G:E'->H.

* * *

Используя приведенные определения, приближения функций в Е можно получать в виде кусочно гладких конструкций. В данном методе построены разнообразные сплайны: нечетных, четных, рациональных степеней, трансцендентные, многомерные и т.д. Некоторые типы сплайнов близки по дифференциально-аналитическим свойствам к классическим сплайнам. Приводятся оценки скорости сходимости сплайновых разложений.

В пятой и шестой главах излагаются некоторые применения рассмотренных методов к задачам теории приближений и численного анализа. Читатели, не имеющие намерения вникать в тонкости функционального анализа и интересующиеся приложениями, могут ограничиться чтением лишь этой части книги, содержащей решения различных задач.

Важной целью пятой главы является демонстрация природы ограниченности многочленных приближений, использование которых для приближенных вычислений обычно оправдывается простотой базиса и высокой скоростью ручного счета. В связи с развитием компьютерной техники эти факторы перестали играть какую-либо роль и гораздо большее значение имеют точность и эффективность приближений. Мы исходим из предположения, что не существует универсального пригодного для всех ситуаций базиса. Существенными в постановке задачи приближения являются два момента: выбор топологии в векторном пространстве непрерывных функций, в котором ищутся приближения, и вычисление базиса. Вводится понятие обратного метода в теории приближений, который заключается в постановке и решении вариационной задачи вычисления базиса, наилучшего для данной задачи приближения и заданной топологии в Е. В аппроксимирующих сплайновых пространствах построены решения задач интерполяции, сглаживания и аппроксимации таблично заданных функций. Вводится понятие лагранжевой квазиинтерполяции. Полученные при этом приближения разрывных функций характеризуются отсутствием эффекта Гиббса.

Во шестой главе описаны приближенные методы анализа, связанные с численной реализацией операторного соотношения Ах=у, рассматриваемого в двух вариантах: как уравнение у->х и как задача вычисления значения у оператора А на элементе х: х->у. Оператор А предполагается линейным, определенным на подмножествах D(A) банаховых пространств со значениями в множествах R(A). Построен базис аппроксимирующего пространства, в котором ищутся решения, зависящий от оператора A, и которое названо пространством А-сплайнов. Так что базис аппроксимирующего пространства индивидуален для каждой задачи и оптимально выбран (имеет вариационное происхождение). А-сплайны отличает быстрая и устойчивая сходимость. Основное внимание уделено задачам, которые характеризуются как существенно некорректные:

* * *

Существенное свойство всех рассмотренных задач заключается в предположении, что исходные данные для них определены как случайные функции или таблично заданы с ошибками, которые не считаются малыми.

Издание сопровождается электронным приложением, содержащим программы, иллюстрирующие численные решения некоторых типичных примеров. Данное приложение читатель может скачать с Web-страницы издательства УРСС по адресу: http://urss.ru/cgi-bin/db.pl?page=Book&id=1710&lang=Ru&blang=ru.


 Об авторе

Колесников Александр Петрович
Математик, профессор, доктор физико-математических наук. Окончил Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова в 1967 г. Научные интересы лежат в области вычислительной математики, математического моделирования и информатики. Активно занимался приложениями; в частности, в последней четверти прошлого века принимал участие в выполнении программы важных научных исследований в области математического моделирования управляемых оптических систем (адаптивной оптики). В 1994 г. защитил докторскую диссертацию, в которой получило начало новое научное направление --- численный анализ в топологических пространствах.
 
© URSS 2016.

Информация о Продавце