URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Кузьмина Р.П. Асимптотические методы для обыкновенных дифференциальных уравнений
Id: 6968
 
329 руб.

Асимптотические методы для обыкновенных дифференциальных уравнений

URSS. 2003. 336 с. Мягкая обложка. ISBN 5-354-00265-6.

 Аннотация

В книге рассматривается задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром. Книга восполняет некоторые пробелы, существующие в литературе в настоящее время. Кроме известных типов уравнений (регулярно возмущенная задача Коши, задача Тихонова) в книге рассматриваются новые типы уравнений (почти регулярная задача Коши, задача Коши с двойной сингулярностью). Для каждого типа уравнений построены ряды, которые обобщают известные ряды Пуанкаре, Васильевой---Иманалиева. Показано, что ряды являются асимптотическими разложениями решений или сходятся к решению на отрезке, полуоси, на асимптотически больших интервалах времени. Доказаны теоремы, позволяющие оценить численно остаточный член асимптотики, интервал времени существования, область значений малого параметра.

Книга предназначена тем, кто использует методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.


 Оглавление

Предисловие

1 Почти регулярная задача Коши

1 Разложения решений почти регулярной задачи Коши
 § 1.Решение почти регулярной задачи Коши
  1.1.Определение почти регулярной задачи Коши
  1.2.Построение решения
  1.3.Переход от задачи с ненулевым начальным значением к задаче (1.1)
 § 2.Формулировки теорем о почти регулярной задаче Коши
  2.1.Точное решение
  2.2.Асимптотическое решение
  2.3.Точное решение при фиксированном значении epsilon
  2.4.Оценка остаточного члена, интервала времени, значений малого параметра
  2.5.Второй метод Ляпунова
  2.6.Замечания
 § 3.Доказательство теорем 2.1--2.4
  3.1.Матрица Коши U
  3.2.Коэффициенты ряда (1.3)
  3.3.Мажоранта для функции G
  3.4.Оценка интеграла
  3.5.Решение алгебраической задачи
  3.6.Мажорирующий ряд для (1.3)
  3.7.Сумма ряда (1.3)
  3.8.Завершение доказательства теорем 2.1--2.4
 § 4.Доказательство теорем 2.5--2.8
  4.1.Коэффициенты ряда (1.3)
  4.2.Введение вспомогательной переменной
  4.3.Функция G, I
  4.4.Функция G, II
  4.5.Применение теоремы 2.10 к задаче (4.17)
 § 5.Доказательство теоремы 2.9
  5.1.Матрица Коши U, I
  5.2.Коэффициенты ряда (1.3)
  5.3.Мажоранта для функции F
  5.4.Исследование вспомогательной задачи
  5.5.Матрица Коши U, II
  5.6.Мажорирующий ряд для (1.3)
  5.7.Сумма ряда (1.3)
 § 6.Доказательство теоремы 2.10
 § 7.Доказательство теоремы 2.11
 § 8.Примеры почти регулярной задачи Коши
 § 9.Регулярно возмущенная задача Коши
  9.1.Решение регулярно возмущенной задачи Коши
  9.2.Теоремы о точном решении
  9.3.Теоремы об асимптотическом решении
  9.4.Теорема о точном решении при фиксированном значении varepsilon
  9.5.Оценка остаточного члена, интервала времени, значений малого параметра
  9.6.Второй метод Ляпунова
  9.7.Замечания
 § 10.Примеры регулярно возмущенной задачи Коши
 § 11.Оценка радиуса сходимости
 § 12.Оценка интервала времени сходимости
 § 13.Оценка нормы матрицы Коши, I
 § 14.Выводы главы 1
2 Задача Ван дер Поля
 § 15.Переход к почти регулярной задаче Коши
  15.1.О регулярности и сингулярности задачи Ван дер Поля
  15.2.Переход к почти регулярной задаче Коши
  15.3.Задача (15.9) -- почти регулярная задача Коши
  15.4.Замечание о поиске новых переменных
  15.5.Результаты
 § 16.Построение решения
  16.1.Решение задачи с двумя малыми параметрами
  16.2.Решение задачи (15.9)
  16.3.Решение задачи (15.1)
  16.4.Результаты
 § 17.Применение теорем о почти регулярной задаче Коши
  17.1.Проверка условий 2.1--2.4 для задачи (15.9)
  17.2.Применение теорем 2.1--2.8 к задаче (15.9)
  17.3.Применение теоремы 2.10 к задаче (15.9)
  17.4.Функции r, phi, w
  17.5.Результаты
 § 18.Численные оценки точности асимптотического решения
  18.1.Оценка точности нулевого приближения
  18.2.Оценка точности первого приближения
  18.3.Результаты
 § 19.Дополнение о задаче Ван дер Поля
  19.1.Асимптотика первого порядка
  19.2.Результаты, I
  19.3.Периодическое решение уравнения Ван дер Поля
  19.4.Результаты, II
 § 20.Выводы главы 2
 § 21.Выводы части 1

2 Задача Тихонова

3 Метод пограничных функций
 § 22.Определение задачи Тихонова
 § 23.Построение асимптотического решения методом пограничных функций
 § 24.Порядок вычисления коэффициентов асимптотики
  24.1.Вычисление коэффициентов асимптотики, I
  24.2.Вычисление коэффициентов асимптотики, II
 § 25.Порядок вычисления коэффициентов асимптотики при m=2
 § 26.Условия, налагаемые на сингулярные уравнения
 § 27.Условия, налагаемые на сингулярные уравнения при m=2
 § 28.Формулировки теорем о методе пограничных функций
  28.1.Асимптотическое решение
  28.2.Оценка остаточного члена, интервала времени, значений малого параметра
  28.3.Второй метод Ляпунова
  28.4.Замечания
 § 29.Доказательство теоремы 28.5
 § 30.Теоремы о предельном переходе
 § 31.Примеры применения метода пограничных функций
 § 32.Выводы главы 3
4 Доказательство теорем 28.1--28.4
 § 33.Функции y(0)j
  33.1.Доказательство первого утверждения
  33.2.Доказательство второго утверждения
 § 34.Функции y(k)j
 § 35.Функции y(k)1
 § 36.Введение вспомогательной переменной
 § 37.Матрицы Vi
 § 38.Функции Gi
  38.1.Существование, единственность и непрерывность функций Gi
  38.2.Доказательство первого неравенства (38.1)
  38.3.Доказательство второго неравенства (38.1)
 § 39.Функции a, b, c
 § 40.Применение теоремы 28.5
 § 41.Выводы главы 4
5 Метод двух параметров
 § 42.Построение асимптотического решения методом двух параметров
 § 43.Формулировки теорем о методе двух параметров
  43.1.Точное решение
  43.2.Асимптотическое решение
  43.3.Точное решение при фиксированном значении mu
  43.4.Замечания
 § 44.Доказательство теорем 43.1--43.4
  44.1.Существование и единственность решения
  44.2.Функция z(0)
  44.3.Введение вспомогательной переменной
  44.4.Функции Pil*Bii1, Pii1
  44.5.Функции Gi
  44.6.Мажоранта ряда (44.6)
  44.7.Коэффициенты ряда (44.6)
  44.8.Сходимость ряда (42.3)
 § 45.Доказательство теорем 43.5--43.8
  45.1.Существование и единственность решения
  45.2.Функция z(0)
  45.3.Окончание доказательства теорем 43.5--43.8 при n=0
  45.4.Функции z(k)
  45.5.Введение вспомогательной переменной
  45.6.Функции Gi(0,t,mu,epsilon)
  45.7.Функции Delta Gi
  45.8.Окончание доказательства теорем 43.5--43.8 при n>=1
 § 46.Доказательство теоремы 43.9
  46.1.Существование значений delta, mu*
  46.2.Переменная u
  46.3.Построение мажоранты ряда (46.5)
  46.4.Оценка матрицы U
  46.5.Сходимость ряда (46.5)
  46.6.Окончание доказательства теоремы 43.9
 § 47.Примеры применения метода двух параметров
 § 48.Выводы главы 5
6 Движение гироскопа в кардановом подвесе
 § 49.Приведение к сингулярно возмущенной задаче Коши
 § 50.Применение метода пограничных функций
  50.1.Построение асимптотики
  50.2.Применение теорем 28.1--28.4 к задаче (49.5)
  50.3.Оценка точности первого приближения решения
  50.4.Результаты
 § 51.Модификация метода пограничных функций
  51.1.Построение асимптотики
  51.2.О точности асимптотического решения
  51.3.Результаты
 § 52.Применение метода двух параметров
 § 53.Модификация метода двух параметров
 § 54.Применение второго метода Ляпунова
  54.1.Применение теоремы 28.6 к задаче (49.5)
  54.2.Существование решения на полуоси t >= 0
  54.3.Результаты
 § 55.Соединение метода пограничных функций и метода двух параметров со вторым методом Ляпунова
  55.1.Улучшение оценки асимптотического решения (51.6)
  55.2.Результаты
 § 56.Движение гироскопа в кардановом подвесе и регулярно возмущенная задача Коши
 § 57.Выводы главы 6
7 Дополнение
 § 58.Задача Тихонова и регулярно возмущенная задача Коши
 § 59.Доказательство теорем 58.1, 58.2
  59.1.Существование и единственность решения
  59.2.Введение вспомогательной переменной
  59.3.Функции Gi
  59.4.Матрица V1
  59.5.Функции Bii2, Pii1
  59.6.Мажоранта для ряда (59.7)
  59.7.Сходимость ряда (59.7)
  59.8.Окончание доказательства теорем 58.1, 58.2
 § 60.Оценка нормы матрицы Коши, II
 § 61.Выводы главы 7
 § 62.Выводы части 2

3 Задача Коши с двойной сингулярностью

8 Метод пограничных функций
 § 63.Определение задачи Коши с двойной сингулярностью
 § 64.Построение асимптотического решения методом пограничных функций
 § 65.Порядок вычисления коэффициентов асимптотики
 § 66.Условия, налагаемые на задачу Коши с двойной сингулярностью
 § 67.Формулировки теорем о методе пограничных функций
 § 68.Доказательство теорем 67.1--67.4
 § 69.Теоремы о предельном переходе
 § 70.Пример применения метода пограничных функций
 § 71.Выводы главы 8
9 Метод двух параметров
 § 72.Построение асимптотического решения методом двух параметров
 § 73.Теоремы о методе двух параметров
  73.1.Точное решение
  73.2.Асимптотическое решение
  73.3.Точное решение при фиксированном значении mu
  73.4.Замечания
 § 74.Пример применения метода двух параметров
 § 75.Выводы главы 9
 § 76.Выводы части 3
Литература
Именной указатель
Предметный указатель

 Предисловие

В книге рассматривается задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр. Три части книги соответствуют трем способам вхождения малого параметра в задачу.

В первой части книги рассматривается почти регулярная задача Коши. Так названа задача, в которую сингулярность входит через ограниченную функцию f, зависящую от времени и малого параметра. Эта задача является обобщением регулярно возмущенной задачи Коши, которую исследовал А.Пуанкаре. К почти регулярной задаче Коши можно привести некоторые задачи, которые решаются методом осреднения. В главе 2, в качестве примера такой задачи, рассмотрена задача Ван дер Поля.

Во второй части книги рассматривается задача Тихонова -- задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих целые степени малого параметра при производных.

В третьей части книги рассмотрена задача Коши с двойной сингулярностью. Так названа задача Коши, состоящая из двух обыкновенных дифференциальных векторных уравнений, в одном из которых стоит целая степень малого параметра при производной. В правые части дифференциальных уравнений малый параметр входит как регулярным образом, так и сингулярным -- через функцию f (так же, как в первой части книги). Таким образом, задача Коши с двойной сингулярностью содержит сингулярности двух видов, рассмотренных в первых двух частях книги. Если дифференциальное уравнение не зависит явно от f, то задача становится задачей Тихонова из второй части книги. В частном случае от задачи с двойной сингулярностью отщепляются уравнения, представляющие собой почти регулярную задачу Коши из первой части книги.

Для всех трех типов задач, рассмотренных в книге, описано построение рядов, обобщающих известные разложения Пуанкаре и Васильевой--Иманалиева. Доказано, что при выполнении соответствующих условий эти ряды являются асимптотическими разложениями решения или сходятся к решению на отрезке, на полуоси, на асимптотически больших интервалах времени. Доказаны теоремы, позволяющие оценить численно остаточный член асимптотического разложения решения, интервал времени существования решения, область значений малого параметра. Приводятся примеры, демонстрирующие возможности рассмотренных методов.

Книга предназначена математикам -- специалистам по дифференциальным уравнениям и прикладным математикам, использующим асимптотические методы исследования обыкновенных дифференциальных уравнений.

Автор благодарит своего учителя проф. И.В.Новожилова, приобщившего его к миру асимптотических методов. Автор благодарит проф. В.Б.Колмановского, энтузиазм, доброжелательность и энергия которого посадили его за написание этой книги. Автор благодарит Л.Ю.Блаженнову-Микулич, С.А.Трубникова, П.А.Кручинина, вложивших большой труд в создание этой книги. Автор благодарит Е.В.Лапчук за ее рисунки к этой книге.

Автор благодарит издательство Kluwer Academic Publishers, опубликовавшего книгу на английском языке. Автор благодарит РФФИ и программу "Университеты России" за поддержку (гранты N01--01--00619, УР.04.03.10).


 От автора

Раиса Петровна Кузьмина работает на механико-математическом факультете МГУ.

В книге "Асимптотические методы для обыкновенных дифференциальных уравнений" рассматривается задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Автор считает, что начинать исследование задачи Коши необходимо с определения типа задачи. Для этого в задачу необходимо ввести малый параметр, используя понятие нормализации числа по числу. Каждый тип имеет свой метод исследования. Без предварительного определения типа и выбора соответствующего ему метода можно уйти далеко от истинного решения.

Если задача является почти регулярной задачей Коши и не является регулярно возмущенной задачей Коши, то целесообразно вычисления проводить, используя асимптотические формулы. Автор считает, что решение с помощью приведения к почти регулярной задаче Коши может конкурировать с решением методом осреднения.

В книге рассматриваются асимптотические методы исследования трех типов задач с малым параметром: почти регулярная задача Коши, задача Тихонова, задача Коши с двойной сингулярностью. Регулярно возмущенная задача Коши, которой занимался Анри Пуанкаре, является частным случаем почти регулярной задачи Коши.

Автор надеется, что книга поможет читателям решить стоящие перед ними задачи, и желает им успеха.

Считаю своим приятным долгом назвать тех, кто помог мне опубликовать книгу:

Л.Ю.Блаженнова-Микулич, В.Б.Колмановский, П.А.Кручинин, Е.В.Лапчук, И.В.Новожилов, С.А.Трубников,

издательство KLUWER ACADEMIC PUBLISHERS: M.Hazewinkel, A.Hempel, A.Pot, P.Roos,

издательство УРСС: В.О.Малышенко, Д.М.Рикой.

Благодарна всем

Р.П.Кузьмина
 
© URSS 2016.

Информация о Продавце