Колесников А.П. Функциональные сплайны в топологических векторных пространствах

Оглавление

Предисловие

В предлагаемой вниманию читателя книге описан достаточно общий подход к проблеме построения базисов в функциональных пространствах, в котором центральную роль играет понятие двойственности.

Первые две главы содержат ряд результатов функционального анализа, на которые имеются ссылки в последующих главах. Существенной частью первой главы является изложение основных понятий локально выпуклых пространств. Наиболее важным здесь является принцип двойственности, представляющий теоретическую основу описанного далее метода построения базисов в локально выпуклых пространствах. Во второй главе выясняется, как абстрактная теория двойственности реализуется в конкретных функциональных пространствах. Цель этих глав: а) дать представление об основных понятиях и результатах, которые нам понадобятся, б) сообщить читателю, с чем ему нужно познакомиться, прежде чем он приступит к чтению последующих глав, в) дать возможность получить нужную справку. В связи с этим мы приняли ту точку зрения, что следует привести обзор основных аспектов теории двойственности в локально выпуклых пространствах с тем, чтобы читатель получил о них самое общее представление. Поэтому доказательства теорем большей частью опущены, во всяком случае тогда, когда используемые в них рассуждения не используются в дальнейшем.

Две последующих главы посвящены методам построения топологических базисов в локально выпуклых пространствах. В третьей главе:

1) Определяются алгебраические сплайны как точные вариационные решения конечной системы из п линейных функциональных уравнений в локально выпуклых (в общем случае неотделимых) пространствах. Они строятся путем минимизации некоторого оценочного функционала с ограничениями типа равенств, задаваемых функционалами, определяющими линейную систему. За решением этой вариационной задачи сохраняется термин "сплайн", поскольку таково же вариационное определение классического сплайна в гильбертовых пространствах. Выяснено, какой топологией нужно наделить векторное пространство и какими должны быть свойства оценочного функционала, чтобы получить искомое решение в форме разложения по базису, двойственному для заданного семейства функционалов системы. Его базисные элементы точно вычислены и названы базисными алгебраическими сплайнами, а построенная по ним линейная оболочка-пространством алгебраических сплайнов в соответствующем локально выпуклом пространстве. Данная задача решается в параграфе 34. Таким способом понятие сплайна распространяется на более широкие классы локально выпуклых пространств, чем гильбертовы.

2) Результаты параграфа 34 обобщаются на случай бесконечных систем линейных функциональных уравнений, определенных в некотором локально выпуклом пространстве Е. Имея решение х_n для конечной системы линейных функциональных уравнений, естественно поставить вопрос: при каких дополнительных условиях будет иметь место сильная сходимость х_n–>х, и->оо в топологии пространства Е? Возникает необходимость определить топологию в Е и сформулировать требования к свойствам семейства функционалов системы так, чтобы имели смысл бесконечные суммы х_oo, для которых введено требование их сходимости. Эта задача решается в параграфе 36. Практически метод вычисления счетных топологических базисов в локально выпуклом пространстве Е сводится к нахождению топологических изоморфизмов между Е и некоторым локально выпуклым пространством F, базис в котором существует и порождает базис в Е. Пространство F названо калибровочным для Е, соответствующие базисные элементы в Е-базисными сплайнами, а построенная по ним линейная оболочка – пространством топологических сплайнов в Е.

3) Рассматриваются расширения понятия сплайна на ядерные пространства. Переходом к проективному пределу в последовательности пространств Соболева вычислены сеточные базисы в пространстве Шварца быстро убывающих на бесконечности функций и в пространстве бесконечно дифференцируемых функций. В частности, дается описание бесконечно дифференцируемого В-сплайна. Он определен как сеточный (полученный изменением масштаба и сдвигами на сетке некоторой эталонной функции) базис в (ядерном) пространстве проективного предела последовательности пространств Соболева, в каждом из которых классические В-сплайны ограниченной гладкости являются сеточными базисами. Описан метод вычисления сеточных базисов в пространстве бесконечно дифференцируемых функций.

4) Решена задача проектирования гильбертова случайного процесса на пространство Шварца. Соответствующее решение используется для построения алгоритма сглаживания выборочных функций гильбертовой случайной функции, определенной в пространстве Rⁿ.

Задачи 3)-4) решены в параграфе 37.

Описанный метод в четвертой главе применен к частному, но весьма важному пространству Е с полускалярным произведением, элементами которого являются непрерывные числовые функции и топология в котором определена с помощью неотрицательной симметричной билинейной формы. Для описания двойственности <Е,Е^'> вводится понятие характеристического оператора Р:Е–>Е^', являющегося изометрическим гомоморфизмом заданного пространства Е и его топологически сопряженного Е^'. Выяснены условия, при которых могут быть найдены фундаментальные решения оператора Р (точнее класс фундаментальных решений в фактор-пространстве Н, ассоциированном с пространством Е) и которые используются для построения непрерывного обратного отображения G:E^'–>Н.

Далее рассматриваются ограничения G на векторные подпространства Х^'сЕ^', которые тотальны на Е, наделены топологией банахова пространства и имеют базис (такие пространства названы калибровочными для Е). Показано, что отображения G:X^'–>H есть изоморфизмы в. Если (f_i), i=7,2,.. -базис в X^', то (phi_i), i=7,2,..., (phi_i=Gf_i -базис в Е, тем самым можно строить различные аппараты для приближения функций в Е (сплайны, вложенные в Е). Для базиса (phi_i) с =Е построен биортогональный базис (\|/_i) с Е. Для базиса (f_i) c :X^' построен двойственный ему базис, совпадающий с (\|/_i). Изучены два важных частных случая, когда:

1) X^'-пространство дискретных мер Радона с носителями на компактном множестве KcfRⁿ, порождающее пространство сеточных С-сплайнов в Е.

2) X^'=L²(Omega) – пространство квадратично интегрируемых на OmegacR^b функций, порождающее пространство L²/-сплайнов в Е (Omega-область в Rⁿ).

Построены изоморфизмы на: X^'–>Н. Соответствующий оператор порождает пространство сплайнов, правильных в Е. Рассмотрен случай, когда задан изоморфизм A:E–>X c :L². Построен обратный оператор G: Х–>Е, расширение которого на все пространство L² порождает линейное пространство сплайнов, названное обертывающим пространство Е.

В параграфе 7 четвертой главы установлена связь описанной теории сплайнов с классической теорией базисов. Классические семейства функций: алгебраические многочлены, тригонометрические многочлены и семейство показательных функций вычислены как базисные в предельных пространствах для некоторых счетных последовательностей пространств с полускалярным произведением.

Используя приведенные определения, приближения функций в Е можно получать в виде кусочно-гладких конструкций. В данном методе построены разнообразные сплайны: нечетных, четных, рациональных степеней, трансцендентные, многомерные и т.д. Некоторые типы сплайнов близки по дифференциально-аналитическим свойствам к классическим сплайнам. Приводятся оценки скорости сходимости сплайновых разложений.

Хотя изложение рассчитано на осведомленных читателей, подготовленных к восприятию абстрактного материала, отличительной особенностью изложения является большое количество простых практических примеров, имеющих достаточно широкие приложения. Так что она будет полезна и тем читателям, которые захотят воспользоваться их решениями.

Библиография содержит лишь работы, на которые имеются ссылки в каком-либо месте текста.

Хочу назвать коллег, которые способствовали появлению этой книги. С проблемами, возникающими в теории приближений, автор познакомился, решая задачи численного моделирования управляемых оптических систем. Очень полезной для него была совместная работа по этой теме с проф. Э.А.Витриченко в начале 80-х годов прошлого века.

В начале нашей продолжительной совместной работы над задачами в области интерпретации оптических измерений проф. И.И.Духопел обратил внимание автора на ограниченность применяемых в оптике для представления волновых фронтов полиномов Цернике и на необходимость использовать базисы, которые объединяли бы в себе свойства сходимости сплайнов и свойство глобальности многочленов.

Автор также весьма обязан профессорам А.С.Галиуллину, В.М.Филиппову, В.М.Савчину, И.Д.Михайлову и Ц.И.Гуцунаеву за помощь и поддержку, которая была часто ему необходима в процессе работы.

* * *

Об авторе

Математик, профессор кафедры информационных технологий Российского университета дружбы народов (РУДН), доктор физико-математических наук. В 1967 г. окончил Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова. С 1967 по 1970 гг. учился в аспирантуре РУДН. С 1971 по 1980 гг. – доцент кафедры прикладной математики и директор Вычислительного центра РУДН. С 1979 г. в течение года работал исследователем в Католическом университете города Новый Лувэн (Бельгия). Вернувшись в СССР, в 1980 г. создал в РУДН кафедру вычислительной математики, которой руководил до 1991 г. В течение этого периода времени кафедра совместно с Институтом космических исследований участвовала в выполнении важных научных исследований в области математического моделирования управляемых оптических систем (адаптивной оптики). В 1994 г. защитил докторскую диссертацию, в которой получило начало новое научное направление: "Численный анализ в топологических пространствах". Этим вопросам посвящена предлагаемая читателю книга.