URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Колесников А.П. Функциональные сплайны в топологических векторных пространствах
Id: 69653
 
439 руб.

Функциональные сплайны в топологических векторных пространствах

URSS. 2008. 440 с. Мягкая обложка. ISBN 978-5-382-00602-4.

 Аннотация

Настоящая монография является первой из трех запланированных автором к изданию книг, объединенных общей темой "Теория приближений и численный анализ в топологических пространствах". В ней вводится понятие функционального сплайна как точного решения системы линейных функциональных уравнений в пространствах с локально выпуклой топологией. В основе метода его построения лежит теория двойственности в локально выпуклых пространствах. Вариационное решение конечной системы называется алгебраическим сплайном. Он строится в виде конечного разложения по точно вычисленному семейству функций, двойственному для заданных функционалов системы.

Если система бесконечна, исследуются вопросы выбора векторных пространств, в которых ищется решение, топологий в них, и формулируются требования к свойствам заданного счетного семейства функционалов системы с тем, чтобы дуальное для него счетное множество функций образовало базис Шаудера в соответствующем топологическом пространстве. Дается способ его точного вычисления. Решение системы линейных функциональных уравнений строится в форме разложения по данному базису. Приводятся примеры приложения метода к теории приближений. Аппроксимирующие конструкции по аналогии со сплайнами Шенберга названы топологическими сплайнами. Рассмотренная весьма общая ситуация охватывает и классическую теорию сплайнов. Такое определение сплайна в общем случае не связано с выбором сетки.

Метод проективного предела используется для построения базисов в ядерных пространствах. В частности, переходом к проективному пределу в последовательности пространств Соболева вычислен базис в пространствах Шварца.

Установлена связь рассмотренной теории с классической теорией базисов. Классические семейства функций: алгебраические многочлены, тригонометрические многочлены и семейство показательных функций вычислены как базисные в предельных пространствах для некоторых счетных последовательностей пространств с полускалярным произведением.

Книга предназначена для студентов и аспирантов физико-математических специальностей, а также научных работников и преподавателей, интересующихся современными вопросами численного анализа. В книге рассматриваются не только вопросы теории, но и большое количество практических задач.


 Оглавление

Предисловие
Глава 1. Абстрактные пространства
 Введение
 §1. Множества. Мера множеств
 §2. Топологические пространства. Борелевские меры
 §3. Векторные пространства. Измеримые функции
 §4. Топологические векторные пространства
 §5. Локально выпуклые пространства
 §6. Нормированные пространства
 §7. Гильбертовы пространства
Глава 2. Функциональные пространства
 Введение
 §1. Радоновские меры и интеграл Радона
 §2. Пространства суммируемых функций
 §3. Пространства дифференцируемых фукций
 §4. Обобщенные функции
 §5. Пространства Соболева
 §6. Теоремы вложения
 §7. Дискретные пространства
Глава 3. Сплайны в функциональных пространствах
 Введение
 §1. Алгебраические базисы
 §2. Системы линейных функциональных уравнений
 §3. Минимизация функционалов
 §4. Алгебраические сплайны
 §5. Топологические базисы
 §6. Топологические сплайны
 §7. Сплайны в ядерных пространствах
Глава 4. Сплайны в пространствах с полускалярным произведением
 Введение
 §1. Характеристические операторы
 §2. Фундаментальные решения
 §3. Топологические сплайны и их свойства
 §4. L2-сплайны
 §5. С-сплайны
 §6. R-сплайны
 §7. Классические базисные системы
Литература

 Предисловие

В предлагаемой вниманию читателя книге описан достаточно общий подход к проблеме построения базисов в функциональных пространствах, в котором центральную роль играет понятие двойственности.

Первые две главы содержат ряд результатов функционального анализа, на которые имеются ссылки в последующих главах. Существенной частью первой главы является изложение основных понятий локально выпуклых пространств. Наиболее важным здесь является принцип двойственности, представляющий теоретическую основу описанного далее метода построения базисов в локально выпуклых пространствах. Во второй главе выясняется, как абстрактная теория двойственности реализуется в конкретных функциональных пространствах. Цель этих глав: а) дать представление об основных понятиях и результатах, которые нам понадобятся, б) сообщить читателю, с чем ему нужно познакомиться, прежде чем он приступит к чтению последующих глав, в) дать возможность получить нужную справку. В связи с этим мы приняли ту точку зрения, что следует привести обзор основных аспектов теории двойственности в локально выпуклых пространствах с тем, чтобы читатель получил о них самое общее представление. Поэтому доказательства теорем большей частью опущены, во всяком случае тогда, когда используемые в них рассуждения не используются в дальнейшем.

Две последующих главы посвящены методам построения топологических базисов в локально выпуклых пространствах. В третьей главе:

1) Определяются алгебраические сплайны как точные вариационные решения конечной системы из п линейных функциональных уравнений в локально выпуклых (в общем случае неотделимых) пространствах. Они строятся путем минимизации некоторого оценочного функционала с ограничениями типа равенств, задаваемых функционалами, определяющими линейную систему. За решением этой вариационной задачи сохраняется термин "сплайн", поскольку таково же вариационное определение классического сплайна в гильбертовых пространствах. Выяснено, какой топологией нужно наделить векторное пространство и какими должны быть свойства оценочного функционала, чтобы получить искомое решение в форме разложения по базису, двойственному для заданного семейства функционалов системы. Его базисные элементы точно вычислены и названы базисными алгебраическими сплайнами, а построенная по ним линейная оболочка-пространством алгебраических сплайнов в соответствующем локально выпуклом пространстве. Данная задача решается в параграфе 34. Таким способом понятие сплайна распространяется на более широкие классы локально выпуклых пространств, чем гильбертовы.

2) Результаты параграфа 34 обобщаются на случай бесконечных систем линейных функциональных уравнений, определенных в некотором локально выпуклом пространстве Е. Имея решение хn для конечной системы линейных функциональных уравнений, естественно поставить вопрос: при каких дополнительных условиях будет иметь место сильная сходимость хn-->х, и->оо в топологии пространства Е? Возникает необходимость определить топологию в Е и сформулировать требования к свойствам семейства функционалов системы так, чтобы имели смысл бесконечные суммы хoo, для которых введено требование их сходимости. Эта задача решается в параграфе 36. Практически метод вычисления счетных топологических базисов в локально выпуклом пространстве Е сводится к нахождению топологических изоморфизмов между Е и некоторым локально выпуклым пространством F, базис в котором существует и порождает базис в Е. Пространство F названо калибровочным для Е, соответствующие базисные элементы в Е-базисными сплайнами, а построенная по ним линейная оболочка -- пространством топологических сплайнов в Е.

3) Рассматриваются расширения понятия сплайна на ядерные пространства. Переходом к проективному пределу в последовательности пространств Соболева вычислены сеточные базисы в пространстве Шварца быстро убывающих на бесконечности функций и в пространстве бесконечно дифференцируемых функций. В частности, дается описание бесконечно дифференцируемого В-сплайна. Он определен как сеточный (полученный изменением масштаба и сдвигами на сетке некоторой эталонной функции) базис в (ядерном) пространстве проективного предела последовательности пространств Соболева, в каждом из которых классические В-сплайны ограниченной гладкости являются сеточными базисами. Описан метод вычисления сеточных базисов в пространстве бесконечно дифференцируемых функций.

4) Решена задача проектирования гильбертова случайного процесса на пространство Шварца. Соответствующее решение используется для построения алгоритма сглаживания выборочных функций гильбертовой случайной функции, определенной в пространстве Rn.

Задачи 3)-4) решены в параграфе 37.

Описанный метод в четвертой главе применен к частному, но весьма важному пространству Е с полускалярным произведением, элементами которого являются непрерывные числовые функции и топология в котором определена с помощью неотрицательной симметричной билинейной формы. Для описания двойственности <Е,Е'> вводится понятие характеристического оператора Р:Е-->Е', являющегося изометрическим гомоморфизмом заданного пространства Е и его топологически сопряженного Е'. Выяснены условия, при которых могут быть найдены фундаментальные решения оператора Р (точнее класс фундаментальных решений в фактор-пространстве Н, ассоциированном с пространством Е) и которые используются для построения непрерывного обратного отображения G:E'-->Н.

Далее рассматриваются ограничения G на векторные подпространства Х'сЕ', которые тотальны на Е, наделены топологией банахова пространства и имеют базис (такие пространства названы калибровочными для Е). Показано, что отображения G:X'-->H есть изоморфизмы в. Если (fi), i=7,2,.. -базис в X', то (phii), i=7,2,..., (phii=Gfi -базис в Е, тем самым можно строить различные аппараты для приближения функций в Е (сплайны, вложенные в Е). Для базиса (phii) с =Е построен биортогональный базис (|/i) с Е. Для базиса (fi) c :X' построен двойственный ему базис, совпадающий с (|/i). Изучены два важных частных случая, когда:

1) X'-пространство дискретных мер Радона с носителями на компактном множестве KcfRn, порождающее пространство сеточных С-сплайнов в Е.

2) X'=L2(Omega) -- пространство квадратично интегрируемых на OmegacRb функций, порождающее пространство L2/-сплайнов в Е (Omega-область в Rn).

Построены изоморфизмы на: X'-->Н. Соответствующий оператор порождает пространство сплайнов, правильных в Е. Рассмотрен случай, когда задан изоморфизм A:E-->X c :L2. Построен обратный оператор G: Х-->Е, расширение которого на все пространство L2 порождает линейное пространство сплайнов, названное обертывающим пространство Е.

В параграфе 7 четвертой главы установлена связь описанной теории сплайнов с классической теорией базисов. Классические семейства функций: алгебраические многочлены, тригонометрические многочлены и семейство показательных функций вычислены как базисные в предельных пространствах для некоторых счетных последовательностей пространств с полускалярным произведением.

Используя приведенные определения, приближения функций в Е можно получать в виде кусочно-гладких конструкций. В данном методе построены разнообразные сплайны: нечетных, четных, рациональных степеней, трансцендентные, многомерные и т.д. Некоторые типы сплайнов близки по дифференциально-аналитическим свойствам к классическим сплайнам. Приводятся оценки скорости сходимости сплайновых разложений.

Хотя изложение рассчитано на осведомленных читателей, подготовленных к восприятию абстрактного материала, отличительной особенностью изложения является большое количество простых практических примеров, имеющих достаточно широкие приложения. Так что она будет полезна и тем читателям, которые захотят воспользоваться их решениями.

Библиография содержит лишь работы, на которые имеются ссылки в каком-либо месте текста.

Хочу назвать коллег, которые способствовали появлению этой книги. С проблемами, возникающими в теории приближений, автор познакомился, решая задачи численного моделирования управляемых оптических систем. Очень полезной для него была совместная работа по этой теме с проф. Э.А.Витриченко в начале 80-х годов прошлого века.

В начале нашей продолжительной совместной работы над задачами в области интерпретации оптических измерений проф. И.И.Духопел обратил внимание автора на ограниченность применяемых в оптике для представления волновых фронтов полиномов Цернике и на необходимость использовать базисы, которые объединяли бы в себе свойства сходимости сплайнов и свойство глобальности многочленов.

Автор также весьма обязан профессорам А.С.Галиуллину, В.М.Филиппову, В.М.Савчину, И.Д.Михайлову и Ц.И.Гуцунаеву за помощь и поддержку, которая была часто ему необходима в процессе работы.

* * *


 Об авторе

Александр Петрович КОЛЕСНИКОВ

Математик, профессор кафедры информационных технологий Российского университета дружбы народов (РУДН), доктор физико-математических наук. В 1967 г. окончил Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова. С 1967 по 1970 гг. учился в аспирантуре РУДН. С 1971 по 1980 гг. -- доцент кафедры прикладной математики и директор Вычислительного центра РУДН. С 1979 г. в течение года работал исследователем в Католическом университете города Новый Лувэн (Бельгия). Вернувшись в СССР, в 1980 г. создал в РУДН кафедру вычислительной математики, которой руководил до 1991 г. В течение этого периода времени кафедра совместно с Институтом космических исследований участвовала в выполнении важных научных исследований в области математического моделирования управляемых оптических систем (адаптивной оптики). В 1994 г. защитил докторскую диссертацию, в которой получило начало новое научное направление: "Численный анализ в топологических пространствах". Этим вопросам посвящена предлагаемая читателю книга.

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце