|
Оглавление
 Предисловие Введение Глава I. Кратность корня функции и точки пересечения двух кривых Введение § 1. Кратность корня функции 1. 6-близость до ранга г (12). 2. Теорема о малом изменении неявной функции (14). 3. Кратность корня функции одной переменной (18). 4. Кратность корня по отношению к данному классу функций (23) § 2. Кратность общей точки двух кривых 1. Определение кратности (25). 2. Условие грубости точки пересечения двух кривых (26). 3. Условие двукратности общей точки двух кривых (27) Глава II. Динамические системы, близкие к данной, и свойства их траекторий Введение § 3. Близость решений. Регулярное преобразование близких систем 1. Теоремы о близости решений (33). 2. г-близость областей. Леммы о регулярном преобразовании (36). § 4. Пересечение траекторий близких систем с дугами и циклами без контакта 1. Пересечение с одной дугой без контакта (40). 2. Траектории близких систем, расположенные между двумя дугами без контакта (49) Глава III. Пространство динамических систем и грубые системы Введение § 5. Пространство динамических систем 1. Пространство динамических систем, заданных в плоской области (60) 2. Пространство динамических систем на сфере (61) § 6. Определение грубой динамической системы 1. Грубые системы, заданные в плоской области (64). 2. Грубые системы на сфере (67). 3. Грубость динамических систем относительно пространств Rih и Ra § 7. Грубые и негрубые траектории. Необходимое условие грубости состояния равновесия 1. Грубые и негрубые траектории (71). 2. Конечность числа состояний равновесия у грубой системы (72). 3. Кратность состояния равновесия (74) Глава IV. Состояния равновесия грубых систем. Сепаратриса, идущая из седла в седло Введение § 8. Грубость узла и простого фокуса 1. Канонический вид системы (77). 2. Грубость простого узла и фокуса (80) § 9. Грубость седла 1. Приведение системы к каноническому виду преобразованием, близким к тождественному (87). 2. Доказательство грубости седла (89) § 10. Негрубость состояния равновесия с чисто мнимыми характеристическими числами 1. Исследование состояния равновесия с комплексными характеристическими числами (обзор) (97). 2. Вычисление первой фокусной величины (100). 3. Теорема о рождении замкнутой траектории из сложного фокуса (101). 4. Доказательство негрубости (103) § 11. Сепаратриса, идущая из седла в седло 1. Поведение сепаратрисы при повороте векторного поля (105). 2. Доказательство негрубости (108). Глава V. Замкнутые траектории в грубых системах
Введение
§ 12. Замкнутая траектория и ее окрестность. Функция последования 1. Введение функции последования (ИЗ). 2. Расположение траекторий в окрестности замкнутой траектории (114). 3. Случай динамической системы аналитического класса (117). 4. Случай неаналитической динамической системы (118)
§ 13. Система криволинейных координат в окрестности замкнутой траектории. Функция последования на нормали к траектории. 1. Криволинейные координаты в окрестности замкнутой траектории (119). 2. Переход к переменным s, п в динамической системе (121). 3. Функция последования на нормали к замкнутой траектории (124)
§ 14. Доказательство грубости простого предельного цикла
§ 15. Негрубые замкнутые траектории
1. Основная лемма (132). 2. Теорема о рождении замкнутой траектории из сложного предельного цикла (135). 3. Негрубость замкнутой траектории с нулевым характеристическим показателем (141)
Глава VI. Необходимые и достаточные условия грубости системы
Введение
§ 16. Особые траектории и полутраектории динамической системы
1. Конечность числа замкнутых траекторий у грубых систем (145)
2. Области с нормальной границей (147)
§ 17. Правильная система окрестностей и разбиение области G* на канонические окрестности и элементарные четырехугольники
1. Правильная система канонических окрестностей в случае грубых систем (150). 2. Разбиение области G* на канонические окрестности и элементарные четырехугольники (155)
§ 18. Основная теорема о грубости динамической системы
1. Вспомогательные предложения (159). 2. Основная теорема для плоской области (165). 3. Основная теорема для сферы (172). 4. Замечания и дополнения (175)
Глава VII. Ячейки грубых систем. Дополнение к теории грубых систем
Введение
§ 19. Ячейки грубых динамических систем
1. Общие сведения о ячейках динамических систем (185). 2. Двусвязные ячейки грубых систем (186). 3. Внутренние ячейки грубых систем. Одно-связные внутренние ячейки (189)
§ 20. Примеры грубых систем
§ 21. Определение грубости, не содержащее требования е-тождественно-сти
Глава VIII. Понятие о бифуркациях динамических систем. Распадение слож- ного состояния равновесия на грубые
Введение
§ 22. Понятие о степенях негрубости и о бифуркациях динамических систем
§ 23. Распадение сложного состояния равновесия на грубые
1. Число грубых состояний равновесия, на которые распадается сложное состояние равновесия (229). 2. Характер грубых состояний равновесия, на которые распадается сложное состояние равновесия с о Ф 0 (234) 3. Характер грубых состояний равновесия, на которые распадается сложное состояние равновесия с о = 0 (238)
Глава IX. Рождение предельных циклов из сложного фокуса
Введение
§ 24. Фокусные величины
1. Некоторые свойства функции последования (249). 2.. Кратность сложного фокуса. Фокусные величины (251). 3. Вычисление фокусных величин сложного фокуса (254). 4. Случай аналитической системы (259)
§ 25. Рождение предельных циклов из сложного фокуса
1. Основная теорема (264). 2. Бифуркации динамической системы в окрестности сложного фокуса (269). 3. Бифуркации в окрестности сложного однократного фокуса (271)
Глава X. Рождение замкнутых траекторий из сложного предельного цикла
Введение
§ 26. Выражения для производных функций последования. Кратность
предельного цикла
1. Выражения для производных функций последования (276). 2. Кратность
предельного цикла (280).
§ 27. Рождение предельных циклов из сложного предельного цикла
1. Основная теорема (286). 2. Добавления (291).
Глава XI. Рождение предельных циклов из петли сепаратрисы седла
Введение
§ 28. Вспомогательный материал
1. Функция соответствия и функция последования (295). 2. Некоторые свойства седла и его сепаратрис (302)
§ 29. Рождение предельных циклов из петли сепаратрисы простого седла 1. Некоторые свойства петли сепаратрисы (306). 2. Теоремы о рождении замкнутой траектории из петли сепаратрисы (314). 3. Единственность замкнутой траектории, рождающейся из петли сепаратрисы (319). 4. Случай, когда Р'х (хо, г/о) + Qy (ха, г/о) = 0 (324)
Глава XII. Рождение предельного цикла из петли сепаратрисы седло-узла. Системы первой степени негрубости и их бифуркации
Введение
§ 30. Рождение предельного цикла из петли сепаратрисы состояния равновесия седло-узел
1. Теорема существования (330). 2. Теорема единственности (333)
§ 31. Динамические системы 1-й степени негрубости и их бифуркации 1. Определение системы 1-й степени негрубости (337). 2. Состояния равновесия систем 1-й степени негрубости (338). 3. Замкнутые траектории систем 1-й степени негрубости (348). 4. Сепаратриса седла, образующая петлю (357). 5. Простейшие негрубые траектории (359). 6. Свойства сепаратрис седло-узла систем 1-й степени негрубости (371). 7. Свойства сепаратрис седел систем 1-й степени негрубости (374). 8. Основная теорема (необходимые и достаточные условия для систем 1-й степени негрубости (382). 9. Бифуркации систем 1-й степени негрубости (382)
Глава XIII. Предельные циклы некоторых динамических систем, зависящих от параметра
Введение
§ 32. Поведение предельных циклов некоторых динамических систем при малых изменениях параметра
1. Функция последования в окрестности замкнутой траектории (385)
2. Постановка вопроса (392). 3. Многоугольник Ньютона и решения уравнения вида F (to, г) = 0 (394). 4. Поведение предельных циклов некоторых динамических систем при малых изменениях параметра (403)
§ 33. Рождение предельного цикла из замкнутой траектории консервативной системы
1. Интегральный инвариант и консервативные системы. Постановка задачи. Метод малого параметра (409). 2. Системы, близкие к линейной консервативной (416). 3. Общий случай системы, близкой к консервативной (421). 4. Системы, близкие к гамильтоновой (425)
Глава XIV. Применение теории бифуркаций к исследованию конкретных динамических систем
Введение
§ 34. Примеры
Дополнение
1. Теоремы о непрерывной зависимости решений системы дифференциальных уравнений от правых частей и о дифференцируемости решений (468). 2. Одно предложение о функциях многих переменных (474). 3. Лемма о нормалях простой гладкой замкнутой кривой (475). 4. Доказательство дифференцируемости функции R (р, 6) по р (477). 5. Замечание по поводу определения грубой динамической системы (482)
Литература
Алфавитный указатель
|