Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация

URSS. 1999. 224 с. ISBN 5-901006-77-1.

Твердый переплет

Аннотация

В книге рассмотрено и обосновано применение метода продолжения решения по наилучшему параметру для решения различных классов задач, решениями которых являются однопараметрические множества, т.е. кривые. Рассматриваются нелинейные задачи с параметром, задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), в том числе и жестких, интегро-дифференциальных уравнений, дифференциально-алгебраических уравнений. Изучается проблема интерполяции... (Подробнее)

Оглавление

Содержание
Введение
Глава 1.	Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения с параметром
	1.1.	Две формы метода продолжения решения по параметру
	1.2.	Проблема выбора параметра продолжения. Смена параметра
	1.3.	Наилучший параметр продолжения
	1.4.	Алгоритмы, использующие наилучший параметр продолжения, и примеры их применения
		а.	Явная схема метода Эйлера
		б.	Явная схема модифицированного метода Эйлера
		в.	Неявная схема Эйлера
		г.	Неявная схема второго порядка точности
	1.5.	Геометрические представления шаговых процессов
	1.6.	Продолжение решения в окрестности существенно особых точек
Глава 2.	Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
	2.1.	Задача Коши как задача продолжения решения по параметру
	2.2.Некоторые свойства \lambda преобразования
	2.3.	Алгоритмы, программы, примеры
Глава 3.	Жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений
	3.1.	Особенности численного интегрирования жестких систем ОДУ
	3.2.	Сингулярно возмущенные уравнения
	3.3.	Жесткие системы
	3.4.	Жесткие уравнения в частных производных
Глава 4.	Дифференциально-алгебраические уравнения
	4.1.	Классификация систем ДАУ
	4.2.	Наилучший аргумент системы дифференциально-алгебраических уравнений
	4.3.	Явно заданные дифференциально-алгебраические уравнения
	4.4.	Неявно заданные обыкновенные дифференциальные уравнения
	4.5.	Неявно заданные дифференциально-алгебраические уравнения
Глава 5.	Функционально-дифференциальные уравнения
	5.1.	Задача Коши для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом
	5.2.	Задача Коши для интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра
Глава 6. Параметрическое приближение
	6.1.	Параметрическая интерполяция
	6.2.	Параметрическая аппроксимация
	6.3.	Непрерывное приближение
Глава 7.	Нелинейные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
	7.1.	Уравнения продолжения решения для нелинейных одномерных краевых задач
	7.2.	Дискретная ортогональная прогонка
	7.3.	Алгоритмы непрерывного и дискретного продолжения по параметру решения нелинейных одномерных краевых задач
	7.4.	Пример: большие прогибы круговой арки
Глава 8.	Продолжение решения в особых точках
	8.1.	Классификация особых точек
	8.2.	Простейшая форма уравнений разветвления
	8.3.	Простейший случай ветвления \thickmuskip =.5\thickmuskip \medmuskip =.5\medmuskip \thinmuskip =.5\thinmuskip (\mathop {\prm rank}\nolimits (J⁰)=n-1)
	8.4.	Случай ветвления, когда \thickmuskip =.5\thickmuskip \medmuskip =.5\medmuskip \thinmuskip =.5\thinmuskip \mathop {\prm rank}\nolimits (J⁰)=n-2
Литература
Литература

Введение

С момента выхода в свет первой книги (Э.И. Григолюк, В.И. Шалашилин. Проблемы нелинейного деформирования. М.: Наука, 1988), в которой были систематически изложены основы метода продолжения решения по параметру, прошло десять лет. За это время существенно расширилось понимание возможностей метода. Если раньше он рассматривался как метод построения множества решений нелинейных задач с параметром, то теперь наступило понимание, что алгоритм продолжения по параметру может быть эффективно использован для построения любых однопараметрических множеств. Это существенно расширило круг задач, к которым метод может быть с успехом применен.

Простейшим из таких множеств является кривая, которая может быть решением самых разных задач, в частности, задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), задачи интерполяции и аппроксимации кривых и т.п. Исследования в этом направлении привели к очень интересным результатам, главным из которых является осознание и доказательство того факта, что наилучшим параметром продолжения решения является длина дуги, вычисляемая вдоль кривой, которая этим решением является.

Реализация продолжения решения с использованием такого наилучшего параметра названа нами наилучшей параметризацией и рассмотрена для различных классов задач: в главе 1 для нелинейных задач с параметром, в главах 2, 3 для начальных задач для ОДУ, в том числе и жестких, в главах 4, 5 для дифференциально-алгебраических и функционально-дифференциальных уравнений.

Одним из удивительных для нас самих результатов оказалось то, что в задаче Коши для нормальной формы ОДУ переход к наилучшему параметру осуществляется с помощью аналитического преобразования, названного нами \lambda-преобразованием.

Другим результатом, рассмотренном в главе 6, который хотелось бы отметить, является разработка общего подхода использования наилучшего параметра в задачах параметрического приближения.

В главе 7 рассмотрена возможность использования продолжения по параметру при построении более сложных однопараметрических множеств – множеств решений нелинейных краевых задач для ОДУ с параметром.

И, наконец, в главе 8 продолжение по наилучшему параметру использовано для продолжения решения в окрестности особых точек.

Авторы благодарны Н.С. Бахвалову и Г.М. Кобелькову за внимательное и благожелательное обсуждение результатов, а также В.А. Треногину и В.В. Дикусару, взявших на себя труд внимательно ознакомиться с рукописью и высказавших ряд очень полезных замечаний. Нельзя также забыть о поддержке на всех этапах работы, которую оказал безвременно ушедший В.В Поспелов.

Основные научные результаты, представленные в монографии, получены при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (шифр проекта N97–01–00091) и Минобразования (шифр проекта N97–0–1.8–90).