Романовский П.И. Ряды Фурье.
Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. Изд. 6, стереотип.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к первому изданию........... 6

Предисловие ко второму изданию........... 7

Предисловие к пятому изданию............. 7

Глава I. Ряды Фурье и интеграл Фурье........ 9

§ 1. Периодические функции............ 9

§ 2. Ряды Фурье для функций с периодом 2л...... 10

§ 3. Комплексная форма ряда Фурье для функций с периодом 2я.................... 23

§ 4. Четные и нечетные функции.......... 25

§ 5. Ряды Фурье для четных и нечетных функций с периодом 2л.................... 27

§ 6. Ряды Фурье для функций с любым периодом... 30

§ 7. Уравнение свободных малых колебаний струны и его решение методом Фурье........... 35

§ 8. Уравнение распространения тепла в стержне... 40

§ 9. Интеграл Фурье............... 45

§ 10. Комплексная форма интеграла Фурье...... 51

§ 11. Интеграл Фурье для четных и нечетных функций.. 53

§ 12. Ортогональные системы функций......., 56

§ 13. Минимальное свойство коэффициентов Фурье... 64

§ 14. Замкнутые системы функций......... 66

§ 15. О решении методом Фурье некоторых задач для линейных уравнений с частными производными второго порядка................... 74

Глава II. Основы теории поля............ 79

§ 1. Основные сведения из векторной алгебры..... 79

§ 2. Векторные функции скалярного переменного... 81

§ 3. Сопровождающий трехгранник пространственной кривой..................... 83

§ 4. Скалярное поле. Градиент скалярного поля.... 85

§ 5. Криволинейные интегралы........... 88

§ 6. Векторное поле................ 96

§ 7. Поверхностные интегралы.......... 100

§ 8. Формула Остроградского........... 105

§ 9. Векторная запись формулы Остроградского. Дивергенция векторного поля............. 107

§ 10. Формула Стокса................ 112

§ 11. Векторная запись формулы Стокса. Вихрь векторного поля,................... 115

§ 12. Операции второго порядка........... 118

§ 13. Символика Гамильтона............. 119

§ 14. Векторные операции в криволинейных координатах.... 121

Глава III. Начальные сведения об аналитических функциях... 131

§ 1. Комплексные числа.......,...... 131

§ 2. Ряды с комплексными членами......... 134

§ 3. Степенные ряды................ 137

§ 4. Показательные, гиперболические и тригонометрические функции комплексного переменного.... 142

§ 5. Некоторые многозначные функции комплексного переменного................... 147

§ 6. Производная функции комплексного переменного. 151

§ 7. Аналитические и гармонические функции..... 157

§ 8. Интеграл функции комплексного переменного... 159

§ 9. Основная теорема Коши........... 104

§ 10. Интегральная формула Коши......... 169

§ 11. Интеграл типа Коши.............. 171

§ 12. Производные высших порядков от аналитической

функции................... 173

§ 13. Последовательности а ряды аналитических функций ........................ 174

§ 14. Ряд Тейлора.................. 177

§ 15. Ряд Лорана.................. 182

§ 16. Изолированные особые точки аналитической функции...................... 185

§ 17. Вычеты.................... 189

§ 18. Принцип аргумента............... 197

§ 19. Дифференцируемые отображения......... 201

§ 20. Конформные отображения областей....... 211

§ 21. Задача Дирихле для круга и свойства гармонических

функций................... 224

Глава IV. О некоторых специальных функциях.... 236

§ 1. Гамма-функция................ 236

§ 2. Бесселевы функции с любым индексом...... 243

§ 3. Формулы приведения для бесселевых функций.. 249

§ 4. Бесселевы функции с полуцелым индексом.... 251

§ 5. Интегральное представление бесселевых функций

с целым индексом....... 253

§ 6. Ряды Фурье — Бесселя............. 257

§ 7. Асимптотическое представление бесселевых функций

с целым индексом для больших значений аргумента...... 256

§ 8. Интегральный логарифм, интегральный сипус, интегральный косинус............... 267

Глава V. Преобразование Лапласа.......... 274

§ 1. Вспомогательные сведения об интегралах, зависящих от параметра............... 274

§ 2. Преобразование Лапласа............ 279

§ 3. Простейшие свойства преобразования Лапласа......... 283

§ 4. Свертка функций.......... 286

3 5. Оригиналы с рациональными изображениями........... 289

§ 6. Приложения к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.......... 293

§ 7. Приложение к решению линейных уравнений в конечных разностях с постоянными коэффициентами... 297

§ 8. Оригиналы с изображениями, регулярными в бесконечности.................... 304

§ 9. Изображения некоторых специальных функций.. 313

§ 10. Формулы обращения............. 318

§ 11. Достаточное условие для того, чтобы аналитическая функция была изображением....... 322

§ 12. Об одном обобщении преобразования Лапласа... 328

Предметный указатель........,......... 335