Окстоби Дж. Мера и категория.
Пер. с англ. Изд. 2, стереот.

Оглавление

От переводчика

Настоящая книга знакомит читателя с такими важными в теории множеств и теории функций понятиями, как мера Лебега и бэровская категория множества. Предпринятое автором изучение аналогий между этими понятиями помогает глубже проникнуть в их свойства и облегчает доказательства.

Важным достоинством книги является то, что основные понятия и идеи иллюстрируются на весьма богатом конкретном материале из разнообразных областей математики. В особенности большой интерес представляют собранные в книге многочисленные примеры применения метода категории при доказательстве существования различных математических объектов. Все это делает книгу весьма полезным пособием для начальных семинаров по теории меры, теории множеств и функций.

Книга написана так, что существенная ее часть доступна студентам младших курсов математических факультетов и даже учащимся математических школ, овладевшим лишь основами математического анализа и знакомым с основными понятиями алгебры множеств. Отдельные места книги, для понимания и освоения которых требуется знакомство с общей теорией порядковых и кардинальных чисел, могут быть опущены при первом чтении без ущерба для понимания дальнейшего. Некоторые главы, в которых автор излагает свои собственные результаты (например, гл.18), представляют интерес и для специалистов.

Таким образом, можно надеяться, что предлагаемая книга привлечет к себе внимание достаточно широкого круга читателей.

Предисловие

Эта книга посвящена двум основным темам: теореме Бэра о категории как методу доказательства теорем существования и вопросу о двойственности между мерой и категорией. Типичные применения метода категории иллюстрируются на разнообразных примерах, а аналогия между мерой и категорией прослеживается во всем многообразии ее проявлений. Для этого сообщаются элементарные сведения о топологии метрического пространства и выводятся основные свойства меры Лебега. В рассматриваемых нами вопросах оказывается возможным обойтись без интеграла Лебега, используя лишь интеграл Римана. Понятия общей теории меры и топологии вводятся здесь не просто ради большей общности, а используются по существу. Само собой разумеется, что термин "категория" всюду относится к категории Бэра; он не имеет ничего общего с одноименным термином из гомологической алгебры.

Книга предполагает предварительное знание элементов анализа и некоторое знакомство с алгеброй множеств. Обсуждаемые здесь вопросы естественным образом приспособлены к теоретико-множественному подходу. Книга задумана как введение в такого рода анализ. Ее можно использовать в качестве дополнения к стандартному курсу действительного анализа, как пособие для семинара или для самостоятельного изучения. В книге излагаются главным образом ранее известные результаты, однако в некоторых случаях они приводятся здесь с небольшими изменениями и усовершенствованиями, например, теорема 15.6 и предложение 20.4. Список литературы не претендует на полноту. Работы, на которые делаются ссылки, не всегда являются первоисточниками, но в них в свою очередь можно найти дополнительную библиографию.

Книга представляет собой переработанный и расширенный вариант записей, первоначально подготовленных для курса лекций в Гейверфордском колледже весной 1957 г., которые были осуществлены при поддержке фонда У.П.Филипса. Они в свою очередь базировались на лекциях памяти И.Р.Хедрика, прочитанных на летней сессии Американской математической ассоциации в Сиэтле, штат Вашингтон, в августе 1956 г.

Брин-Мор апрель 1971 г.

Об авторе

Американский математик, профессор математики колледжа Брин-Мор, штат Пенсильвания. Родился в городе Сагино, штат Мичиган. Окончил Калифорнийский университет в Беркли. Получил степень магистра в Гарвардском университете. C 1939 г. работал в колледже Брин-Мор; с 1948 по 1976 гг. – заведующий кафедрой математики колледжа; с 1954 г. – профессор.

Основные труды Джона Окстоби относятся к теории функций действительного переменного. Его монография "Мера и категория", впервые опубликованная в 1971  г., получила широкую известность как учебное пособие при изучении таких областей математики, как теория множеств, теория меры и теория функций. Книга неоднократно переиздавалась, а в 1974 г. была переведена на русский язык.