URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Олемской А.И. Синергетика сложных систем: Феноменология и статистическая теория
Id: 64314
 
499 руб.

Синергетика сложных систем: Феноменология и статистическая теория. № 45

URSS. 2009. 384 с. Твердый переплет. ISBN 978-5-396-00020-9.

 Аннотация

В настоящей монографии изложены феноменологическое и статистическое представления коллективного поведения сложных систем. В рамках первого подхода развита синергетическая схема, представляющая процесс самоорганизации сплошных сред, систем экономического типа и коллективное поведение активных частиц. Исследовано влияние коррелирующих шумов, изложена нелинейная теория стохастического резонанса, развито суперсимметричное представление неравновесной стохастической системы. Микроскопическое рассмотрение сводится к статистической теории систем, фазовое пространство которых обладает сложной структурой. Развиты статистическая теория самоподобных систем, теория сложных сетей, обладающих иерархической структурой, и статистическая теория временных рядов.

Изложенный материал представляет интерес для научных сотрудников, аспирантов и студентов старших курсов физико-математических, естественно-научных, инженерных и экономических специальностей.


 Оглавление

От редакции
Новый виток. (Г.Г.Малинецкий)
Введение

Часть I. Феноменологическая теория самоорганизации сложных систем

Глава 1. Основы теории самоорганизации
 1.1.Система Лоренца
 1.2.Кинетика самоорганизации
 1.3.Автоколебания, обусловленные бифуркацией Хопфа
 1.4.Периодическое множество предельных циклов
 1.5.Дробная система Лоренца
Глава 2. Самоорганизация сплошных сред
 2.1.Синергетическая теория перехода сплошных сред в текучее состояние
  2.1.1.Исходные уравнения поведения сыпучих сред
  2.1.2.Самоорганизация сыпучих сред
  2.1.3.Самоорганизация тонкого слоя смазки
 2.2.Прерывистый режим течения сплошных сред
  2.2.1.Синергетическая картина прерывистого течения
  2.2.2.Использование дробной системы уравнений самоорганизации при статистическом описании прерывистого течения
  2.2.3.Исследование самоподобного течения сплошных сред
Глава 3. Самосогласованное описание систем экономического типа
 3.1.Синергетическая картина финансового рынка, эволюционирующего в соответствии с поступающей информацией
 3.2.Экономическая структура общества
 3.3.Динамика перехода между низко- и высокопродуктивным состояниями экономики
  3.3.1.Непрерывный переход
  3.3.2.Прерывистый переход
  3.3.3.Эволюционная картина макроэкономических превращений
Глава 4. Коллективное поведение активных частиц
 4.1.Коллективное движение живых организмов
 4.2.Самосогласованнная картина формирования транспортных потоков
  4.2.1.Уравнения самоорганизации
  4.2.2.Статистическое поведение
Глава 5. Нелинейная теория стохастического резонанса
 5.1.Полевая формулировка проблемы
 5.2.Представление нелинейного резонанса переменными действие--угол
  5.2.1.Гармонический осциллятор
  5.2.2.Нелинейный маятник
  5.2.3.Частица в двуямном потенциале
  5.2.4.Нелинейный маятник в постоянном внешнем поле
 5.3.Условия нелинейного резонанса
 5.4.Условия стохастического резонанса
Глава 6. Самоорганизация, обусловленная коррелирующими шумами
 6.1.Система, обладающая единственным цветным шумом
  6.1.1.Основные уравнения
  6.1.2.Эволюция неупорядоченной системы
  6.1.3.Эволюция упорядоченной системы
 6.2.Фазовые переходы, индуцированные кросс-корреляцией шумов
  6.2.1.Статистическое описание самоорганизации под действием нескольких шумов
  6.2.2.Влияние кросс-корреляции на самоорганизацию самоподобной системы
  6.2.3.Феноменологическое представление корреляции шумов
Глава 7. Суперсимметричное представление неравновесной стохастической системы
 7.1.Производящий функционал
 7.2.Использование дуальных полей
  7.2.1.Амплитуда флуктуаций как компонента дуального поля
  7.2.2.Сопряженное поле как компонента дуального поля
  7.2.3.Связь между различными дуальными представлениями
 7.3.Сведение суперсимметричного поля к дуальной форме
 7.4.Суперсимметричная корреляционная техника
 7.5.Суперсимметричная теория возмущений
  7.5.1.phi4-модель
  7.5.2.phi3-модель
 7.6.Схема самосогласования
  7.6.1.Эффективный суперсимметричный лагранжиан
  7.6.2.Суперсимметричное уравнение Дайсона
 7.7.Эффекты памяти и неэргодичности
 7.8.Исследование уравнений для параметров памяти и неэргодичности
 7.9.Неполная потеря эргодичности

Часть II. Статистическая теория сложных систем

Глава 8. Введение в статистическую теорию сложных систем
 8.1.Проблемы теории сложных систем
 8.2.Статистика конфигураций сложных систем
 8.3.Распределение Гиббса
 8.4.Неканонические и негамильтоновы системы
 8.5.Диссипативные системы
 8.6.Деформированные энтропии
 8.7.Деформированная статистика
 8.8.Термодинамика неаддитивных систем
 8.9.Функционально деформированная статистика
 8.10.Симметрия деформированной статистики
Глава 9. Статистическая теория самоподобных систем
 9.1.Основные сведения из теории фракталов
  9.1.1.Определение фрактальной размерности
  9.1.2.Введение в теорию мультифракталов
  9.1.3.Характерные особенности спектра мультифракталов
  9.1.4.Мультифрактал Кантора
  9.1.5.Численный анализ временных рядов
 9.2.Статистическая теория систем с мультифрактальным фазовым пространством
  9.2.1.Термодинамика мультифрактального фазового пространства
  9.2.2.Оптимизация мультифрактального спектра
  9.2.3.Моделирование мультифрактального спектра
Глава 10. Статистическая теория иерархических сетей
 10.1.Основы статистики сложных сетей
  10.1.1.Энергетически определенные ансамбли графов
  10.1.2.Ансамбли графов, не обладающих энергией
  10.1.3.Различные определения энергии графов
  10.1.4.Представление графа моделью решеточного газа
  10.1.5.Ансамбли вырожденных графов
  10.1.6.Статистика случайных графов
 10.2.Теория иерархической связи
 10.3.Распределение по иерархическим уровням
 10.4.Сложность самоподобных иерархических сетей
Глава 11. Статистическая теория временных рядов
 11.1.Аналитическое исследование самоподобных временных рядов
  11.1.1.Представление временного ряда слабо неаддитивным статистическим ансамблем
  11.1.2.Неаддитивная термодинамика временного ряда в представлении идеального газа
  11.1.3.Поправки к приближению идеального газа
  11.1.4.Условия устойчивости
  11.1.5.Эффективная температура временного ряда
 11.2.Численное исследование временных рядов
  11.2.1.Численное моделирование неаддитивного временного ряда
  11.2.2.Статистический анализ численных временных рядов
  11.2.3.Вычисление эффективной температуры временного ряда
 11.3.Анализ поведения временных рядов

Приложения  

Приложение А
Приложение Б
Приложение В
Приложение Г
Приложение Д
Литература

 Новый виток

Математики похожи на французов: что бы вы ни
сказали, они все переведут на собственный язык.
Получится нечто противоположное.
И.Гете

Книга, которую вы держите в руках, важна и значима для теории самоорганизации -- синергетики, для междисциплинарных исследований в целом.

В 1970Нх годах синергетика начиналась как способ физиков-теоретиков разобраться в коллективном поведении, характерном для открытых нелинейных систем вдали от равновесия. Оказалось, что простейшие нелинейные модели таких явлений являются необычными, глубокими и содержательными. Более того, для систем разной природы возникали одни и те же модели. Германа Хакена, предложившего сам термин синергетика (в дословном переводе с греческого -- теория совместного действия), завораживало то, что система Лоренца (наверное, одна из самых известных сегодня систем трех обыкновенных дифференциальных уравнений) описывает и структуры в подогреваемом снизу слое жидкости, и динамику лазеров в простейшем приближении, и многие другие гидродинамические системы.

Естественно, обо всем этом говорилось на языке теоретической физики. Коллективные моды, фазовые переходы, разложения по малому параметру, осреднение, адиабатическое исключение переменных, параметры порядка. Всё это позволило синергетике быстро рвануться вперед, вбирая в себя новые идеи, методы, проблемы и подходы. В последующие годы круг задач стремительно расширялся, простираясь от физики плазмы и теории взрыва до психологии и математической истории. Единство нелинейного мира, проявляющегося в универсальности качественного поведения нелинейных систем, давало для этого все основания. У синергетики начали появляться своя терминология, свой язык, свой методический и математический аппарат. Всё это наглядно показывают книги серии "Синергетика: от прошлого к будущему", которую с 2002 года выпускает издательство URSS. Сам перечень книг, изданных в разные годы, показывает, как менялся вектор интересов исследователей, занимавшихся междисциплинарными проблемами.

Большую фору специалистам в этой области дало стремительное развитие вычислительного эксперимента, позволившее "заглянуть в ответ" многих нелинейных задач и продолжить для них асимптотическое описание, помогающее понять происходящее. Синергетика училась говорить на языке компьютерных моделей и асимптотического анализа.

Её возвращение к истокам, к фундаментальным проблемам теоретической физики приводило порой к важным и неожиданным результатам. Здесь можно обратить внимание на книгу профессора Д.С.Чернавского (Физический институт им.П.Н.Лебедева), использовавшего идеи синергетики для объяснения и новой трактовки парадоксов классической и квантовой механики.

Однако при этом возникло чувство неудовлетворенности. Хотелось бы вернуться к истокам и посмотреть, как в традиции теоретической физики с высоты пройденного синергетикой пути сегодня можно трактовать традиционные для этого подхода модели. Какие новые задачи стало возможным исследовать сейчас? Какие новые подходы, развитые в физике, могли бы обогатить междисциплинарный анализ? Какова сейчас связь между передним краем теоретической физики и теми идеями, которые были выдвинуты в синергетике в последние годы? Ответ на эти вопросы ярко, талантливо, на высоком научном уровне и дает книга А.И.Олемского.

Круг рассмотренных задач очень широк и интересен. Многие из них с позиций теории самоорганизации рассматриваются впервые. Среди них -- нелинейная динамика сыпучих сред, тонкого слоя смазки, транспортных потоков, самоорганизация в компьютерных сетях и возникновение упорядоченности, обусловленное шумами разных типов.

Глубина и обоснованность представленного анализа во многих случаях обеспечивается сочетанием двух уровней описания -- статистического и динамического.

"Наука должна связывать, а не разделять. Это обсуждение, диалог, многоголосье", -- часто любил говорить один из ведущих отечественных специалистов в области синергетики, директор Института прикладной математики им.М.В.Келдыша, мой учитель С.П.Курдюмов. И этот элемент диалога -- тоже важная часть книги. С "традиционных позиций теоретической физики" исследуются и трактуются классические задачи теории самоорганизации -- динамика системы Лоренца, коллективное движение живых организмов, стохастический резонанс. Одним из важных достижений последних лет и в синергетике, и в эволюционной экономике является макроэкономическая модель Д.С.Чернавского. Она представляет собой динамическую систему, в которой число устойчивых особых точек (рыночных равновесий) меняется в зависимости от управляющего параметра. С этой точки зрения кризис представляет собой переход из высокопродуктивного состояния в низкопродуктивное. Он связан с бифуркацией в соответствующей динамической системе (или фазовый переход в другой терминологии). "Экономическому чуду" соответствует обратный процесс. Представленный в книге А.И.Олемского анализ этих процессов, тем более в пору нынешнего кризиса, представляет большой интерес.

Стоит отметить, что "физические" идеи приходят в экономику прежде всего во время кризисов. Достаточно вспомнить эволюционную экономику, предложенную И.Шумпетером в период Великой депрессии. Квантовая экономика, в которой кризис трактуется как фазовый переход в своеобразном бозе-газе, развитая академиком В.П.Масловым, также появилась в эпоху потрясений.

Особое внимание стоит обратить на исследования в книге фазовых переходов, индуцированных шумом. Этот интересный объект всё чаще используют в междисциплинарных исследованиях. Обращу внимание на язык, на котором обсуждаются поведение неравновесной термодинамической системы. Это язык функций Грина и суперсимметричных теорий. Возможно, многие проблемы современной синергетики будет удобнее обсуждать на этом языке.

Мир дан нам в ощущениях, а динамика во временных рядах. Действительно, результатами множества экспериментов являются значения исследуемых величин в последовательные моменты времени. Поэтому конечный результат множества теорий в современной нелинейной динамике должен сводиться к новым процедурам анализа и прогноза временных рядов. Таковые предложены и в книге А.И.Олемского. Концепция эффективной температуры временного ряда представляется очень глубокой и интересной.

Дежурными фразами в предисловиях являются слова о широком круге читателей. Но тут этих слов, видимо, говорить не стоит. Книга -- мост между теоретической физикой и "традиционной синергетикой". И языком одной из областей читатель должен владеть достаточно уверенно. Такие работы стоит читать с карандашом в руках. Однако затраченные усилия стоят того. Физикам книга представит синергетику в новом, неожиданном и очень интересном облике. "Синергетикам" покажет возможности современного теоретического аппарата в приложении к "их" задачам. Возможно, это поможет читателям книги -- исследователям, аспирантам, старшекурсникам -- продвинуться гораздо дальше в своих поисках.

Председатель редколлегии серии
"Синергетика: от прошлого к будущему"
профессор Г.Г.Малинецкий

 Введение

С давних времён известно, что поведение больших скоплений объектов, обладающих запасом внутренней энергии, обнаруживает общие закономерности -- вне зависимости от того, относятся ли эти объекты к живой или неживой природе. Так, наблюдение за движением песка в пустынных барханах или возникновением снежных лавин приводит к ощущению, что за этими процессами кроется разумное начало типа Океана в "Солярисе" А.А.Тарковского. Такое же ощущение возникает при наблюдении за поведением представителей живой природы, не наделённых разумом, -- колонии муравьёв, роя пчёл, птичьей стаи и т.д. С другой стороны, действия толпы людей, каждый из которых должен бы быть наделён интеллектом, зачастую приводят к мысли об их неразумности (наиболее ярко выраженными носителями такого поведения являются группировки спортивных фанатов). Особое место в кругу указанных явлений занимает поведение экономических систем, где конструктивные усилия огромной массы участников процесса могут приводить к самопроизвольным финансовым крахам, катастрофическому перераспределению средств и т.д. К подобным проблемам приводят исследования перехода от неживого к живому, социальных явлений, психики человека и многого другого.

Указанные проблемы, сводящиеся к самоорганизации больших ансамблей, являются предметом междисциплинарного научного направления, получившего название синергетика (от древнегреческого понятия сотрудничество, совместное действие). Простейший физический пример самоорганизации представляют фазовые переходы типа кипения жидкости. Их описание основывается на термодинамической схеме, в рамках которой из большого термостата выделяется малая подсистема, определяемая параметром порядка. Термостат влияет на состояние подсистемы посредством изменений механистического и термического параметров состояния, сводящихся к полю, сопряжённому параметру порядка, и управляющему параметру (при кипении жидкости их роль играют давление/объём и температура/энтропия). Основная особенность термодинамической схемы состоит в том, что термостат может влиять на выделенную подсистему, но она в силу своей малости не изменяет состояние термостата.

Совершенно иная картина наблюдается в процессе самоорганизации, где невозможно разделить подсистему и термостат. В связи с этим все степени свободы -- параметр порядка, сопряжённое поле и управляющий параметр -- приобретают равноправный характер. Наиболее популярный пример такого рода представляет спонтанное излучение лазера, где указанные величины сводятся к напряжённости индуцируемого поля, электрической поляризации среды и инверсной заселённости электронных уровней. В силу соизмеримости с термостатом самоорганизующаяся система приобретает открытый характер,а её описание требует самосогласованного представления эволюции параметра порядка, сопряжённого поля и управляющего параметра. Наиболее ярким проявлением такого поведения является детерминированный хаос, обусловленный появлением в пространстве состояний траекторий типа странного аттрактора.

В кругу современных проблем особое место занимают энергетические, экологические, социальные и другие задачи, решение которых требует, с одной стороны, привлечения огромных ресурсов, а с другой -- не может быть достигнуто методом проб и ошибок, поскольку системе невозможно навязать необходимое поведение. В связи с этим особую актуальность приобрели исследования коллективного поведения, проявляющегося в самоорганизации физических, биологических, социальных и других систем. Благодаря тому что их поведение может изменяться непредсказуемым образом в зависимости от состояния их составляющих и внешних условий, такие системы получили название сложных.

Предлагаемая монография преследует две цели, в соответствии с которыми проведено её разделение на части. Содержание первой из них сводится к изложению оптимальной синергетической схемы, позволяющей представить самосогласованным образом эволюцию сложных систем в процессе самоорганизации. Поскольку понятие самоорганизации является обобщением физической концепции фазового перехода, то предлагаемую феноменологическую теорию следует рассматривать как развитие теории термодинамических превращений на открытые системы (см. главу 1). Для подтверждения общности развитого подхода выбран широкий круг сложных систем, включающий объекты неживой природы, экономические системы и ансамбли высокоорганизованных организмов. Исследование этих систем в главах 2--5 показывает, что их поведение во многом определяется действием стохастических источников, обусловленных влиянием случайных факторов. Согласно рассмотрению, проведенному в главе 6, картина самоорганизации существенно обогащается, если шумы, действующие на систему, становятся коррелированными. Особое место в первой части книги занимает глава 7, основанная на суперсимметричном подходе, в рамках которого самосогласованный характер поведения системы учитывается благодаря тому, что степени её свободы образуют единую математическую конструкцию в пространстве состояний самоорганизующейся системы.

В изложении теории самоорганизации мы основываемся на системе Лоренца, рассмотрение которой показывает (раздел 1.1), что её переменные описывают самосогласованное поведение параметра порядка, сопряженного поля и управляющего параметра. Согласно разделу 1.2, адиабатический режим самоорганизации, в котором изменение двух последних параметров следует за первым, отвечает картине фазового превращения с тем различием, что стационарное значение управляющего параметра не сводится к параметру накачки. В простейшем случае перестройка непрерывного превращения в прерывистое обеспечивается зависимостью времени релаксации параметра порядка от его величины. В разделе 1.3 показано, что при наличии такой зависимости рост параметра накачки индуцирует сначала фазовый переход первого рода,а затем бифуркацию Хопфа, приводящую к зарождению предельного цикла, который означает периодические изменения параметра порядка и управляющего параметра, отвечающие реакции Белоусова--Жаботинского. Использование методов, развитых в теории катастроф, показывает, что ни одна из универсальных деформаций, задаваемых внешним воздействием, не обеспечивает условий устойчивости предельного цикла, поскольку такие условия требуют нелинейной зависимости этого воздействия от состояния системы. Согласно разделу 1.4, указанная зависимость обеспечивается при наличии канонической пары быстрых переменных, величины которых зависят от медленно изменяющегося модуля комплексного параметра порядка. Тогда усреднение по быстрым изменениям его фазы индуцирует калибровочное поле, напряжённость которого сводится к угловой скорости вращения фазовой плоскости, определяемой частотой внешнего воздействия. По аналогии с вращающимся He4 поведение самоорганизующейся системы сводится к множественному резонансу, картина которого определяется периодическим распределением предельных циклов по фазовой плоскости. Заключительный раздел 1.5 посвящён обобщению системы Лоренца на случай обратной связи дробного порядка,где параметр порядка приобретает положительную степень a = < 1. Согласно разделу 2.2, такое обобщение обеспечивает степенн\'ое спадание функции распределения параметров состояния самоподобной стохастической системы. Для детерминистической системы Лоренца спадание показателя $a$ приводит к уменьшению фрактальной размерности и сужению области существования странного аттрактора.

Вторая глава посвящена исследованию процессов самоорганизации структурированных физических систем на примерах гранулированной среды и тонкого слоя смазки. Для первого из них самосогласованный учет эффектов самоорганизации достигается (п.2.1.1) дополнением гидродинамических слагаемых членами, учитывающими микроскопический вклад взаимодействия отдельных частиц в процессе течения. В результате переход гранулированной среды в потоковое состояние представляется системой уравнений, где роль параметра порядка играет амплитуда флуктуаций скорости частиц, сопряженное поле сводится к средней скорости, а управляющий параметр -- к сдвиговой компоненте напряжений. Показано, что найденные в п.2.1.2 выражения для пространственных профилей средней скорости течения и её флуктуаций позволяют объяснить экспериментальную картину течения сыпучей среды. Пункт 2.1.3 посвящён задаче о затвердевании тонкого слоя смазки по механизму фазового перехода первого рода. Здесь роль параметра порядка и сопряженного поля играют сдвиговые компоненты напряжений и деформации, а управляющий параметр сводится к давлению, отсчитанному от порога, при котором расходится динамическая вязкость.

Описание прерывистого режима самоорганизации достигается (раздел 2.2) введением в уравнение, описывающее поведение управляющего параметра, стохастического источника, представляющего белый шум. В результате поведение системы описывается уравнением Ланжевена, стационарное распределение решений которого показывает, что режим прерывистого течения обеспечивается флуктуациями упругих напряжений. Пункт 2.2.2 посвящён исследованию распределения интервалов течения самоорганизующейся системы, все степени свободы которой обладают, с одной стороны, обратной связью дробного порядка, а с другой -- содержат аддитивные шумы. Это позволяет описать степенной хвост распределения интервалов течения, показатель которого определяется интенсивностью обратной связи. В п.2.2.3 показано, что кроме указанного подхода режим прерывистого течения описывается дробно-дифференциальным уравнением Фоккера--Планка, вид которого определяется динамическим показателем и показателем производной по времени. Исследование самоподобных решений этого уравнения показывает, что прерывистое течение среды сводится к режиму субдиффузии. Этот вывод подтверждается исследованием нелинейного уравнения Фоккера--Планка, в котором дробные показатели определяются неаддитивностью стохастической системы.

В главе 3 рассмотрена самоорганизация статистических ансамблей, флуктуации которых определяют эволюцию систем экономического типа. Раздел 3.1 посвящён исследованию влияния внешних условий на выбор стратегии финансового рынка. Самосогласованная эволюция такой системы представляется уравнениями, в которых роль параметра порядка играет коррелятор поступившей информации с последующим изменением цен, сопряжённое поле сводится к имеющейся информации, а управляющий параметр -- к числу трейдеров, действующих согласно определенной стратегии. Использование адиабатического приближения показывает, что коренная перестройка финансового рынка, означающая следование всех игроков определённой стратегии, происходит, если их начальное число превышает критический порог, задаваемый средним геометрическим от полного и критического значений числа игроков.

Статистическое рассмотрение экономической структуры общества (раздел 3.2) основывается на самосогласованном описании эволюции спроса, производственной функции и условной цены: при следовании двух последних величин за первой экономическая система переходит в упорядоченное состояние, отвечающее высокопродуктивной экономике, если покупательная способность населения превышает критическое значение. Экономическая структура общества определяется соотношением покупательной способности с интенсивностью флуктуаций условной цены: при их малых значениях средний спрос ограничен небольшими значениями, отвечающими низкопродуктивному состоянию экономики; с ростом одной из указанных величин функция распределения спроса становится бимодальной; при больших значениях покупательной способности и малых флуктуациях условной цены распределение спроса имеет единственный максимум, отвечающий среднему классу. Распределение спроса приобретает степенную асимптотику, известную как закон Парето, если колебания условной цены преобладают над случайными изменениями остальных величин. Исследование самоподобной экономической системы показывает, что существование сверхбогатой прослойки населения возможно только при наличии кризисных явлений, препятствующих экономическому развитию в течение длительного времени.

Раздел 3.3 представляет экономическую эволюцию при переходах между низко- и высокопродуктивным состояниями. Это достигается с помощью фазовых портретов, которые определяют поведение спроса, производственной функции и условной цены при различных соотношениях времён их изменения. При несоизмеримости масштабов изменения двух первых величин критическое возрастание времени изменения условной цены приводит к колебательному режиму, означающему, что высокопродуктивное состояние достигается через последовательность кризисов и подъемов экономики. В противоположном случае эволюция системы определяется универсальным участком фазовойтраектории, положение которого задаётся покупательной способностью населения. Если последняя превышает критическое значение, а условная цена изменяется гораздо медленнее других величин, то система переходит в режим странного аттрактора, где её эволюция становится совершенно непредсказуемой.

Четвертая глава посвящена статистической теории активных частиц, обладающих коррелированным шумом. Синергетическое представление коллективного движения таких частиц достигается (раздел 4.1), если под параметром порядка понимать среднюю скорость, а под сопряженным полем и управляющим параметром -- дальнодействующую силу химического типа и параметр внутреннего состояния, определяющий реакцию частиц на эту силу. Использование системы уравнений самоорганизации позволяет представить самосогласованную картину перехода группы активных частиц в режим поступательного движения. Введение стохастических источников показывает, что в зависимости от степени возбуждения и интенсивностей флуктуаций дальнодействующей силы и параметра внутреннего состояния система может совершать вращательное движение с покоящимся центром масс, выполнять поступательное движение, образуя плотную группу, и последовательно чередовать указанные режимы.

Если в роли активных частиц выступают управляемые транспортные средства (раздел 4.2), то характер коллективного движения задаётся отклонениями от оптимальных значений интервала и скорости движения, а также внутренним параметром транспортного потока, величина которого определяется условиями движения. В рамках гамильтонова представления стохастических уравнений движения разложение по кумулянтам приводит к функции распределения, вид которой задаётся внешним воздействием. Оказывается, что основную роль в разбросе параметров транспортного потока играют скоррелированные флуктуации его внутреннего параметра. Уменьшению предельного значения этого параметра, величина которого определяет оптимальный режим движения, способствует рост низкочастотной составляющей интенсивности шума, а также увеличение характерного времени изменения интервала движения по отношению к соответствующему масштабу изменения скорости.

Глава 5 посвящена исследованию систем, испытывающих стохастический резонанс под действием периодического сигнала. В отличие от обычного резонанса он проявляется в триггерном поведении бистабильной системы, выражающемся в почти регулярных переходах между стационарными состояниями, которые при определённой интенсивности шума совершаются с частотой периодического сигнала. Принципиальная особенность стохастического резонанса состоит в том, что усиление сигнала обеспечивается не отбором резонансной частоты, а совместным действием внешнего сигнала и шума, которое имеет существенно нелинейный характер. Поэтому в основу нашего рассмотрения положена нелинейная теория резонанса, использование которой позволяет представить его стохастическое проявление. Это достигается введением обобщённого импульса, сопряжённого координате шума, и переходом к канонической паре переменных действие--угол. Решению первой задачи в рамках теоретико-полевой схемы  посвящён раздел 5.1. В разделе 5.2, занимающем центральное место, проводится рассмотрение нелинейного резонанса в представлении переменных действие--угол, использование которых тестируется сначала на примере гармонического осциллятора. Затем рассмотрены модели нелинейного маятника, частицы в двуямном потенциале и нелинейного маятника под действием постоянного поля. Условия резонанса для нелинейного маятника исследованы в разделе 5.3, а в разделе 5.4 они обобщены на случай стохастического резонанса. В результате развита картина нелинейных колебаний, которая показывает, что с ростом энергии отдельная гармоника трансформируется в суперпозицию колебаний, число которых монотонно возрастает до бесконечности, а их частоты и амплитуды спадают до нулевых значений. С приближением энергии к критическому значению набор гармонических колебаний преобразуется в ансамбль солитонов.

Шестая глава посвящена исследованию корреляционных эффектов, проявляющихся в самоорганизации стохастических систем: в разделе 6.1 рассматривается эволюция самоподобной нульмерной системы, подверженной действию единственного цветного шума, а в разделе 6.2 исследуется более сложный случай, в котором картина самоорганизации формируется совместным действием нелинейности, корреляции в пространственном распределении частиц, а также авто- и кросс-корреляций аддитивных и мультипликативных шумов.

Рассмотрение первого из указанных случаев достигается (раздел 6.1) на основе уравнения Ланжевена, в котором сила определяется параметром внешнего воздействия, амплитуда шума представляет показательную функцию, отражающую самоподобие системы, а действие цветного шума определяется временем корреляции. Показано, что адиабатическое приближение позволяет перейти к уравнению с белым шумом и переменным коэффициентом трения. Усреднение этого уравнения по шуму с последующим расцеплением корреляторов высших порядков приводит к уравнениям, определяющим самосогласованную эволюцию параметра порядка и автокоррелятора. Второе из них содержит среднее дробной степени стохастической переменной, определение которого достигается на основе свойства самоподобия, означающего степенной характер функции распределения. Показано, что характер временных асимптотик поведения параметра порядка и автокоррелятора не зависит от степени окрашивания и скорости нарастания мультипликативного шума. В неупорядоченном состоянии автокоррелятор изменяется степенным образом при малых временах и экспоненциально при больших. Если действие шума допускает упорядочение, то поведение системы зависит от начального значения параметра порядка: при величинах, не превышающих критического порога, система скатывается в неупорядоченное состояние таким образом, что параметр порядка спадает по степенному закону, а автокоррелятор изменяется гиперболически; релаксация системы в упорядоченное состояние протекает согласно закону слабо сжатой экспоненты.

В разделе 6.2 показано, что совместное действие аддитивного и мультипликативного коррелирующих шумов сказывается на упорядочении стохастической системы двояким образом: при малых интенсивностях мультипликативного шума его корреляции с аддитивной составляющей способствуют фазовому превращению, а при больших шум подавляет процесс упорядочения. Феноменологическое исследование показывает, что кросс-корреляции аддитивного и мультипликативного шумов оказывают действие, подобное внешнему полю, величина которого определяется интенсивностями и временем корреляции этих шумов. Если в отсутствие шумов стохастическая система обнаруживает переход второго рода, то их включение приводит к переориентации параметра порядка, реверсивному фазовому переходу и трансформации непрерывного фазового превращения в прерывистое.

Одной из наиболее красивых и продуктивных концепций современной физики, предложенных для описания микромира, является суперсимметрия (для ознакомления можно обратиться к обзорам, посвященным использованию суперсимметрии в квантовой механике, теории неупорядоченных металлов  и теории суперструн). На основе идеи, высказанной в работе  и развитой в, было показано, что суперсимметрия может быть использована также для описания флуктуирующих полей, которые определяют картину фазового перехода, связанного с потерей симметрии. Глава 7 посвящена исследованию стохастических систем, фазовое пространство которых испытывает намного более сильную перестройку, связанную с потерей эргодичности. При этом используется полевая схема, основанная на стандартном методе Мартина--Сиггиа--Роуза  и объединении стохастических полей в суперсимметричную конструкцию.

Из материала, приведенного в главе 7, видно, что использование суперсимметричного поля при описании неэргодических систем является столь же естественным, как введение комплексного поля в теории фазовых переходов. Однако при этом не удаётся обойти методические трудности, которые возникают как при использовании полевой схемы, так и при построении суперсимметричной теории. Действительно, редкая полевая работа обходится без преобразования Хаббарда--Стратоновича или более изощренной процедуры, при которой единица записывается в виде интеграла от delta-функции, представляемой затем интегралом Фурье по полю духов. В результате возникают фиктивные поля, для которых не только не выясняется физический смысл, но даже не вводятся новые обозначения. Наша цель состоит в том, чтобы уйти от ситуации, когда облака духов закрывают физическую суть. Разумеется, при этом не удаётся избежать типично полевых приемов, однако мы всегда устанавливаем физический смысл появляющихся полей.

Другая трудность, возникающая при построении суперсимметричной схемы, обусловлена тем, что в зависимости от выбора начала отсчета времени возможны два варианта суперсимметричных полей. Кроме того, эти поля могут иметь как четыре, так и две компоненты, причем в последнем случае суперполе не обязательно является киральным. Учитывая такое разнообразие, мы проводим в главе 7 подробное рассмотрение, которое устанавливает связь между указанными вариантами. Это позволяет найти оптимальный путь построения суперсимметричной схемы, представляющей самосогласованное поведение стохастической системы.

Если первая часть монографии посвящена изучению сложных систем на феноменологическом уровне, то во второй излагается более глубокий подход, сводящийся к статистической теории систем, фазовое пространство которых обладает сложной структурой. Наиболее привычным проявлением таких систем являются атмосферные процессы, формирующие погоду, долговременное предсказание которой оказывается невозможным в принципе. Другой пример представляют временные ряды экономических показателей (например, обменных курсов валют), которые представляют настолько сложные последовательности, что их поведение оказывается совершенно непредсказуемым. В основу нашего подхода к описанию указанных систем положены концепции теоретической физики, развитые в последнее время.

Одной из таких концепций является симметрия, использование которой приводит к принципиально важным представлениям о поведении физических систем. Это выражается в наличии законов сохранения, использование которых позволяет существенно продвинуться в описании симметричных систем. Важнейший пример такого рода представляют свойства однородности и изотропности пространства-времени, приводящие к сохранению энергии, импульса и момента импульса. Подобным образом симметрия пространства состояний физической системы приводит к законам сохранения обобщённых зарядов. Особое место занимают системы, в которых фазовый переход приводит к новому типу симметрии -- относительно изменения их масштаба. Такие самоподобные системы представляют основной объект статистической теории, излагаемой во второй части монографии.

Изложению основ статистической теории сложных систем посвящена глава 8, которая открывается рассмотрением статистического ансамбля спинового стекла, состоящего из бесконечного множества частично перекрывающихся подансамблей. В разделе 8.2 определена конфигурационная энтропия, которая задаёт сложность фазового пространства, возникающую в результате такого деления при постоянном значении вероятности различных конфигураций. Переход к изменяющейся вероятности в разделе 8.3 показывает, что требование максимума энтропии, учитывающее условие нормировки статистического распределения и определение внутренней энергии, приводит к распределению Больцмана--Гиббса. Согласно разделу 8.9, это распределение сохраняет свою силу как при нарушении канонической формы уравнений движения, так и при переходе к негамильтоновым системам, в которых скобки Пуассона не подчиняются тождеству Якоби. Более того, рассмотрение, проведенное в разделе 8.5, показывает, что статистические состояния диссипативных систем также распределены по Больцману--Гиббсу, если на степень свободы приходится удвоенная энергия, половину которой поглощает процесс диссипации.

В простых системах распределению статистических состояний можно придать либо мультипликативную форму Больцмана, в которой выделен множитель обратной статистической суммы, либо вид экспоненты Гиббса, показатель которой содержит свободную энергию. Согласно рассмотрению, проведенному в разделах 8.7 и 8.9, в сложных системах ситуация существенно усложняется: если свободным параметром является внутренняя энергия, определяющая энтропию, то следует использовать распределение Больцмана, а при параметре состояния и термодинамическом потенциале, сводящемся к температуре и свободной энергии, статистические состояния распределены по экспоненциальному закону Гиббса. Характерно, что первое распределение содержит температуру, а использование второго приводит к энтропии.

Как известно, сложным системам присуще не экспоненциальное, а степенное поведение, известное как закон Парето, который определяет распределение богатства по различным слоям населения, интенсивность землетрясений, частоту катастроф финансовых бирж и т.д. Такое поведение следует из определений энтропии в разделе 8.6, рассмотрение которых показывает, что они являются результатом деформирования логарифмической функции. Наиболее известные примеры такого деформирования представляют энтропии Реньи, Шармы--Митталя, Цаллиса и Каниадакиса, а также их функциональное обобщение в разделе 8.9. Использование деформированных энтропий в разделах 8.7 и 8.8 приводит к коренной перестройке термодинамики сложной системы, наиболее важная черта которой сводится к её неаддитивности, означающей, что энтропия составной системы перестаёт быть равной сумме энтропий отдельных частей. Согласно разделу 8.9, основные термодинамические соотношения сохраняют силу не только для самоподобного фазового пространства, но и при произвольной деформации, не изменяющей его топологию. При этом сохраняется структура Лежандра относительно термодинамических преобразований, связывающих состояния, отвечающие различным выборам их параметров. Кроме того, остаётся в силе закон равнораспределения, означающий прямо пропорциональную зависимость внутренней энергии от температуры. В разделе 8.10 показано, что статистика Цаллиса представляется парой сопряжённых распределений, параметры деформации которыхсвязаны простым образом. При этом следует различать три параметра деформации: первый определяет чувствительность динамики сложной системы к изменению начальных условий, второй задаёт картину её релаксации в стационарное состояние, третий -- статистическое поведение системы. Величина первого из указанных параметров связана с предельными значениями размерности мультифрактального множества, представляющего поведение сложной системы.

Основой статистической теории, изложенной в главе 9, является условие самоподобия фазового пространства, точки которого образуют мультифрактальное множество. В разделе 9.1 изложены основные положения теории самоподобных систем: сначала дано определение размерности монофрактала и приведены методы её нахождения, а затем введены основные характеристики мультифрактальных множеств и установлена связь между ними. В качестве примера рассмотрено простейшее биномиальное множество Кантора, описание которого достигается в рамках аналитической процедуры. Введение в теорию мультифракталов завершается изложением алгоритма, использование которого позволяет определить спектр размерностей самоподобного временного ряда.

В разделе 9.2 показано, что изложенный формализм позволяет построить статистическую теорию систем, обладающих мультифрактальным фазовым пространством. Используемый подход основывается на определении энтропии, согласно которому её приращение с изменением объёма фазового пространства gamma обратно пропорционально статистическому, величина которого зависит от gamma степенным образом с массовым показателем tau(q), где q принадлежит множеству (1,оо) -- параметр мультифрактала. Показано, что статистическое рассмотрение такой системы сводится к представленному в предыдущей главе формализму Цаллиса, где роль параметра неаддитивности играет обращённая величина tau(q) = 1/tau(q) > 1 массового показателя tau(q), сводящегося к удельной теплоёмкости. По заданной величине tau(q) найдена сложность системы, определяющая распределение её состояний. Показано, что показатель tau(q) представляет функцию, монотонно возрастающую в интервале [0,1) при вариации показателя мультифрактала в области [1,oo). Её моделирование достигается деформированием гиперболического тангенса в согласии с процедурами Цаллиса и Каниадакиса, позволяющими представить произвольное мультифрактальное пространство. Показано, что его спектральная функция f(d) монотонно возрастает от минимальной величины f = --1, отвечающей удельной размерности фазового пространства d = 0, до максимальной f = 1 при d = 1.

Глава 10 посвящена исследованию иерархически соподчинённых сложных сетей, широко распространённых в физике, биологии, экономике, социологии и других областях науки и её приложений. Основная особенность случайных иерархических систем состоит в том, что при переходе на более глубокий уровень каждый статистический ансамбль разделяется на более мелкие подансамбли, которые, в свою очередь, состоят из ещё более мелких субансамблей следующего уровня, и т.д. Благодаря этому эволюция самоподобных сложных сетей сводится к аномальной диффузии в ультраметрическом пространстве иерархической системы, стационарное распределение по уровням которой определяется степенным законом. Обзор сложных сетей открывается разделом 10.1, в котором приводятся основы статистической теории классических случайных графов. Далее основное внимание уделяется учёту влияния иерархической связи на статистическое поведение сложных сетей. В разделе 10.2 представлены различные типы такой связи, раздел 10.3 посвящён исследованию процесса иерархизации, сводящегося к диффузии в ультраметрическом пространстве, а в разделе 10.4 рассмотрена мера сложности случайных иерархических сетей.

В рамках такой схемы раздел 10.1 посвящён основам статистической теории сложных сетей, обладающих экспоненциальным распределением. На основе эвристических соображений построены микроканонический, канонический и большой канонический ансамбли, а затем проведено обобщение на системы, которым невозможно приписать определённые значения энергии. Исследованы свойства равновесных статистических ансамблей графов, энергии которых определяются как порядками отдельных и соседних вершин, так и глобальными свойствами. Показано, каким образом можно провести обобщение стандартных методов статистической теории на вырожденные графы, обладающие петлевыми и множественными рёбрами. Развито представление случайного графа моделью решёточного газа, в рамках которой изложены основы микроскопической теории фазовых переходов. В заключение изложено микроскопическое представление случайных графов, восходящее к методам квантовой статистики.

Как уже упоминалось, иерархически соподчиненные объекты образуют ультраметрическое пространство, геометрическим образом которого является дерево Кэйли. Поэтому в разделе 10.2 исследованы возможные типы случайных деревьев, иерархическая связь которых определяется вероятностью заполнения ближайших уровней. Показано, что для регулярного дерева и дерева Фибоначчи число узлов растёт с номером уровня экспоненциально, для вырожденного -- линейно, а для самоподобного дерева -- степенным образом. Постулирована связь между вероятностями заполнения ближайших уровней, из которой следует, что эти вероятности распределены подобно числу статистических состояний, деформированному фрактальной размерностью ультраметрического пространства.

В разделе 10.3 построена статистическая теория распределения по состояниям самоподобной иерархической системы, в которой отсутствует какой-либо масштаб в изменении случайной величины. В общем случае поведение сложной сети определяется кластерной структурой всех иерархических уровней, однако свойство самоподобия позволяет ограничиться заданием структуры минимального кластера и фиксацией номера уровня. Основываясь на обобщенном уравнении Фоккера--Планка, мы показываем, что эволюция самоподобной сложной сети представляет аномальную диффузию по иерархическим уровням, в процессе которой устанавливается стационарное распределение в форме Цаллиса. Определена связь между параметром неаддитивности и фрактальной размерностью ультраметрического пространства.

Раздел 10.4 посвящён определению сложности самоподобных систем, которая по аналогии с энтропией характеризует беспорядок иерархической связи. Хотя с формальной точки зрения сложность и энтропия не отличаются, их физическая природа совершенно различна: если энтропия характеризует беспорядок в распределении наименьших структурных единиц (например, атомов), то при определении сложности их роль переходит к подансамблям, на которые подразделяется полный статистический ансамбль. Основой нашего подхода является деформированная алгебра, в рамках которой функции логарифма и экспоненты принимают обобщённую форму Цаллиса. Использование такого подхода позволяет найти сложность сети как в континуальном приближении, когда иерархические уровни распределены по степенному закону, так и с учётом дискретной природы иерархии. Найдена связь между сложностью, параметром неаддитивности и дисперсией статистического ансамбля.

Заключает монографию глава 11, посвящённая термодинамическому описанию самоподобных временных рядов, которые являются основным объектом исследования в экологии, экономике, социологии, физике и других науках. Согласно определению, временной ряд представляет дискретную последовательность значений исследуемой величины, которые фиксируются в моменты времени, разделенные малым интервалом. Использование свойства самоподобия позволяет представить временные ряды в рамках термодинамической схемы, которая сводится к статистической картине Цаллиса, изложенной в главе 8.

Аналитическое описание временного ряда (раздел 11.1) основывается на переходе от суммирования по фазовому пространству к интегрированию по значениям координаты и скорости, где эффективная постоянная Планка определяет объем фазового пространства, приходящийся на один член ряда. При этом условие самоподобия выражается законом Леви с динамическим показателем, равным фрактальной размерности ряда. В основе термодинамического представления лежат энтропия Реньи и эскортное распределение Цаллиса. Использование условия самоподобия приводит к закону равнораспределения и термодинамическим соотношениям с температурой, значение которой экспоненциально зависит от величины фрактальной размерности и степенным образом -- от максимального разброса случайной переменной. Исходя из условия положительности теплоемкости и восприимчивости, определены пределы предсказуемости поведения временного ряда. Исследование соответствующих температурных зависимостей показывает, что ряд становится непредсказуемым, если шаг изменения времени превышает критическое значение, фиксируемое интенсивностью внешнего поля и силой межчастичного взаимодействия; при этом микроскопический масштаб принимает значения, которые меньше предельного порога.

Для подтверждения полученных аналитических результатов в разделе 11.2 изложена численная процедура, основанная на модели неаддитивных случайных блужданий. Она приводит к временным зависимостям координаты и скорости одномерного ряда, которые отвечают большому каноническому ансамблю. Показано, что вне зависимости от числа частиц температура сводится к удвоенному значению средней кинетической энергии, приходящейся на одну степень свободы.


 Об авторе

Александр Иванович ОЛЕМСКОЙ

Заведующий лабораторией Института прикладной физики НАН Украины, заведующий кафедрой Сумского государственного университета. В 1977 г. на физическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова защитил докторскую диссертацию, с 1991 г. -- профессор. Область научных интересов -- теория сложных систем. Основные результаты получены в полевой теории структурных превращений неравновесной конденсированной среды, статистической теории иерархически-соподчиненных стохастических систем, суперсимметричной теории неупорядоченных гетерополимеров, статистической теории самоподобных систем и полевой теории самоорганизации. Особенность научной деятельности А. И. Олемского состоит в активном использовании методов теоретической физики в таких направлениях, как экономические системы и финансовый рынок, коллективное поведение активных частиц, при описании временных рядов, представляющих колебания экономических индексов, обменных курсов валют и проч. Активно сотрудничает с экспериментальными группами в МГУ, Сибирском физико-техническом институте (Томск) и Карловом университете (Прага), а также с теоретиками Института физики конденсированных систем (Львов) и Львовского национального университета.

А.И. Олемской -- автор 176 научных работ, из которых 5 представляют собой монографии, более 15 -- обзоры. Под руководством А.И. Олемского защищены 2 докторские и 9 кандидатских диссертаций.

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце