Самарский А.А.Ак★★, Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции--диффузии Изд. 2

Оглавление

Предисловие

Вычислительные средства (численные методы и компьютеры) широко используются для математического моделирования проблем механики сплошной среды. При исследовании многих процессов в движущихся средах в качестве основных можно выделить диффузионный перенос той или иной субстанции и перенос, обусловленный движением среды, т.е. конвективный перенос. В газо- и гидродинамике в качестве базовых моделей многих процессов выступают краевые задачи для стационарных и нестационарных уравнений конвекции-диффузии – эллиптическое или параболическое уравнение второго порядка с младшими членами.

В настоящее время в теории численных методов решения задач математической физики наиболее глубокие и законченные результаты получены при рассмотрении задач с самосопряженными операторами. Это относится как к методам, базирующимся на конечно-разностных аппроксимациях, так и к методам на основе конечно-элементных аппроксимаций. С необходимой полнотой в учебной и монографической литературе исследованы проблемы устойчивости и сходимости приближенных решений, итерационные методы решения сеточных задач для основных краевых задач математической физики.

Данная работа посвящена теоретическому исследованию численных методов решения наиболее важных для практики задач для эллиптических и параболических уравнений второго порядка с несамосопряженными операторами – задач конвекции-диффузии. Выделены три основных класса таких задач, которые связаны с использованием дивергентной, или недивергентной, или же, так называемой, симметричной формой записи операторов конвективного переноса. Основное внимание уделяется задачам конвекции-диффузии в прямоугольной области. Одномерные задачи используются для прояснения принципиальных моментов.

В книге делается попытка обсуждения всего спектра проблем численного решения задач конвекции-диффузии. В частности, рассматриваются вопросы построения дискретных аналогов, важнейшие вопросы сходимости приближенного решения к точному решению в различных нормах. Отдельно выделены вопросы итерационного решения задач конвекции-диффузии, аддитивные схемы (схемы расщепления) для многомерных нестационарных задач. Строятся и исследуются различные классы локально-одномерных схем – схем с расщеплением по пространственным переменным.

Данная книга является итогом наших многолетних исследований по разностным методам решения задач математической физики, численному решению задач механики жидкости и газа. Работа ориентирована на специалистов по численным методам решения задач гидро- и газодинамики, краевых задач для уравнений с частными производными. На ее основе могут читаться специальные курсы для студентов старших курсов университетов и технических вузов.

Тематика исследований, представленная в книге, обсуждалась со многими коллегами по работе, прежде всего, сотрудниками Института математического моделирования РАН, кафедры вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова и Института проблем безопасного развития атомной энергетики РАН. Особую благодарность мы выражаем А.Н. Павлову, В.В. Чуданову, А.Г. Чурбанову и Г.И. Шишкину за заинтересованное обсуждение различных аспектов работы, а также Н.П. Вабищевичу – за TeXническую помощь в подготовке рукописи.

О содержании книги

Современные теоретические исследование в механике сплошной среды базируются на широком использовании вычислительных средств (компьютеров и численных методов). Традиционные аналитические средства прикладной математики используются для предварительного качественного исследования математических моделей, тестирования вычислительных алгоритмов.

Численное моделирование проблем гидро- и газодинамики проводится чаще всего на основе использования разностных методов и метода конечных элементов. Литература по вычислительной гидро- и газодинамике, тепломассопереносу весьма обширна (см. Литература). Основная масса литературы ориентирована на лиц с инженерной подготовкой, когда материал излагается с привлечением лишь элементарных понятий теории вычислительных методов математической физики. Упор делается на алгоритмическую сторону проблемы, на экспериментальное тестирование численных алгоритмов. В ряде книг проводится строгое математическое исследование вопросов разрешимости непрерывных задач и их определенного класса дискретных аналогов без серьезного обсуждения вопросов реализации исследуемых численных алгоритмов на современной вычислительной технике.

Основные особенности проблем механики сплошной среды связаны с учетом конвекции, ее доминированием во многих процессах. Теоретическая и методическая отработка вычислительных алгоритмов, ориентированных на численное моделирование таких проблем, должна проводится на базовых, модельных задачах – краевых задачах для уравнений конвекции-диффузии.

В теории численных методов математической физики основное внимание уделяется задачам диффузии – самосопряженным эллиптическим уравнениям второго порядка и параболическим задачам с самосопряженным эллиптическим оператором. Это относится как к конечно-разностным методам, так и, не в меньшей степени, к методам конечных элементов. Наиболее полные и глубокие результаты получены также при построении итерационных методов сеточных уравнений с самосопряженным оператором.

В настоящее время есть острая необходимость в книгах, которые были бы посвящены развитию основных методов численного решения задач конвекции-диффузии на основе хорошо развитых алгоритмов решения задач диффузии. Одной из первых попыток в данном направлении можно считать книгу А.А.Самарского "Теория разностных схем", которая посвящена проблемам построения дискретных аналогов для задач конвекции-диффузии. Рассматриваются простейшие разностные аппроксимации, метод конечных элементов в различных вариантах, метод конечных объемов. В предлагаемой вашему вниманию работе обсуждается более широкий круг вопросов, возникающих при приближенном решении задач конвекции-диффузии численными методами: аппроксимация, устойчивость и сходимость, схемы расщепления, итерационные методы решения сеточных задач.

При построении дискретных аналогов мы ориентируемся на разностные методы, которые и используются, в основном, в вычислительной практике при решении крупных прикладных задач. В своем изложении мы ограничились обсуждением проблем решения задач в регулярных областях и на регулярных сетках, когда различия разностных и конечно-элементных аппроксимаций не носят принципиального характера.

Изложение материала базируется на основных результатах теории разностных схем. Некоторые важные результаты по численному решению задач конвекции-диффузии в той или иной степени нашли отражение в нашей предыдущей работе.

Коротко о содержании книги. В гл. 2 рассматриваются проблемы построения и обоснования приближенных методов решения стационарных задач конвекции-диффузии. Для модельных дифференциальных двумерных задач конвекции-диффузии отмечаются основные свойства операторов конвективного переноса в гильбертовых пространствах, формулируется принцип максимума для уравнений конвекции-диффузии в дивергентной и недивергентной формах.

Далее обсуждаются проблемы аппроксимации задач конвекции-диффузии на равномерных сетках, строятся схемы конечных элементов. С общих позиций исследуется устойчивость и сходимость разностных схем. Отмечаются особенности построения схем на неравномерных сетках.

Формулируется принцип максимума для недивергентных разностных схем, на основе которого строятся монотонные разностные схемы. Аналогично исследуются задачи с дивергентными конвективными слагаемыми. Построение абсолютно монотонных разностных схем проводится на основе конструктивного принципа регуляризации разностных схем.

Проблемы итерационного решения сеточных задач конвекции-диффузии обсуждаются в гл. 3. Рассматриваются общие подходы к выбору итерационных параметров. Законченные результаты теории итерационных методов решения несамосопряженных задач получены для двухслойных итерационных методов (метод минимальных поправок). Получены оценки скорости сходимости при выборе диагонального оператора перехода, при выделении самосопряженной части.

Обсуждаются возможности использования трехслойного метода сопряженных градиентов в различных вариантах. Исследована сходимость метода при симметризации исходной задачи, при выделении самосопряженной части (диффузии). Отдельно выделены итерационные методы для задач с диагональным преобладанием по строкам и по столбцам.

Нестационарные задачи конвекции-диффузии рассмотрены в гл. 4. Приведены оценки в различных нормах для нестационарной дифференциальной задачи конвекции-диффузии, которые служат ориентиром при построении и исследовании дискретных задач.

Принципиальные вопросы устойчивости и корректности разностных схем для задач конвекции-диффузии рассмотрены с позиций общей теории устойчивости операторно-разностных схем. Обсуждаются общие двух- и трехслойные разностные схемы, схемы с весами, приведены оценки устойчивости по начальным данным и правой части. Изучается устойчивость различных разностных схем для задачи конвекции-диффузии в сеточных гильбертовых пространствах.

Проведено исследование сходимости разностных схем для задач конвекции-диффузии в других (банаховых) сеточных нормах. Рассмотрены схемы с направленными разностями, установлена сходимость в равномерной норме, получены оценки в интегральной норме.

В гл. 5 строятся различные классы схем расщепления для уравнений конвекции-диффузии. Исследуются аддитивные схемы для эволюционных уравнений первого порядка: факторизованные схемы, схемы покомпонентного расщепления, векторные схемы, приведены оценки решения.

Традиционно широко используются экономичные схемы (схемы расщепления по пространственным переменным) для приближенного решения многомерных задач. Получены оценки точности для схем расщепления по пространственным переменным для нестационарных задач конвекции-диффузии. Важным примером аддитивных схем являются схемы расщепления по физическим процессам, когда выделяются операторы конвективного и диффузионного переноса. При ориентации на современные параллельные компьютеры используются схемы декомпозиции области.

Изложение базируется на использовании стандартного для теории разностных схем математического аппарата, основой которого является теория операторов в конечномерных гильбертовых пространствах. Такой материал излагается студентам факультетов прикладной математики университетов и технических вузов. Поэтому книга доступна студентам старших курсов. Мы надеемся на то, что предлагаемая книга будет полезна также специалистам по прикладному численному моделированию, прежде всего, в механике сплошных сред.

Об авторах

Самарский Александр Андреевич

Академик РАН, лауреат Ленинской и Государственной премий СССР, лауреат Государственной премии Российской Федерации. Заслуженный профессор МГУ имени М. В. Ломоносова. Научный руководитель Института математического моделирования РАН, заведующий кафедрой вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ. Выдающийся ученый, крупнейший специалист в области вычислительной математики и математической физики, один из основоположников современной методологии математического моделирования и вычислительного эксперимента. Опубликовал около 500 научных работ, из них более 20 монографий и учебных пособий, в том числе: «Уравнения математической физики» (М.,1999, 6-е изд., соавт. А. Н. Тихонов), «Теория разностных схем» (М., 1989, 3-е изд.).

Вабищевич Петр Николаевич

Доктор физико-математических наук, профессор. Специалист в области вычислительной математики и математического моделирования. Работает в Институте проблем безопасного развития атомной энергетики РАН (г. Москва) и Северо-Восточном федеральном университете им. М. К. Аммосова (г. Якутск). П. Н. Вабищевич разработал новые эффективные вычислительные алгоритмы для численного решения многомерных задач математической физики, внёс большой вклад в разработку методов численного решения обратных задач математической физики. Созданные им методы применяются при решении прикладных проблем механики сплошной среды, тепло- и массопереноса.

Автор более 300 научных работ, в том числе нескольких монографий и учебных пособий, обладатель более 10 патентов РФ.