URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Афанасьев А.П., Дзюба С.М. Устойчивость по Пуассону в динамических и непрерывных периодических системах
Id: 61632
 
384 руб.

Устойчивость по Пуассону в динамических и непрерывных периодических системах

URSS. 2007. 240 с. Твердый переплет. ISBN 978-5-382-00261-3.

 Аннотация

Хорошо известен факт, что в двухмерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, автономной или с периодической частью, всегда существует периодическое решение (теорема Массера). Известно также, что на случай системы дифференциальных уравнений произвольного порядка этот результат не распространяется (есть примеры). Однако можно определить класс решений, обобщающий периодические и в каком-то смысле близкий к ним, которые всегда существуют в произвольной автономной системе или в системе с периодической правой частью. Книга посвящена исследованию свойств таких решений и смежным вопросам качественной теории дифференциальных уравнений.

Книга рассчитана на широкий круг читателей --- от студентов старших курсов до научных работников, интересующихся качественной теорией дифференциальных уравнений.


 Оглавление

Предисловие
Введение
Обозначения
Глава 1. Ограниченные и периодические решения дифференциальных уравнений
 § 1.Оператор сдвига вдоль решений дифференциальных уравнений
 § 2.Теоремы Массера
 § 3.Теорема Пуанкаре -- Бендиксона
 § 4.Гладкие многообразия
 § 5.Пример системы, имеющей периодические решения только второго рода
Глава 2. Устойчивость по Пуассону в динамических системах
 § 1.Метрические пространства
 § 2.Динамические системы
 § 3.Устойчивость по Пуассону
 § 4.Минимальные множества и рекуррентные движения
 § 5.Равностепенно непрерывные множества и теоремы Асколи
 § 6.Равномерная устойчивость по Пуассону в динамических системах
 § 7.Простая и равномерная устойчивость по Пуассону
 § 8.Почти периодические движения
Глава 3. Теоремы о возвращении и устойчивость по Пуассону
 § 1.Возвращаемость областей и центральные движения
 § 2.Мера Каратеодори
 § 3.Теоремы о возвращении Пуанкаре -- Каратеодори и Хинчина
Глава 4. Устойчивость по Пуассону в непрерывных периодических системах
 § 1.Периодический оператор сдвига и непрерывные периодические системы
 § 2.Дискретные динамические системы
 § 3.Равномерная устойчивость по Пуассону в непрерывных периодических системах
Предметный указатель
Литература

 Предисловие

Эта книга написана на основе исследований, проводимых авторами последние пятнадцать лет.

Книга состоит из четырех глав. Оригинальные исследования авторов изложены главным образом в ее второй и четвертой главах, базирующихся на классических результатах общей теории динамических систем, восходящих еще к Дж. Биркгофу. Эти главы (и глава 3) рассчитаны на широкий круг читателей от аспирантов до научных работников, интересующихся качественной теорией дифференциальных уравнений. Что касается первой главы, то она носит предварительный характер и, главным образом, предназначена для студентов старших курсов университетов. При отборе материала авторы стремились сделать книгу по возможности компактной и независимой. Это, на наш взгляд, должно сделать ее доступной не только математикам, но и специалистам различных технических и экономических специальностей, интересы которых в современном мире не учитывать нельзя. И, наконец, необходимо отметить, что эпиграф книги носит двоякий смысл: с одной стороны, он отражает основную философскую идею результатов авторов, с другой -- классических результатов, относящихся и к устойчивости по Пуассону, и к рекуррентным движениям.

Работа по написанию книги осуществлялась при поддержке РФФИ (проекты NN 06-01-00821, 07-07-00170).

Авторы

 Из введения

Хорошо известно, что геометрическое исследование А. Пуанкаре "О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями" и его знаменитый мемуар "Новые методы небесной механики" в сочетании с диссертацией А.М. Ляпунова заложили в конце девятнадцатого века основы качественной теории дифференциальных уравнений.

На наш взгляд особого упоминания заслуживает мемуар А. Пуанкаре "Об одной геометрической теореме" -- прощальный поклон и завещание великого человека. Сформулированая здесь в виде гипотезы теорема о неподвижной точке некоторого гладкого отображения кругового кольца в себя была доказана Дж. Биркгофом уже после смерти А. Пуанкаре. Трудно утверждать наверняка, но, возможно, именно работа над этой теоремой окончательно укрепила силы и дух Дж. Биркгофа и привела его к дальнейшим исследованиям по теории динамических систем и топологии. Во всяком случае, современники утверждали, что "настоящим учителем Биркгофа был Пуанкаре", и что "Биркгоф усердно изучал все работы Пуанкаре по динамике".

Каково же отношение Дж. Биркгофа к общей теории динамических систем? Ответ на этот вопрос более, чем прост -- он ее создал. В книге введены и подробно изучены такие фундаментальные понятия, как alpha- и omega-предельные точки и множества, возвращаемость областей и центральные движения, минимальные множества и рекуррентные движения. Более того, свои результаты Биркгоф в известной степени обобщил на дискретные динамические системы, дополнив их своей знаменитой эргодической теоремой.

Нельзя сказать, что книга Дж. Биркгофа написана простым общедоступным языком, особенно для своего времени; об этом в своих воспоминаниях говорил даже Л.С. Понтрягин. Однако, она нашла своих последователей и получила развитие в работах А.А. Маркова, Г.Ф. Хильми, В.В. Немыцкого, В.В. Степанова и многих других математиков.

Наряду с работами по общей теории динамических систем качественная теория одновременно получила более, чем продвинутое развитие и в области систем с интегральным инвариантом. Полученные здесь результаты К. Каратеодори и А.Я. Хинчина существеным образом дополнили и обобщили теорему Пуанкаре о возвращении. В этом напралении были также заложены фундаментальные основы эргодической теории.

Наряду с упомянутыми работами в качественной теории дифференциальных уравнений появилось и совершенно новое важное направление -- структурная устойчивость, изначально названная грубостью динамических систем. Основоположниками в этой области выступили А.А. Андронов и Л.С. Понтрягин, создавшие теорию грубых систем на плоскости. Ими, в частности, было докзано, что грубые системы всюду плотны на множестве двумерных систем.

Перенесение понятия грубости даже на трехмерный случай существенно осложнено. Объясняется это, прежде всего, гораздо менее тривиальным характером фазовых портретов грубых трехмерных систем. Здесь впервые был построен пример грубой системы со счетным множеством седловых предельных циклов, имеющих неограниченно возрастающий период.

Существенным шагом вперед в этом (и не только в этом) направлении стала книга Д.В. Аносова. Нас в этой книге более привлекает не установленная там структурная устойчивость геодезических потоков на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны, а четкое описание вида и установление свойств динамических и дискретных систем, названных впоследствии У-системами Д.В. Аносова.

Ввиду чрезвычайной важности этого вопроса для последующего анализа, остановимся на нем подробнее...

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце