URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Волевич Л.Р., Гиндикин С.Г. Смешанная задача для дифференциальных уравнений в частных и производных с квазиоднородной старшей частью
Id: 586
 
439 руб.

Смешанная задача для дифференциальных уравнений в частных и производных с квазиоднородной старшей частью.

URSS. 1999. 272 с. Твердый переплет. ISBN 5-901006-64-X.

 Аннотация

В книге развивается аппарат энергетических оценок для эволюционных операторов высокого порядка. Этот аппарат позволяет дать единое изложение смешанной задачи для строго гиперболических и параболических по Петровскому дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Этот же метод позволяет одновременно указанными классическими уравнениями рассмотреть новый нетрадиционный класс (/-гиперболических уравнений.

В дополнении, написанном А.Р.Ширикяном и первым автором, рассматриваются гиперболические уравнения на всей оси времени. Изучается разрешимость в пространствах ограниченных, периодических и почти периодических но времени функций. Исследуются свойства асимптотической устойчивости и экспоненциальной дихотомии.

Для специалистов но дифференциальным уравнениям в частных производных и математической физике. Книга доступна математикам -- аспирантам и студентам старших курсов.


 Предисловие

Основная цель книги -- дать систематическое изложение теории смешанной задачи для гиперболических дифференциальных операторов с переменными коэффициентами. Эта теория в некотором смысле является завершением классического направления в дифференциальных уравнениях с частными производными, которое началось с изучения задачи Коши и смешанной задачи для волнового уравнения (ряд замечаний исторического характера можно найти в обзоре Волевича и Гиндикина ). Этапами ее построения были: введение Петровским в 30-е годы класса гиперболических уравнений высокого порядка (систем), обобщающего волновое уравнение, исследование Петровским и Лере задачи Коши для гиперболических уравнений произвольного порядка с переменными коэффициентами, и, наконец, занявшее не одно десятилетие изучение смешанной задачи для гиперболических уравнений произвольного порядка (систем первого порядка), которое было завершено Агмоном, Крайсом и Сакамото. По нашему мнению, наиболее адекватным подходом к доказательству разрешимости гиперболических задач является метод, использующий "разделяющий оператор" и связанную с ним дефинитную квадратичную форму. Указанный метод был предложен в начале 50-х годов Лере, который, отталкиваясь от закона сохранения энергии для для мембраны (ее движение описывается волновым уравнением), ввел энергетические квадратичные формы для гиперболических уравнений высокого порядка с переменными коэффициентами. Сочетая оценки форм энергии с функциональными методами, Гординг получил стройную теорию разрешимости задачи Коши. Сакомото существенно развила подход Лере--Гординга применительно к смешанной задаче. Фундаментальная идея Лере состоит в том, что в случае строго гиперболического оператора (имеющего простые вещественные характеристики) отвечающая ему энергетическая форма является (в современной терминологии) эллиптической формой с параметром, что и позволяет получать оценки для переменных коэффициентов. Изложение энергетического метода для гиперболических уравнений занимает существенную часть книги.

Однако это основное направление дополняется двумя другими темами. Во-первых, оказывается, что развитый для гиперболических уравнений энергетический метод почти автоматически распространяется на параболические уравнения; более точно -- на 2b-параболические дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. Этот класс уравнений также был введен Петровским как обобщение уравнения теплопроводности на случай уравнений (систем) высокого порядка. Для этих уравнений смешанная задача, как и задача Коши, традиционно исследуется при помощи адекватных оценок и той или иной формы параметрикса Леви. Далее, оказывается, что энергетический метод Лере позволяет также полностью изучить разрешимость задачи Коши и смешанной задачи для параболических уравнений. Единственное естественное изменение, которое нужно сделать во всех конструкциях, это рассматривать вместо обычных старших однородных частей операторов старшие квазиоднородные части, которые получаются, если производные по времени учитываются с весом 2b. Это общее место в теории параболических уравнений (для уравнения теплопроводности b=1). Последним обстоятельством объясняется, почему в заглавии книги фигурирует термин "квазиоднородная старшая часть". Более того, в рамках метода энергетических оценок теории гиперболических и параболических операторов могут быть объединены в единую теорию операторов с доминирующей старшей квазиоднородной частью. Последние характеризуются тем, что для них условия корректности задачи Коши и смешанной задачи определяются только в терминах старших квазиоднородных частей уравнения и граничных операторов, и, тем самым, устойчивы относительно возмущения задачи произвольными младшими членами.

Однако возможно еще одно расширение класса рассматриваемых операторов, и с ним связана основная новизна предлагаемого изложения. Мы изучаем новый класс операторов, названных 2b+1-гиперболическими. В этом случае оператору дифференцирования по времени приписывается нечетный вес 2b+1. В отличие от параболических и гиперболических операторов, 2b+1-гиперболические не имеют классических прообразов. Однако можно указать очень простой и естественный пример уравнения, отвечающего b=1, это

pmfrac{partial u}{partial t}+frac{partial3 u}{partial x31} +...+frac{partial3 u}{partial x3_n}=0.

В случае одного пространственного переменного (n=1) приведенное уравнение совпадает с линейной частью уравнения Кортевега да Фриса, линейные части некоторых многомерных аналогов КдФ также являются 3-гиперболическими операторами. Для 2b+1-гиперболических уравнений с переменными коэффициентами удается (методом энергетических оценок) построить столь же полную теорию задачи Коши и смешанной задачи, как в случае гиперболических или параболических уравнений. Наконец, можно все три рассмотренных класса операторов объединить в единый класс операторов с доминирующей старшей квазиоднородной частью. Можно было бы вести все изложение сразу для этого общего класса. Однако это сделало бы изложение слишком громоздким, и мы предпочли сначала работать со специальными классами и лишь в конце приводить объединяющий результат.

Книга состоит из 4 глав, каждая из которых начинается с подробного введения. В первой главе собран весь необходимый материал о полиномах, которые в последующих главах будут служить символами всех трех указанных выше классов операторов. Детально изучаются свойства этих полиномов (включая описание, позволяющее объединить их в единый класс), необходимые для построения энергетических оценок. Вторая глава посвящена задаче Коши. Последняя входит как существенная составная часть в смешанную задачу. Однако мы рассматриваем задачу Коши отдельно, поскольку теория разрешимости этой задачи представляет самостоятельный интерес и при таком изложении мы частично разгружаем наиболее тяжелые последние главы, посвященные смешанной задаче. Следует отметить, что мы касаемся не всех аспектов задачи Коши, а лишь тех, которые примыкают к смешанной задаче. Соответственно, мы почти не обсуждаем, например, возможности распространения теории корректности задачи Коши на более широкие классы операторов как с постоянными, так и с переменными коэффициентами, а также не исследуем точные экспоненциальные классы корректности задачи Коши. Читатель может найти подробное изложение этих вопросов в наших книгах и обзоре (Волевич, Гиндикин [1994, 1992, 1988] и Гиндикин ). В главе II мы сначала переформулируем результаты главы I, касающиеся полиномов, в виде оценок для соответствующих дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. За этим следует описание общей схемы изучения задачи Коши для уравнений с переменными коэффициентами с помощью энергетических оценок и конкретизация этой схемы применительно к гиперболическим, 2b-параболическим и 2b+1-гиперболическим уравнениям. Затем приводится объединяющая теорема. Глава II заканчивается изложением теории задачи Коши для трех классов систем, обобщающих рассмотренные в книге классы скалярных операторов. К сожалению, удовлетворительная теория смешанной задачи для гиперболических систем высокого порядка и аналогичная теория для 2b+1-гиперболических систем к настоящему моменту не созданы, поэтому вопросы разрешимости смешанной задачи для систем остались за рамками этой книги. Главы III и IV посвящены собственно смешанной задаче, изложение в них во многом "параллельно" изложению в главе II. В главе III систематически рассмотрен более трудный случай гиперболических уравнений, а в последней сравнительно небольшой главе собраны дополнительные факты, которые позволяют рассмотреть смешанную задачу для 2b-параболических и 2b+1-гиперболических уравнений и получить общий результат, объединяющий все три указанные теории. Отметим, что совместное изложение трех независимых теорий смешанной задачи и задачи Коши приводит к необходимости формулировать большое число "похожих" утверждений. Что касается доказательств, то мы, как правило, их тщательно проводим только один раз, скажем для случая гиперболических уравнений, в остальных случаях мы останавливаемся только на специфических для них деталях или (если эти детали не носят принципиального характера) оставляем доказательства читателю.

В каждой главе принята автономная нумерация параграфов и формул в них, пункты имеют двойную нумерацию (п.2.1 -- пункт 1 2). Внутри пунктов принята автономная нумерация теорем, предложений, лемм и т.д. Если в пункте имеется лишь одна теорема, предложение, лемма и т.д., то они не имеют номера. Ссылаясь на материал из другого пункта настоящего параграфа, мы указываем номер пункта: например, предложение 3.1. Если в данном пункте несколько предложений, то мы пишем: предложение 1, 2 и т.д. из п.3.1. При ссылках на формулы из других параграфов мы сначала указываем номер соответствующего параграфа: например, (3.20) -- формула (20) из 3. При ссылках на формулу из введения к главе мы добавляем цифру 0, скажем (0.3) -- формула (3) из введения. При ссылках на материал из других глав мы перед номерами параграфов, пунктов или формул указываем номер главы. Например,.2, п.IV.2.1 и (IV.2.7) будут, соответственно, 2 из главы IV, п.1 из 2 из главы IV, формула (7) из 2 главы IV.

Судьба этой книги сложилась таким образом, что сначала появился ее английский перевод (Волевич, Гиндикин ). В предлагаемом тексте исправлен ряд опечаток английского варианта и расширен список литературы. Кроме того добавлено дополнение, написанное А. Р. Ширикяном и первым из авторов. В нем рассматриваются задачи на всей оси времени для гиперболических уравнений высокого порядка. Как и в основной части книги, все изложение дополнения основано на энергетических оценках, полученных соответствующим образом модифицированным методом разделяющего оператора.


 Оглавление

Предисловие
Глава I. Основные классы полиномов
 Введение
 § 1.Корректные по Петровскому полиномы
 § 2.Устойчиво корректные полиномы
 Дополнение к § 2.Плюрипараболические полиномы
 § 3.q-гиперболические полиномы (q-нечетные)
 § 4.Слабо q-устойчиво корректные полиномы
Глава II. Задача Коши
 Введение
 § 1.Вспомогательные сведения. Основные пространства функций и распределений
 § 2.Задача Коши для дифференциальных операторов в частных производных с постоянными коэффициентами
 § 3.Метод энергетических оценок
 § 4.Задача Коши для строго гиперболических операторов с переменными коэффициентами
 § 5.Задача Коши для q-параболических операторов с переменными коэффициентами
 § 6.Задача Коши для q-гиперболических операторов с постоянными и переменными коэффициентами
 § 7.Задача Коши для систем дифференциальных уравнений
 Дополнение 1.Гиперболические системы с диагонализируемой старшей частью
 Дополнение 2.q-гиперболические системы с диагонализируемой вещественной частью
Глава III. Смешанная задача для гиперболических уравнений
 Введение
 § 1.Основные предположения
 § 2.Формулировка основного результата.Необходимые условия разрешимости смешанной задачи
 § 3.Разрешимость смешанной задачи
 § 4.Некоторые вспомогательные утверждения (псевдодифференциальные операторы, оценки квадратичных форм)
 § 5.Основная оценка. Предварительные результаты
 § 6.Окончание доказательства основной оценки
 § 7.Энергетическая оценка для случая более общих граничных условий
 Дополнение к § 7
 § 8.Смешанная задача в цилиндрической области
Глава IV. Смешанная задача для q-параболических и q-гиперболических уравнений
 § 1.Смешанная задача для q-параболических уравнений
 § 2.Смешанная задача для q-гиперболических уравнений
 § 3.Априорные оценки в смешанной задаче для q-гиперболических уравнений
 § 4.Основная теорема
Дополнение Л.Р. Волевич, А.Р. Ширикян Некоторые задачи для строго гиперболических операторов на всей оси времени
 Введение
 § 1.Алгебра символов
 § 2.Энергетические оценки
 § 3.Гиперболическое уравнение на полуоси времени: простейшие результаты
 § 4.Гиперболические операторы в пространствах ограниченных по времени функций
 § 5.Начальные задачи для гиперболических уравнений с условиями роста на бесконечности
 § 6.Экспоненциальная дихотомия и экспоненциальное расщепление
 § 7.Замечания о точности полученных результатов
 § 8.Нелинейные уравнения
Список литературы
Указатель обозначений
Предметный указатель
 
© URSS 2016.

Информация о Продавце