Колмогоров А.Н.✫★★Ак Математика в ее историческом развитии:
Об истории математики и математическом мышлении. Изд. 2

Содержание

Несколько слов об А.Н.Колмогорове (П.С.Александров)

Необыкновенная широта творческих интересов А.Н.Колмогорова, огромный диапазон и разнообразие тех областей математики, в которых он работал в различные периоды своей жизни, выделяют Андрея Николаевича среди математиков не только нашей страны, но и всего мира, и можно прямо сказать, что в отношении этого свойства своего дарования он не имеет себе равных среди математиков нашего времени. При этом во многих математических дисциплинах, в которых работал А.Н.Колмогоров, им получены действительно основополагающие, принципиально важные результаты, доказательство которых часто требовало преодоления больших трудностей и поэтому было сопряжено с большим творческим напряжением. Это относится уже к результатам, полученным Андреем Николаевичем в совсем молодые годы, по теории множеств и функций, как дескриптивной, так и метрической, например к построенной им теории операций над множествами и к его знаменитому примеру расходящегося ряда Фурье.

Далее последовали работы по общей теории меры, как абстрактной, т.е. "собственно общей", так и геометрической, а затем начались и фундаментальные работы А.Н.Колмогорова в различных направлениях теории вероятностей, поставившие Андрея Николаевича на бесспорное первое место среди представителей этой дисциплины во всем мире.

Рано возникли и первые работы А.Н.Колмогорова, посвященные математической логике и основаниям математики. В значительно более поздние годы к этим работам присоединились исследования по теории информации.

Очень велик вклад, сделанный Андреем Николаевичем в топологию. Достаточно напомнить, что, одновременно с выдающимся американским топологом Александером и совершенно независимо от него, А.Н.Колмогоров пришел к понятию когомологии и основал теорию когомологических операций, т.е. получил результаты, существенно преобразовавшие всю топологию. Общеизвестны глубокие связи топологии с теорией обыкновенных дифференциальных уравнений, небесной механикой и, далее, общей теорией динамических систем. Эти связи возникли в первых же работах Пуанкаре. Идеи А.Н.Колмогорова во всей этой огромной математической дисциплине, далее развитые в работах его многочисленных учеников, в значительной степени определили ее состояние в настоящее время. Необходимо, наконец, указать на исследования А.Н.Колмогорова, относящиеся, собственно, к механике, в частности на его знаменитые работы в теории турбулентности, уже непосредственно переходящие в область экспериментальных наук о природе. Все сказанное, а сказано далеко не все, что можно было бы сказать о А.Н.Колмогорове как об ученом, делает очевидным, что в его лице мы имеем одного из самых выдающихся представителей современной математики в самом широком смысле этого слова, включающем и прикладную математику. Это положение Андрея Николаевича в науке пользуется бесспорным признанием в международном научном мире, и оно находит свое внешнее выражение, в частности, в том, что А.Н.Колмогорову принадлежит первое место среди всех советских математиков по числу иностранных академий и научных обществ, избравших его своим сочленом, а также университетов, сделавших его своим почетным доктором. Среди них находим: Парижскую академию наук, Лондонское королевское общество, Общегерманскую академию наук "Леопольдина", Нидерландскую академию наук, Польскую академию наук, Академию наук ГДР, Польское математическое общество, Лондонское математическое общество, Национальную академию США, основанное В, Франклином Американское философское общество, Парижский, Берлинский, Варшавский университеты и др.

А.Н.Колмогоров родился 25 апреля 1903 г. в г.Тамбове, в котором его мать Мария Яковлевна Колмогорова задержалась по пути из Крыма. Мария Яковлевна умерла при самом рождении ее сына, и все заботы по его воспитанию взяла на себя ее родная сестра Вера Яковлевна Колмогорова, которая действительно заменила мать Андрею Николаевичу. А.Н.Колмогоров в соответствии с этим и относился к Вере Яковлевне, как к своей матери, до самой ее смерти (В.Я.Колмогорова умерла в 1950 г. в Комаровке в возрасте 87 лет). По материнской линии А.Н.Колмогоров был дворянского происхождения: его дед со стороны матери, Яков Степанович Колмогоров, был угличским уездным предводителем дворянства. Колмогоровы владели имением Туношна, расположенном на речке Туношонка вблизи ее впадения в Волгу, недалеко от Ярославля, и большим домом в самом Ярославле. Отец Андрея Николаевича был сыном священника. Он был агрономом с высшим специальным образованием или, по тогдашней терминологии, "ученым агрономом".

Моя дружба с А.Н.Колмогоровым занимает в моей жизни совершенно исключительное, неповторимое место: эта дружба перешагнула в 1979 год через свое пятидесятилетие и за весь этот полувековой период не только ни разу не дала никакой трещины, но не сопровождалась даже никакой ссорой, не было у нас за все это время и какого бы то ни было взаимного непонимания по вопросам, сколько-нибудь важным для нашей жизни и миросозерцания; даже тогда, когда наши взгляды на какой-нибудь из этих вопросов бывали различны, мы относились к этим взглядам друг друга с полным пониманием и сочувствием.

Как уже упоминалось, у А.Н.Колмогорова было много учеников в различных областях математики, некоторые из которых сами сделались крупными представителями своей специальности. Старшими учениками А.Н.Колмогорова являются ставшие потом действительными членами АН СССР Сергей Михайлович Никольский (р. 1905 г.) и ныне покойный Анатолий Иванович Мальцев (р. 1910 г.). Следующими по возрасту являются Борис Владимирович Гнеденко (р. 1912 г.), действительный член Академии наук УССР, видный всемирно признанный специалист по теории вероятностей, действительный член АН СССР Михаил Дмитриевич Миллионщиков (р. 1913 г., скончался в 1973 г.) и Израиль Моисеевич Гельфанд (р. 1913 г.), член-корреспондент АН СССР, избранный иностранным [членом Национальной академии наук США и Парижской академии наук. Значительно моложе, но все же принадлежат к старшему поколению учеников А.Н.Колмогорова, действительный член АН СССР Александр Михайлович Обухов (р. 1918 г.), член-корреспондент АН СССР Андрей Сергеевич Монин (р. 1921 г.).

Далее идут: Владимир Андреевич Успенский, Владимир Михайлович Тихомиров, Владимир Михайлович Алексеев, Яков Григорьевич Синай, Владимир Игоревич Арнольд.

Особенно обширна группа учеников Андрея Николаевича, посвятивших себя работе в теории вероятностей и математической статистике. Среди них – действительный член АН СССР Юрий Васильевич Прохоров, члены-корреспонденты АН СССР Логин Николаевич Большев и Александр Алексеевич Боровков, действительный член АН УзССР Сагды Хасанович Сираждинов, действительный член АН УССР Владимир Сергеевич Михалевич, Борис Александрович Севастьянов, Юрий Анатольевич Розанов, Альберт Николаевич Ширяев, Игорь Георгиевич Журбенко. Разумеется, что этот список ни в какой мере не является полным: да и по самому заглавию моей статьи ясно, что она, не будучи юбилейным обзором жизни и деятельности А.Н.Колмогорова и вообще не будучи в каком бы то ни было смысле традиционной "юбилейной статьей", не претендует на полноту ни в каком отношении.

Март 1981 г.

Наш великий современник Колмогоров (В.А.Успенский)

Андрей Николаевич Колмогоров умер 20 октября 1987 г., в 14 часов 09 минут, в Москве, в Кунцевской больнице. 25 апреля 1988 г. ему исполнилось бы 85 лет.

В 1832 г. Гоголь написал, а в 1834 г. опубликовал следующие слова о Пушкине:

"При имени Пушкина тотчас осеняет мысль о русском национальном поэте. В самом деле, никто из поэтов наших не выше его <...> Пушкин есть явление чрезвычайное " [1].

Если заменить здесь "поэт" на "ученый", а "Пушкин" на "Колмогоров", мы получим удивительно точную характеристику Колмогорова.

В Колмогорове все чрезвычайно. Чрезвычайна многомерность (о ней ниже) охвата знаний. Чрезвычайны воплощавшиеся в действия представления о научной этике. Чрезвычайно стремление к самосовершенствованию, к созиданию себя как личности, равно гармонически развитой духовно и телесно. Он никогда не занимался состязательным спортом, но поддержанию себя в надлежащей физической форме уделял не меньше внимания, чем математическому творчеству. Последние годы физической неподвижности и телесной немощи были поэтому для него мучительны, как ни для кого другого.

Колмогорова нередко называли человеком Возрождения. Скорее, он человек античности. Вспомним, что "гимназия" и "гимнастика" происходят от одного и того же греческого корня.

Колмогоров отчетливо ощущал наличие слова "культура " в примелькавшемся словосочетании "физическая культура" и с несомненностью считал физическую культуру необходимым компонентом человеческой культуры вообще. Телесная культура была такой же неотъемлемой частью внутреннего мира Колмогорова, как поэзия и музыка, как архитектура, живопись и другие виды пластических искусств. Мало сказать, что он имел обширные и глубокие знания в каждой из этих художественных сфер.

В стихах и музыкальных произведениях, зданиях, картинах и скульптурах он видел необходимые условия нормального человеческого бытия, своего рода синхронизаторы или, лучше сказать, гармонизаторы эмоционального статуса человека.

В применении к познавательной деятельности Колмогорова выше было употреблено слово "многомерность". Действительно, здесь можно выделить как бы три измерения: широту, глубину и высоту.

Широта научных интересов Колмогорова имеет мало прецедентов в XX веке – если вообще имеет таковые. Спектр этих интересов простирается от метеорологии (Колмогоров был почетным членом Американского метеорологического общества) до теории стиха (академик Д.С.Лихачев недавно согласился быть ответственным редактором сборника стиховедческих работ Колмогорова). К какой бы области знания ни прикоснулся Колмогоров, она, эта область, после его прикосновения получает новый импульс развития и уже не может изучаться без учета колмогоровского вклада в нее.

В своих самых первых, еще студенческих работах Колмогоров выступил как историк. Эти работы, сохранившиеся лишь в рукописи, относятся к истории Новгорода и посвящены анализу землепользования в Новгородской земле в XV веке. Выступая 15 декабря 1989 г. в Московском доме ученых на вечере памяти А. II. Колмогорова, известный историк, ныне академик АН СССР В.Л.Янин указал, что эти юношеские работы занимают в исторической науке место, до которого развитие этой науки еще не дошло: будучи опубликованы, они окажутся впереди современного уровня науки.

Известный лингвист, ныне покойный профессор филологического факультета Московского университета П.С.Кузнецов писал в своих воспоминаниях, что Колмогоров, "который еще будучи студентом занимался историей (работал в семинарии у Бахрушина по истории Новгорода) и который вместе с тем (еще без меня) путешествовал по Пинеге и в ее верховьях, высказал предположение, что колонизация в верховьях Пинеги шла с Северной Двины (от Верхней Тоймы) на восток через водораздел, а не по реке от впадения ее в Двину. Если так, то граница Восточной и Поморской группы северорусских говоров должна была проходить севернее, чем предположительно проведена на карте МДК, и верховья Пинеги должны входить в Восточную группу. Оказалось, что так и есть" [3, с, 207].

Откроем известную хрестоматию ван Хейеноорта "От Фреге до Гёделя" [4]. Хрестоматия входит в серию, каждая из книг которой представляет собой "собрание статей, определивших структуру той или иной науки" [4, с.V]. Хрестоматия ван Хейеноорта посвящена математической логике. Мы находим в ней английский перевод [5] статьи 22-летнего Колмогорова [6]-статьи, охарактеризованной составителем как "первое систематическое изучение интуиционистской логики" [4, с.VII]. Действительно, в этой статье интуиционистская логика впервые сделана предметом математического исследования. К сказанному уместно добавить, что эта статья была также первой отечественной статьей по логике, содержащей собственно математические результаты.

Откроем известную монографию Абрахама и Марсдена "Основания механики" [7]. Галерея портретов крупнейших ученых в области классической механики, начинающаяся с портрета Архимеда, включает и портрет Колмогорова. А его доклад "Общая теория динамических систем и классическая механика" на Международном математическом конгрессе 1954 г. в Амстердаме [8] охарактеризован в предисловии к названной монографии как важная историческая веха в развитии науки и потому полностью воспроизведен в монографии в виде специального приложения [9]. При этом классическая механика составляет лишь часть интересов Колмогорова в области механики, он внес также выдающийся вклад в аэрогидромеханику.

Однако основной сферой деятельности Колмогорова была, конечно, математика. Колмогоров – один из крупнейших математиков XX века. Его имя стоит рядом с именами Пуанкаре и Гильберта.

Теория функций (где студенческая работа [11] 19-летнего автора, устанавливающая существование почти всюду расходящегося ряда Фурье, сразу сделала его знаменитым), теория множеств (где он заложил основы теории операций над множествами), топология (где он разделяет с Александером авторство теории когомологий), теория вероятностей (где он был признанным главой этой науки во всем мире, "живым воплощением математической теории вероятностей", как писала английская газета "Тайме" в связи с его кончиной), теория информации (где он разделяет с Шенноном построение оснований этой теории), теория алгоритмов (где ему принадлежит определение общего понятия алгоритма и создание теории сложности конструктивных объектов)-вот перечень далеко не всех областей математики, которыми занимался Колмогоров. И не просто занимался, но оставил в них глубокий след.

Здесь мы подходим к следующему измерению творчества Колмогорова – его глубине, "Во всем мне хочется дойти до самой сути". Кстати, некоторыми отмечалось, что Колмогоров чем-то внешне (а может быть, и внутренне) был схож с автором этих стихов – другим нашим великим современником – Пастернаком. Как бы то ни было, Колмогоров всегда стремился дойти до самой сути предмета, проникнуть вглубь, выделить основные понятия. Его главная монография называется характерно: "Основные понятия теории вероятностей" [разрядка моя. – В.У.] (отображающие эти понятия символы составили эмблему I Всемирного конгресса по математической статистике и теории вероятностей, состоявшегося в 1986 г.). Именно этот метод дохождения до сути позволил Колмогорову добиться фундаментальных достижений, выдвинуться на первые места во всех сферах, которым он уделял внимание, будь то теория вероятностей (пути развития которой были определены названной выше монографией), математическая логика или теория турбулентности.

В поисках сути Колмогорову нередко удавалось достичь очень просто формулируемых представлений – как, например, в случае с принадлежащим ему аксиоматическим изложением теории вероятностей. По-видимому, им руководило естественное для настоящего ученого убеждение, что чем более общий характер носит идея, тем проще она должна быть. Одно из последних по времени достижений Колмогорова в математике – создание общей теории сложности объектов. То, что вещи бывают простые и сложные, было и есть ясно всем. Вопрос состоял в том, можно ли измерить сложность вещи числом. Колмогоров предложил называть сложностью вещи длину наикратчайшего ее описания. Это колмогоровское определение (которое мы здесь воспроизвели, разумеется, в несколько огрубленном виде) обладает отличительной чертой гениальности: оно кажется самоочевидным, но лишь после того, как высказано. Как писал (в 1931 г.) упомянутый уже Б.Пастернак, "Есть в опыте больших поэтов черты естественности той, что невозможно, их изведав, не кончить полной немотой. В родстве со всем, что есть, уверясь и знаясь с будущим в быту, нельзя не впасть к концу, как в ересь, в неслыханную простоту. Но мы пощажены не будем, когда ее не утаим. Она всего нужнее людям, но сложное понятней им".

Глубину исследований Колмогорова иллюстрирует то обстоятельство, что значение открытых им понятий и методов с течением времени не убывает, а возрастает. Многие понятия, введенные Колмогоровым, были поистине пионерскими, они опережали свое время (сам Колмогоров, кстати, учил, что система понятий не менее важна, чем система результатов и даже может составить предмет диссертаций). Так, в начале 1954 года им была предложена общая идея нумерации, а также понятие сводимости нумераций; сейчас основанная на этих представлениях теория нумераций составляет важную ветвь теории алгоритмов, ей Посвящены монографии и конференции. В языкознании заняло прочное место понятие "падежа по Колмогорову". Высказанное в тех же 50-х годах (но придуманное, вероятно, раньше), это было первое научное определение падежа, и последующие научные определения так или иначе на него опираются. Для Колмогорова довольно типично, что и определения нумерации и сводимости нумераций, и определение падежа были даны им как бы вскользь и к тому же лишь в устной форме (в дискуссий на семинаре, в частной беседе; для всеобщего сведения они были затем опубликованы автором данного очерка).

Пионерскими были и многие предложенные Колмогоровым методы. Так, при исследовании знаменитой тринадцатой проблемы Гильберта о суперпозициях он не только получил (в 1956 г.) результат о возможности представления любой непрерывной функции в виде суперпозиции непрерывных же функций трех переменных, но и создал метод, позволивший его ученику В.И.Арнольду, тогда (в 1957 г.) студенту-третьекурснику, понизить в этом результате количество переменных с трех до двух и тем самым решить указанную проблему (притом в сторону, противоположную первоначальной гипотезе самого Гильберта). А в работах Колмогорова по теории динамических систем (1954 г.) было положено начало методу КАМ (Колмогорова – Арнольда – Мозера) – "методу, считающемуся одним из крупнейших достижений математики двадцатого века").

Если в применении к научным исследованиям термины "широта" и "глубина" достаточно привычны, слово "высота" требует пояснений. Вот что можно разуметь здесь под высотой: расстояние между теоретическими построениями (расположенными как бы вверху) и практическими приложениями (расположенными как бы внизу). Несколько веков назад Ньютон и сам отливал и шлифовал зеркало для изобретенного им отражательного телескопа, и сам же формулировал гравитационные уравнения, описывающие движение наблюдаемых в телескоп небесных тел. Теперь, как правило, теорией занимаются одни, а практическими приложениями – другие, между теорией и приложениями (так сказать, по вертикали) несколько промежуточных этажей, и на каждом этаже своя группа исследователей, общающаяся только с соседями непосредственно сверху и непосредственно снизу (согласно Ф.Дюрренматту, "обер-бухгалтеры общаются только с вице-обер-бухгалтерами"). Колмогоров проходит эту лестницу сам, без помощи промежуточных лиц, а точнее – соединяя промежуточные лица в своем собственном. Теоретические работы по аксиоматическому определению понятия вероятности естественно перетекают в занятия теорией стрельбы и статистическим контролем качества продукции. Исследования по теоретической гидромеханике непосредственно связаны с участием в морских экспедициях на кораблях для изучения океанических течений; здесь Колмогорову принадлежит открытие слоистой структуры океана (так называемых "блинов"), а сам Колмогоров гордился наличием у него специального мореплавательского удостоверения – так называемой матросской книжки. В монографии П.С.Александрова "Комбинаторная топология" [12] имя Колмогорова встречается дважды: на с.483 он выступает в качестве автора одной из формулировок закона двойственности, а на с.22 – в качестве исполнителя многих чертежей.

Колмогоров являл собою редкое сочетание математика и естествоиспытателя, теоретика и практика. Он автор ряда блестящих сочинений по методологии и истории науки; среди них – известная статья "Математика" во втором издании Большой советской энциклопедии. И вместе с тем – абсолютное владение численными методами, не только умение, но и стремление в нужных случаях довести решение "до числа".

Колмогоров имел высокие понятия об этике ученого и претворял их в жизнь. Здесь ему присущи следующие черты:

1. Научная честность и объективность почти невероятные, почти не имеющие себе в наше время равных – и это на фоне необычайной эмоциональности, даже страстности в своих личных ученых занятиях. Готовность содействовать исследованиям, не только лично ему не близким, но даже иногда прямо не симпатичным.

2. Скромность – прежде всего в приоритетных вопросах. Всегда на минимуме оценка собственного вклада и на максимуме – вклада конкурента. (Но и тут он был объективен, и на моей памяти лишь раз признал, что его обогнали, что другой исследователь понял проблему глубже, чем он, и потому он, Колмогоров, занятия этой проблемой прекратил. Речь шла об открытых отображениях, повышающих размерность, а исследователем, выказавшим более глубокое понимание, была Л.В.Келдыш.)

3. Готовность к помощи. Отзывчивость. Забота об учениках. Сколько статей переписаны им в той или иной степени или подсказаны им в степени весьма высокой! По современным нормам Колмогоров должен был бы числиться соавтором многих статей своих учеников; однако он, как правило, воздерживался от включения себя в число формальных авторов.

4. Чувство личной, не перекладываемой ни на кого ответственности за развитие науки. Отсюда – неутомимая организаторская деятельность: создание журналов, отделов, кафедр и лабораторий (напомним для примера, что Институт физики атмосферы АН СССР вырос из небольшой лаборатории, созданной в 1946 г. по инициативе Колмогорова в недрах существовавшего тогда Института теоретической геофизики АН СССР). Отсюда же – донкихотская попытка борьбы с учением Т.Д.Лысенко в 1940 г. [13]. Отсюда же – неутомимая просветительская деятельность: создание знаменитого 18-го интерната при Московском университете для одаренных в физике и математике иногородних школьников, написание и редактирование программ и учебников, создание новых учебных дисциплин, активное участие в издании Большой Советской Энциклопедии и физико-математического журнала для юношества "Квант", многочисленные лекции п доклады.

Кстати, о докладах и лекциях. Бытовало мнение, что выступления Колмогорова для школьников с интересом и пониманием слушают аспиранты (но не школьники), для аспирантов – доктора наук, доклады же для докторов наук не понимает никто, кроме докладчика. В этом мнении много верного. Но этот недостаток устных выступлений Колмогорова являлся, как это часто бывает, продолжением его же достоинств – в данном случае неизменно уважительного отношения к собеседнику и слушателю. В этом важная этическая черта Колмогорова уже не как ученого, а просто как человека. Кто-то сказал, что подлинно образованный (читай – интеллигентный) человек – это тот, кто с необразованными разговаривает как с образованными. Колмогоров всегда видел в собеседнике и слушателе равного себе по интеллекту (что, понятно, редко соответствовало реальности). Как было замечено, "Колмогоров считал, что мир населен Колмогоровыми".

По этой же причине индивидуальное общение с Колмогоровым – ученика с учителем, аспиранта с руководителем – нередко также бывало затруднительным. Затруднительность усугублялась чувством неловкости аспиранта по поводу того, что его великий руководитель решаемую им, аспирантом, частную задачу понимал не только глубже аспиранта (что естественно), но и много детальнее – и даже лучше помнил, на чем прервалась беседа в прошлый раз. При этом случалось, что Колмогоров беседовал более или менее одновременно с аспирантом по логике и с аспирантом по гидромеханике.

Сказанное не помешало Колмогорову создать одну из крупнейших в стране научных школ. Среди его учеников – двенадцать членов Академии наук СССР; девять действительных членов (из коих почти все имеют разные специальности) и три члена-корреспондента. Это академики В.И.Арнольд (дифференциальные уравнения), А.А.Боровков (теория вероятностей, математическая статистика), И.М.Гельфанд (функциональный анализ), A. И.Мальцев (алгебра, математическая логика), М.Д.Миллионщиков (механика, прикладная физика), B. С.Михалевич (кибернетика, информатика), С.М.Никольский (теория функций), А.М.Обухов (физика атмосферы), Ю.В.Прохоров (теория вероятностей) и члены-корреспонденты Л.Н.Большев (математическая статистика), А.С.Монин (океанология), Б.А.Севастьянов (теория вероятностей, математическая статистика). Немало учеников Колмогорова отмечены избранием в академии и научные общества других стран. (Сам Колмогоров был членом практически всех наиболее авторитетных научных сообществ мира.)

Колмогоров – не только великий математик, он Великий Ученый в самом широком, с оттенком космичности, смысле этого слова. Более того, Колмогоров – уникальное явление русской культуры, наше национальное достояние.

Об авторе

Выдающийся советский математик, академик АН СССР (1939). Родился в 1903 г. в Тамбове. В 1925 г. окончил Московский университет, профессором которого работал с 1931 г. Заведовал различными кафедрами, был деканом механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова. Был одним из организаторов школьных математических кружков и олимпиад при МГУ, инициатором создания физико-математической школы-интерната при МГУ (1963).

А.Н.Колмогоров – автор классических работ по теории функций действительного переменного, теории множеств, топологии, конструктивной логике, функциональному анализу, механике, теории алгоритмов, теории информации. Основополагающее значение имеют его результаты в области теории вероятности. Широко известна его деятельность по разработке методики и организации математического образования. А.Н.Колмогоров был председателем Московского математического общества, почетным доктором зарубежных университетов, иностранным членом многих академий и научных обществ, кавалером правительственных наград. Лауреат Государственной премии СССР (1941), Ленинской премии (1965) и многих международных премий.