|
Оглавление
Из предисловия
В математике постоянно происходит поиск и разработка структур, наиболее удобных для описания физического мира. К разработке механики непрерывной среды привлекаются алгебраические, топологические, геометрические и дифференциальные методы – словом, весь арсенал глобального анализа. В связи с этим позволительно назвать здесь пять, на наш взгляд, ключевых тем: 1. Касательный функтор и итерации этого функтора, калибровочная теория, 2. Аппарат Ли-Картана, дифференциальные уравнения с производными Ли, 3. Связность в общем, векторном, касательном и многократном расслоениях, тензорный анализ и вариационное исчисление, 4. Экспоненциальный закон в джетах и симметрии дифференциальных уравнений, 5. Высшие движения, взаимодействие полей, инварианты и управление. Эти общие темы составляют содержание первой части настоящей книги. Во второй части книги излагается теория Мирона-Атанасиу метрических структур, в т.ч. римановых, финсеровых и лагранжевых. Эта схема соединяет концепции многих авторов: Леви-Чивиты, Минковского, Бервальда, Кавагучи, Кобаяси, Матсумото, Моримото, Сасаки, Яно и др. В геометрических моделях лагранжевой механики, теоретической физики и вариационного исчисления лагранжианы зависят от многих переменных и ускорений высших порядков. Поэтому естественной структурой в этой геометрии являются соприкасающиеся расслоения (по В.В.Вагнеру), а также высшие связности в таких расслоениях. Показывается, как важнейшие результаты римановой геометрии, относящиеся к геодезическим линиям и полям Якоби, включая теорему Морса об индексе, могут быть перенесены в геометрию второго порядка. Здесь приходим и к обобщённой калибровочной теории, к обобщённым уравнениям Эйнштейна-Янга-Миллса и к проблеме структурной устойчивости по Якоби (наряду с устойчивостью по Ляпунову). Обсуждается также т.н. КСС-теория (по имени авторов Kosambi, Cartan, Chern), ставшая популярной в связи с приложениями к физике плазмы, химии, биологии, генетике и экологии. Об авторах
Профессор университета "Трансильвания" в Брашове, Румыния. В 1961 г. окончил университет "Al. I. Cuza" в городе Яшь, в 1973 г. получил степень доктора математики. В 1981 г. награжден премией "Gh. Tzitzeica" Академии наук Румынии. Член общества "Тензор" (Япония), вице-президент Балканского общества геометров. Автор исследований в области геометрии высшего порядка. Владимир БАЛАН (род. в 1958 г.) Профессор факультета прикладных наук Политехнического университета в Бухаресте. В 1982 г. окончил Бухарестский университет, c 1992 г. – доктор математики. Член Американского математического общества, общества "Тензор" (Япония) и других; вице-президент Балканского общества геометров. Автор исследований по гармоническим отображениям, калибровочной теории, геометрии пространств Финслера, Лагранжа и Гамильтона, а также по вопросам вариационных проблем с применением к теории относительности и гравитации. Николета БРЫНЗЕЙ (род. в 1974 г.) Доцент университета "Трансильвания" в Брашове, Румыния. В 1997 г. окончила университет "Трансильвания", в 2004 г. получила степень доктора математики. Автор исследований по вариационным проблемам с применением к геометрии высшего порядка. Майдо РАХУЛА (род. в 1936 г.) Профессор-эмеритус Тартуского университета, Эстония. В 1959 г. окончил Томский университет, в 1989 г. получил степень доктора физико-математических наук. В 1993 г. награжден Государственной премией Эстонии. Член Американского математического общества, Балканского общества геометров и Эстонского математического общества. Автор исследований по касательным структурам и связностям в расслоениях с применением к теории дифференциальных уравнений. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||