Старченко И.Б. Динамический хаос в гидроакустике

Содержание

Введение

В природе происходят процессы двух типов: сложные, или хаотические, и простые, или упорядоченные. Важными техническими проблемами являются учёт и сведение к минимуму влияния неупорядоченных процессов, например сложных атмосферных явлений, вихрей в турбулентном потоке, шумов в электронной схеме и т.д. Поведение шумового сигнала нерегулярно и трудно предсказуемо. Если, однако, проанализировать достаточно длинную запись такого сигнала, то можно описать шум статистически. Это значит, что хотя и нельзя предсказать, какова будет следующая амплитуда, но вполне возможно оценить вероятность достижения сигналом каких-то определённых значений. За последние сто лет утвердился именно статистический подход к неупорядоченным процессам.

В последние 20 лет наблюдается заметный прогресс в физике, который может быть описан как подъем "хаоса". Это, на первый взгляд, действительно загадочно, так как определение хаоса предполагает нерегулярность и непредсказуемость, в то время как физика всегда рассматривалась как наука, посвященная открытию законов природы, т.е. ее порядка и гармонии. Как может хаос стать предметом серьезных исследований в физике – и не только в физике? Это только новый взгляд – что закон и хаос не взаимоисключают друг друга, что даже простые детерминистские законы могут описывать хаотическое, т.е. непредсказуемое и нерегулярное, движение. Это явление обозначается термином "псевдослучайность". Таким образом, не только закон и порядок, но и закон и хаос существуют вместе, и даже больше, кажется, что закон и хаос также важны вместе, как и закон и порядок. Это утверждение получено из факта, что хаотическое движение тесно связано с нелинейностью и область нелинейности значительно превосходит область линейности.

Нобелевский лауреат американский физик Р.Фейнман в книге "Характер физических законов" говорит: "...Один философ сказал: "Для самого существования науки совершенно необходимо, чтобы в одних и тех же условиях всегда получались одни и те же результаты". Так вот, этого не получается. Вы можете точно воспроизвести все условия, и все-таки не сможете предсказать, в каком отверстии вы увидите электрон. Тем не менее, несмотря на это, наука жива, хотя в одних и тех же условиях не всегда получаются одни и те же результаты".

Следовательно, физическая теория вовсе не всегда претендует на точное детерминированное описание, а зачастую оперирует с понятием вероятностного случайного исхода событий. Это происходит не потому, что физическая теория бессильна предсказать результат, а потому, что так устроена природа. Считается общепринятым представление о физике как о науке, имеющей дело с рядом точно решаемых динамических задач. Успех ньютоновской механики в описании и предсказании астрономических явлений в свое время выглядел чрезвычайно впечатляющим. Поэтому представлялось довольно естественным перенесение динамического подхода и на другие разделы физики, исходя из хорошо известной концепции лапласовского детерминизма, основанного на том, что какой бы сложной не была система, ее поведение можно принципиально предсказать точно, зная начальные условия и силы, действующие между ее составляющими частями. Оригинальная лапласовская формулировка этой концепции выглядит так: "Интеллект, который, в данное мгновение, знал бы все силы, действующие в Природе, и положение всех вещей, из которых состоит мир, – будь он настолько огромным, чтобы подвергнуть все эти данные анализу, – одной формулой охватил бы движения как самых больших тел вселенной, так и самых крошечных атомов: для него не было бы ничего неопределенного, а будущее, равно как и прошлое предстояло бы перед его глазами".

Любую систему можно представить как динамическую. Абстрагируясь от конкретной физической природы объекта можно указать такой набор величин, называемых динамическими переменными и характеризующих состояние системы, что их значения в любой последующий момент времени получаются из исходного набора по определенному правилу. Это правило задает оператор эволюции системы. Изменение состояния системы во времени (ее динамика) отвечает движению изображающей точки по определенной кривой – фазовой траектории. Если состояние системы задается набором N величин, динамику можно представить как движение точки по траектории в N-мерном фазовом пространстве [1].

Выделяют 2 класса динамических систем – консервативные (например, механические колебательные системы в отсутствие трения) и диссипативные. Для диссипативных систем характерно то, что режим динамики, возникающий в системе, предоставленной себе в течение длительного времени, становится не зависящим от начального состояния. Для таких систем характерно, что с течением времени облако изображающих точек "съеживается" и концентрируется в итоге на одном или нескольких аттракторах. Таким образом, множество точек в фазовом пространстве диссипативной системы, посещаемых в установившемся режиме, называется аттрактором. Простые примеры аттракторов – устойчивое состояние равновесия и предельный цикл, отвечающий режиму периодически автоколебаний (замкнутая фазовая траектория, к которой приближаются все соседние траектории).

Достижением теории динамических систем стало открытие хаотической динамики. Возникновение хаоса кажется на первый взгляд несовместимым с определением динамической системы, подразумевающим возможность однозначного предсказания конечного состояния по исходному. На самом деле в хаотическом режиме сколь угодно малая неточность в задании начального состояния системы быстро нарастает во времени, так что предсказуемость становится недостижимой на достаточно больших интервалах времени. Такого рода режимы характеризуются нерегулярным, хаотическим изменением динамических переменных во времени. В фазовом пространстве диссипативных систем им отвечают странные аттракторы – сложно устроенные множества, демонстрирующие все более тонкую структуру на разных уровнях ее разрешения (фракталы).

Как известно, математическим выражением установившихся периодических колебаний является предельный цикл. Простым примером здесь может служить обычный часовой маятник. Циклы могут быть устойчивыми и неустойчивыми. Устойчивые циклы являются примерами аттракторов, поскольку они "притягивают" все близкие траектории. Физически это означает, что при отклонении от таких колебаний система спустя некоторое время вновь возвращается к ним. Колебания маятника – устойчивый цикл. Если же система проявляет хаотические свойства, это соответствует наличию в ее фазовом пространстве более сложного, чем цикл, образования: странного (иногда говорят: хаотического) аттрактора. Странный аттрактор – это множество очень сложной геометрии, к которому притягиваются проходящие вблизи от него траектории. Данное понятие впервые было введено в известной работе Д.Рюэля и Ф.Такенса "О природе турбулентности" [2] в 1971 году.

Где лежит граница между регулярной, но сложно организованной структурой (то есть порядком) и беспорядком? Часто под беспорядком подразумевается проявление системой качественно нового режима – хаоса. Критерием появления такого режима может служить устойчивость возникающих в системе образований по отношению к малым возмущениям. Если такая устойчивость отсутствует, детерминированное описание теряет смысл, и необходимо использовать статистические методы.

Однако, как показали многочисленные исследования, статистические законы, а вместе с ними и статистическое описание относятся не только к очень сложным системам с большим числом степеней свободы. Дело здесь не в сложности исследуемой системы и не во внешних шумах, а в появлении при некоторых значениях параметров экспоненциальной неустойчивости движения.

Какие законы управляют хаосом? Возможно ли создать математический аппарат, позволяющий непротиворечиво описывать хаотическую динамику и предсказывать появление хаоса в тех или иных системах? Можно найти методы предсказания поведения хаотических систем? Ответами на эти и ряд других вопросов занимается так называемая теория динамического (или детерминированного) хаоса, являющаяся одним из разделов нелинейной динамики. К настоящему времени разработаны методы классификации различных типов хаоса, найдены закономерности его развития, созданы техники, позволяющие отличить (например, в эксперименте) хаос от белого шума и т.п. Более того, было обнаружено и строго обосновано, что сложное пространственно-временное поведение распределенных сред с большим числом степеней свободы может быть адекватно описано нелинейными системами небольшой размерности.

Исследования нелинейных динамических процессов в математике и физике показали, что хаотическое поведение в системах с небольшим числом степеней свободы весьма типично. Таким образом, проблема предсказуемости стала общей для многих направлений современной науки. В связи с этим в последнее время стало интенсивно развиваться новое направление в нелинейной динамике и синергетике, посвященное проблемам предсказуемости поведения хаотических систем, управления их динамикой и возможности подавления хаоса [3].

Одной из первых областей применения нелинейной динамики были гидродинамика и турбулентность. В 1944 г. была опубликована работа русского физика Л.Д.Ландау "К проблеме турбулентности". В этой статье Ландау предположил, что турбулентность возникает в результате большого числа (каскада) последовательных бифуркаций, каждая из которых состоит в появлении колебаний с новой частотой. Вновь возникающие частоты находятся в иррациональном соотношении с существующими. Аналогичные представления развивал позже немецкий математик Э.Хопф ("Математический пример, демонстрирующий особенности турбулентности", 1948 г.). Поэтому данную картину возникновения турбулентности называют сценарием Ландау-Хопфа. В дальнейшем эта теория была оспорена в [2].

Интерес к нелинейной динамике физических систем появился в начале 80-х годов 20 века. Общие вопросы колебаний в нелинейных системах и переход к хаотическим колебаниям рассмотрены в монографиях Заславского Г.М. и др. [4, 5] и Рабиновича М,И. и др. [6]. Рассматривается теория зарождения хаоса в гамильтоновских системах и методы приложения теории хаоса к проблемам структур сплошной среды [4]. Нелинейные процессы современной физики рассмотрены в [5] как регулярные, так и с позиций динамического хаоса и турбулентности.

Современная теория колебаний и волн с множеством примеров и новых результатов изложена в [6]. Так, обсуждается связь гидродинамической турбулентности со стохастическими автоколебаниями и их математическими отображениями – странными аттракторами, рассмотрена теория самоорганизации.

Большое влияние на развитие теории хаоса оказали работы А.В.Гапонова-Грехова. Исследуя динамику волн в нелинейных средах, ученый вместе со своими сотрудниками открыл и исследовал явление ударных электромагнитных волн. Практическим выходом стало применение ударных волн в импульсной технике. Этот цикл работ, а также некоторые другие работы по нелинейному взаимодействию волн оказались одним из предвестников грядущего расцвета нелинейной динамики волн, которую относят к ключевым разделам современной физики. Разрабатывая строгие и обосновывая асимптотические методы нелинейной динамики, Гапонов-Грехов прокладывал дорогу последующим работам по динамическому хаосу и саморегуляции в сложных динамических системах.

Акустика была первой среди областей физики, где были показаны примеры хаотической динамики. Происхождение хаоса в акустике может иметь, по крайней мере, три причины: нелинейности в динамике жидкостей в самой среде, в акустическом излучателе и при отражении и приеме акустических волн.

Обзор хаотической динамики в задачах акустики был сделан Лаутерборном и Хольцфуссом [7]. Большинство исследований акустического хаоса было сфокусировано на хаотических шумах от пузырьков и кавитации в жидкостях (обычно в воде). Показано, что нелинейное поведение пузырьков является причиной удвоения периода и акустических хаотических явлений в жидкостях.

Недавние исследования в области сценариев перехода к хаосу при акустической кавитации были проведены Кабеза (Cabeza) и др. [8]. Хаос в музыке – это еще один вид акустического хаоса. Гибьет (Gibiat) исследовал удвоение периода и хаотическое поведение музыкальных инструментов [9].

В России в 90-е годы выдающимся ученым-акустиком Л.М.Лямшевым активно развивается новое направление в акустике – фрактальная акустика. Он доказал важную роль фракталов в акустике и показал, что целый ряд имеющихся экспериментальных фактов могут быть объяснены фрактальными свойствами сред и волновых процессов [10–22]. Фрактальная структура таких сред, как грунты, пористые материалы, аморфные тела и т.п., определяет в них скорость и затухание волн, спектры колебаний, локализацию форм колебаний и другие свойства. Фрактальная размерность взволнованной ветром поверхности моря оказывается ответственной за характер частотно-угловых зависимостей рассеянных полей. Сами звуковые поля также могут обладать фрактальными свойствами вследствие, например, нелинейного взаимодействия [11].

Работы другого выдающегося российского ученого М.И.Рабиновича посвящены турбулентности в разрезе нелинейной динамики [23, 24]. Теория нелинейных структур (самоорганизация) и теория турбулентности сосуществовали в значительной степени независимо. Успехи нелинейной динамики и принципиально новые подходы к экспериментальным исследованиям турбулентности позволили вплотную приблизиться к пониманию проблемы взаимосвязи структур и турбулентности. Выяснилось, что, когда по всем представлениям должен реализоваться беспорядок, существуют упорядоченные структуры. Эти упорядоченные структуры зачастую являются локализованными в пространстве и их можно рассматривать как сосредоточенные объекты – частицы. В работе [23] показано, что реальную турбулентность зачастую можно рассматривать как хаотическую динамику нелинейно взаимодействующих структур, причем более развитой турбулентности соответствует и более развитая хаотическая динамика, т.е. движение на стохастическом множестве более высокой размерности. Основное внимание уделено гидродинамическим течениям, поскольку для них, благодаря методам визуализации, имеются эксперименты, иллюстрирующие существование структур не только в области перехода, но и в уже развитой турбулентности.

Признанными мировыми авторитетами в области лучевого хаоса в океане являются российские ученые Г.М.Заславский [4, 25–32], С.С.Абдуллаев [26–30,33], АЛ. Вировлянский [25, 34–36]. Оказалось, что наличие слабых и сравнительно мелкомасштабных неоднородностей скорости звука вызывает лучевой хаос – аналог динамического хаоса в механике. Лучевой хаос является общим свойством переменных по трассе волноводов и наблюдается в различных моделях подводных звуковых каналов.

Много книг написано, посвященных вопросам нелинейной динамики и хаоса. Но в большинстве из них рассматриваются обобщенные системы или теоретические вопросы. В данной книге делается попытка объединить методы нелинейной динамики и акустические нелинейные процессы. Автору кажется, что в настоящее время этот вопрос не в полной мере освещен в научной литературе, что не позволяет широкому кругу специалистов, интересующихся современной наукой, ознакомиться с проблемой. В акустике предпочитают в исследованиях пользоваться классическими устоявшимися методами и мало упоминают об исследованиях в области нелинейной динамики, которые могли бы расширить горизонты знания и понимания нелинейных процессов в акустике, а также найти ряд практических применений в области предсказания поведения нелинейных акустических систем.

Данная книга не претендует на полноту описания теории нелинейной динамики и детерминированного хаоса или нелинейной акустики. Целью автора являлось показать взаимосвязь и взаимопроникновение этих двух областей физики, поэтому книга построена следующим образом.

В первой главе излагаются основы классической линейной динамики, к которой "привыкли" акустики, но в терминах "фазовых плоскостей", которые широко используются в нелинейной динамике. Приведены простые примеры линейных колебательных систем: колебаний гармонического осциллятора как идеального, без затухания, так и с затуханием. Таким образом, читатель как бы вводится постепенно в курс дела, используя привычные для него термины и понятия. Показаны преимущества представления колебаний на фазовой плоскости (для систем с одной степенью свободы), которые заключаются, в основном, в наглядности.

Во второй главе делается переход к нелинейной динамике. Вводятся основные понятия, обозначается аппарат исследования и область интересов. Начиная с качественного визуального представления – аттракторов и сечений Пуанкаре, – делается переход к количественным оценкам динамики системы, меры ее "хаотичности" – это размерности системы, спектр характеристических показателей (экспонент) Ляпунова. Подробно рассмотрены методы обработки экспериментальных данных на предмет исследования временной эволюции и установления меры хаотичности исследуемого процесса или системы.

В последующих главах описываются конкретные примеры из области акустики и гидроакустики, в которых нашли применение методы нелинейной динамики и хаоса.

В третьей главе в качестве примеров хаотического поведения в гидроакустических системах выбраны газовые пузырьки в воде под воздействием мощного звукового поля и возникающая при этом кавитация, которая является сугубо нелинейным процессом; рассмотрен хаос звуковых лучей в естественных волноводах (подводных звуковых каналах), а также природные искажения звукового поля при распространении акустических волн в океане.

В четвертой последней главе приводятся авторские результаты, касающиеся применения теории детерминированного хаоса к исследованиям нелинейных процессов в гидроакустике, а именно нелинейного взаимодействия акустических волн. Параметрические антенны в нелинейной гидроакустике используют нелинейные свойства среды распространения акустических волн [37]. По этой и ряду других причин они могут рассматриваться как нелинейная система, в которой при определенных условиях могут возникнуть хаотические колебания. Рассмотрены процессы распространения волн конечной амплитуды и взаимодействия двух волн с близкими частотами.

В книге приводятся краткие биографические сведения об ученых, приложивших свой талант к развитию теории хаоса и сопутствующих областей науки, без которых мы бы не знали о хаосе и которые внесли некоторую упорядоченность, присущую науке, в такой, казалось бы, неорганизованный и "хаотичный" вопрос. Большинство биографических сведений взято из "Большой Советской Энциклопедии" (3-е изд.1970–1978 гг.) и из "мировой паутины" – Интернета.

В конце книги представлен расширенный библиографический список литературных и иных источников, которые могут быть использованы для более глубокого ознакомления с изложенными в книге проблемами.

Автор выражает благодарность научному консультанту, профессору, академику РАЕН, лауреату Государственной премии Тимошенко Владимиру Ивановичу за внимание, проявленное к работе, и ценные замечания при подготовке текста книги. Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность рецензенту, замечательному человеку и ученому, профессору Колесникову Анатолию Аркадьевичу за высокую оценку моего скромного труда и помощь в подготовке и издании книги. Особое спасибо кандидату технических наук Тепину Владимиру Петровичу, который познакомил меня с замечательным миром "хаоса", буквально "заразил" идеями применения детерминированного хаоса в гидроакустике, без которого не было бы моих исследований и этой книги. Автор искренне признательна кандидату технических наук, а ныне "коллеге по цеху" – докторанту – Александру Максимовичу Гаврилову за предоставленное лабораторное оборудование и плодотворные обсуждения полученных результатов, а также аспиранту Ситникову Роману за помощь в проведении экспериментов и терпение.

Об авторе

Кандидат технических наук, доцент. В 1996 году защитила кандидатскую диссертацию по специальности 05.11.06 – "акустические приборы и системы" – в Таганрогском государственном радиотехническом университете. Ученый секретарь Южного отделения Российского акустического общества, член-корреспондент Академии наук экологии, природы и человека (Санкт-Петербург). Автор свыше 150 опубликованных работ, среди которых научные публикации и методические разработки для студентов вузов. В настоящее время работает над докторской диссертацией. Область научных интересов: моделирование систем и процессов в акустике и биомедицине, проблемы динамического хаоса применительно к живым системам.