URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Бакушинский А.Б., Кокурин М.Ю. Итерационные методы решения некорректных операторных уравнений с гладкими операторами
Id: 4918
 
219 руб.

Итерационные методы решения некорректных операторных уравнений с гладкими операторами

URSS. 2002. 192 с. Мягкая обложка. ISBN 5-354-00129-3.

 Аннотация

В книге описывается новый подход к построению и исследованию итерационных методов, позволяющий строить такие методы и исследовать их сходимость для любых гладких нелинейных операторных уравнений без каких-либо предположений регулярности, корректности и т.п. Теоретические результаты иллюстрируются на содержательных численных примерах конкретных обратных задач математической физики.

Для специалистов в обратных задачах математической физики, системном анализе, численных методах оптимизации и инженеров, использующих математические модели, содержащие нестандартные операторные уравнения.


 Оглавление

Введение
1 Нерегулярные операторные уравнения как некорректные задачи
 1.Вспомогательные сведения из теории линейных операторов и нелинейного анализа
 2.Нерегулярные уравнения и современная теория некорректных задач
2 Методы регуляризации линейных уравнений
 1.Общая схема построения и исследования линейных регуляризующих операторов для линейных уравнений в гильбертовом пространстве
 2.Общая схема построения регуляризующих алгоритмов в банаховом пространстве
 3.Необходимость условия истокопредставимости
3 Универсальные линейные аппроксимации решений нелинейных операторных уравнений
 1.Классическая схема линеаризации
 2.Параметрическая линеаризация
 3.Параметрические линейные аппроксимации в обратных задачах акустического рассеяния
4 Итерационные процессы решения нелинейных некорректных уравнений на основе универсальных линейных аппроксимаций
 1.Обобщенные процессы Гаусса--Ньютона для нелинейных уравнений в гильбертовом пространстве
 2.Необходимые условия сходимости с данной скоростью обобщенных процессов Гаусса--Ньютона в гильбертовом пространстве
 3.Общая схема построения итерационных методов решения нелинейных нерегулярных уравнений в банаховом пространстве
 4.Необходимые условия сходимости с данной скоростью итерационных методов в банаховом пространстве
5 Устойчивые итерационные процессы на основе градиентных методов и универсальных линейных аппроксимаций
 1.Устойчивые итерационные процессы на основе метода проекции градиента с адаптивным выбором подпространства проектирования
 2.Метод проекции градиента с априорным выбором подпространства проектирования
 3.Метод проекции градиента для отыскания квазирешений нерегулярных уравнений
 4.Устойчивые итерационные процессы на базе универсальных линейных аппроксимаций
6 Применение итерационных методов при решении некоторых прикладных некорректных задач
 1.Обратная задача определения формы аномалиеобразующего тела по результатам гравиметрических измерений
 2.Обратная задача определения поверхности раздела двух сред по результатам гравиметрических измерений
 3.Обратная задача акустического рассеяния
Литература
Приложение

 Введение

В предлагаемой вниманию читателя книге развивается новый подход к приближенному решению итерационными методами нерегулярных операторных уравнений в гильбертовых и банаховых пространствах. Речь идет об уравнениях с гладкими операторами, производная которых не удовлетворяет условию регулярности, т.е. не обладает непрерывным обратным, либо псевдообратным оператором. Интерес к изучению таких уравнений в бесконечномерных пространствах возник сравнительно недавно в связи с бурным развитием в последние десятилетия теории и практики обратных задач математической физики и обнаружением того обстоятельства, что подобные задачи в большинстве случаев моделируются именно нерегулярными операторными уравнениями в этих пространствах (см., например, [2, 3, 17, 34, 41, 58, 59, 69]). В теории приближенного решения конечных систем нелинейных уравнений нерегулярная ситуация изучается уже достаточно давно. Задачи такого типа возникают, например, при нахождении точек бифуркации решений операторных уравнений в гильбертовых и банаховых пространствах и изучении вопросов ветвления их решений [19, 55, 72]. Подобные системы можно рассматривать как нерегулярные операторные уравнения в конечномерных пространствах. Начало систематического изучения нерегулярных конечномерных уравнений можно отнести к концу 19 века и связать с выходом работы Э.Шредера [116], посвященной поведению итераций Ньютона в случае кратного корня одномерного нелинейного уравнения (см., например, [67, c.299; 68, c.60; 77, с.102]). В настоящее время в теории численных методов решения конечных нерегулярных систем нелинейных уравнений накоплен большой массив разнообразных результатов, истоки которых можно опосредованно связать с упомянутой работой Э.Шредера. Не стремясь сколько-нибудь подробно обозреть все эти исследования, отметим только их некоторые, существенные с нашей точки зрения, особенности.

1. В большинстве рассматриваемых работ предполагается, что характер нерегулярности системы заранее известен. Он может быть задан в виде дополнительной информации о кратности корня, ранга вырождения якобиана системы, либо в виде задания того или иного типа обобщенной регулярности якобиана в решении [38, 39] и т.п.

2. Точное знание характера нерегулярности позволяет преобразовать исходное нерегулярное уравнение в регулярное с тем же решением или в регулярное, решение которого тривиально связано с решением исследуемого уравнения. Полученное регулярное уравнение во многих случаях уже допускает непосредственное применение стандартных итеративных методов приближенного отыскания решения. Иногда их оказывается целесообразным несколько модифицировать, введя поправки, учитывающие специфику получаемых уравнений. Более подробно с результатами исследований в этом направлении можно ознакомиться в [38, 39, 93, 103] и цитированной там литературой. К этому кругу вопросов примыкают также исследования [32, 33] по методам аппроксимации решений негладких конечномерных систем с использованием обобщений классического понятия производной.

Нам представляется, что прямое распространение вышеупомянутых результатов на типичные бесконечномерные модели, возникающие в прикладных обратных задачах (см., например, [11, 28, 84]), вряд ли возможно. Дело в том, что в бесконечномерной ситуации "ранговые" вырождения нетипичны, поскольку производная оператора рассматриваемого уравнения обычно оказывается вполне непрерывным отображением. Это обстоятельство делает задачу отыскания решения такого рода нелинейных уравнений некорректно поставленной. Поэтому можно ожидать, что привлечение идей и методов теории регуляризации некорректных задач окажет плодотворное влияние на решение проблемы построения эффективных итерационных алгоритмов для указанных уравнений.

Непосредственное использование идеологии регуляризации для построения итерационных методов в вырожденном случае широко и систематически удалось осуществить пока только применительно к уравнениям с монотонными в смысле двойственности операторами. В этом случае был предложен и обоснован эффективный принцип итеративной регуляризации, позволяющий единообразно модифицировать классические итерационные методы решения нелинейных уравнений (градиентный метод, метод Ньютона и т.п.), делая их пригодными для решения и исследования нерегулярных уравнений (см. [11, 46]). Развитие теории регуляризации стимулирует интерес к исследованию регуляризующих свойств классических итерационных процессов, в частности градиентных итераций, называемых также итерациями Ландвебера--Фридмана, методов типа сопряженных градиентов, квазиньютоновских методов и т.п. В случае аффинных операторов регуляризационные свойства градиентных методов вариационного типа и методов сопряженных градиентов подробно изучались в [26, 64, 65]. Если же оператор задачи не аффинный, а только гладкий нелинейный, то такое исследование удается провести лишь при наложении весьма жестких структурных условий на характер нелинейности оператора в окрестности решения [91, 96, 97, 104, 105, 111, 114, 115, 118]. Определенный этап этих исследований подытожен в монографии [92]. К сожалению, упомянутые условия допускают эффективную проверку только в небольшом числе искусственных примеров, выполнение же их для сколько-нибудь широких классов реальных обратных задач является проблематичным. В [23, 98, 99, 102] это обстоятельство констатируется применительно к нерегулярным уравнениям, моделирующим обратные задачи теории рассеяния и теории потенциала.

Подход к итеративному решению нерегулярных уравнений, развиваемый в этой книге, существенно отличается от упомянутых выше. Оказывается, что в гладком нерегулярном случае существуют итерационные процессы, сходящиеся к решению операторного уравнения, но множество допустимых начальных приближений для них не совпадает с малой окрестностью искомого решения, как в регулярных задачах. Хотя эти множества сходимости и не содержат внутренних точек, удается доказать устойчивость упомянутых процессов по отношению к возмущениям оператора задачи и начальной точки в смысле существования эффективных правил останова, а в некоторых случаях даже устойчивость по Ляпунову относительно возмущений начальных приближений. Многочисленные примеры практического использования этих процессов показывают их высокую эффективность в численном анализе нерегулярных операторных уравнений.

Вот краткое содержание книги по главам. В главе 1 приводятся необходимые сведения из теории линейных операторов и нелинейного анализа, используемые далее в тексте. Здесь же излагаются элементы теории регуляризации некорректных задач и обсуждается связь этой теории с подходом, развиваемым нами.

Глава 2 содержит необходимый для дальнейшего материал по построению аппроксимирующих операторных семейств и линейных регуляризующих алгоритмов для линейных уравнений в гильбертовом и банаховом пространстве. Существенное внимание здесь уделяется различным типам оценок скорости сходимости аппроксимирующих семейств операторов и условиям, достаточным и необходимым для существования таких оценок.

В главе 3 обсуждается проблема линеаризации нелинейных операторных уравнений в нерегулярном случае. Нерегулярность задачи приводит к тому, что решение линеаризованного уравнения не аппроксимирует с необходимой точностью решение исходной нелинейной задачи. Использование аппроксимаций псевдообратного оператора, описанных в главе 2, позволяет построить и обосновать универсальные линейные аппроксимации (УЛА) решений любых нелинейных уравнений с гладким оператором без предположения его регулярности и ограничений на структуру. В этой главе изучаются свойства УЛА. Использование УЛА при анализе конкретных обратных задач позволяет единообразно строить и исследовать их корректные линеаризации.

Центральное место в книге занимают главы 4 и 5. В главе 4 УЛА используются для модификации стандартного метода Гаусса--Ньютона в гильбертовом пространстве и классического метода Ньютона--Канторовича в банаховом пространстве. Модифицированные методы типа Гаусса--Ньютона (Ньютона--Канторовича) обладают такими свойствами сходимости и устойчивости, которые позволяют использовать их при решении нерегулярных (некорректных) операторных уравнений. Получены оценки скорости сходимости этих процессов. Обсуждаются достаточные и необходимые условия существования оценок скорости сходимости, естественным образом связанных с рассматриваемыми процессами.

В главе 5 изучаются итерационные процессы, обладающие свойством устойчивости относительно выбора начального приближения в окрестности решения и малых вариаций других исходных данных. Исследуются модификации стандартного градиентного процесса, которые можно применять для решения нерегулярных уравнений без каких-либо дополнительных структурных условий на оператор. Множеством притяжения, т.е. множеством допустимых начальных приближений для этих процессов, оказываются конечномерные сферы с центром в разыскиваемом решении. Это множество вообще говоря 'уже по сравнению с множеством притяжения процессов главы 4, однако градиентные процессы устойчивы относительно малых возмущений оператора при любом выборе начальной точки в окрестности решения. Для процессов главы 4 такой устойчивости нет и для их успешной реализации в условиях погрешностей необходимо вводить "правила останова", обеспечивающие прекращение работы этих процессов на подходящем шаге. Устойчивые итерационные процессы, не требующие останова, могут строиться и на базе универсальных линейных аппроксимаций. Необходимая для этого техника также развивается в данной главе.

Заключительная глава 6 посвящена численной реализации изучаемых итерационных процессов. Здесь описаны численные эксперименты с итерационными процессами на примере типичных прикладных обратных задач -- обратной задачи гравиметрии в различных ее постановках и обратной задачи акустического зондирования. Приведенные результаты позволяют читателю составить представление о практической эффективности применяемых вычислительных схем.

Книга заканчивается списком литературы. Этот список не охватывает всей проблематики, связанной с решением нерегулярных (некорректных) операторных уравнений. Мы пытались по возможности полно охватить только работы, непосредственно связанные с подходом, развиваемым в книге. Читателя, интересующегося также и альтернативными подходами, мы отсылаем к монографиям и обзорным статьям, ссылки на которые можно найти во введении и в первой главе.

Несколько общих замечаний относительно принятой ниже системы нумерации. В каждом параграфе нумерация утверждений (теорем, лемм и др.), а также формул и констант самостоятельная. При ссылке на утверждение или формулу из другого параграфа данной главы перед номером этого утверждения или формулы указывается номер того параграфа, где оно находится; при ссылке на утверждение или формулу из другой главы перед ними указывается номер этой главы и номер параграфа в главе. Так, ссылка извне первой главы на формулу (3) второго ее параграфа выглядит как (1.2.3).

Различные аспекты представленной в книге концепции итерационных методов решения нерегулярных нелинейных уравнений авторы неоднократно плодотворно обсуждали со своими коллегами и учениками. В пп.2.2, 2.3, 5.3, 5.4 включен ряд ранее не публиковавшихся результатов, полученных совместно с О.В.Карабановой, В.В.Ключевым, А.И.Козловым и Н.А.Юсуповой. При проведении численных расчетов существенную помощь нам оказал П.Г.Федяков. Всем им мы выражаем искреннюю благодарность.


 Об авторах

Бакушинский А.Б.
Доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Института системного анализа РАН (г. Москва). Известный ученый в области численных методов нелинейного анализа и их приложений, автор монографий по методам решения некорректных задач.
Кокурин М.Ю.
Доктор физико-математических наук, профессор Марийского государственного университета (г. Йошкар-Ола). Специалист по разработке и исследованию численных методов решения некорректных обратных задач и нерегулярных операторных уравнений, автор монографий.
 
© URSS 2016.

Информация о Продавце