URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Дирихле П.Г.Л. Лекции по теории чисел
Id: 48421
 
439 руб.

Лекции по теории чисел. Изд.2

URSS. 2007. 368 с. Мягкая обложкаISBN 978-5-382-00087-9. Уценка. Состояние: 5-. Блок текста: 5. Обложка: 4+.

 Аннотация

P. G. Lejeune Dirichlet. VORLESUNGEN ÜBER ZAHLENTHEORIE. HERAUSGEGEBEN UND MIT ZUSÄTZEN VERSEHEN VON R. DEDEKIND

Настоящая книга, написанная выдающимся немецким математиком П.Г.Лежен Дирихле (1805-1859), принадлежит к числу лучших классических книг по теории чисел. Cоставленная Р.Дедекиндом по лекциям Дирихле, прочитанным последним в 1856-1857 гг., она до сих пор не потеряла своего актуального значения. В книге содержатся основные результаты теории квадратичных форм, которые К.Гаусс изложил в своем знаменитом сочинении "Исследования по арифметике", и дано систематическое изложение исследований самого Дирихле. Эти исследования принадлежат к наиболее глубоким результатам математики XIX в. и служат основанием современной теории чисел.

Книга предназначена математикам - научным работникам, преподавателям, аспирантам и студентам, а также всем, кто желает улучшить свою математическую подготовку в области теории чисел. Может быть использована в качестве учебного пособия.


 Содержание

Глава первая. О ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ
 § 1.Произведение двух или трех множителей не зависит от порядка, в котором производится умножение
 § 2.Произведение любого числа множителей
 § 3.Понятие о делимости одного числа на другое
 § 4.Общий наибольший делитель двух чисел
 § 5.Числа взаимно простые
 § 6.Общий наибольший делитель нескольких чисел
 § 7.Наименьшее кратное нескольких чисел
 § 8.Числа простые и составные; разложение составных чисел на простые множители. Число простых чисел бесконечно велико
 § 9.Нахождение всех делителей числа, если известны все его простые множители. Число и сумма этих делителей
 § 10.Нахождение общего наибольшего делителя и общего наименьшего кратного нескольких чисел, если даны разложения этих чисел на простые множители
 § 11.Определение числа phi(m), которое показывает, сколько существует чисел в ряду 1, 2, 3, ..., m, взаимно простых с m
 § 12.Доказательство теоремы phi(mm') = phi (m) x phi (m'), если m и m' -- числа взаимно простые
 § 13.Доказательство теоремы sum phi(n) = m, где знак суммы относится ко всем делителям n числа m
 § 14.Другое доказательство той же теоремы
 § 15.Определение наивысшей степени простого числа, входящей в произведение 1 x 2 x 3 ... m. Следствия
 § 16.Общее заключение
Глава вторая. О СРАВНЕНИЯХ
 § 17.Понятие о сравнимости двух чисел по отношению к третьему. Простейшие свойства сравнений
 §18.Полная система вычетов по отношению к данному модулю
 §19.Доказательство обобщенной теоремы Ферма
 §20.Другое доказательство той же теоремы
 §21.Сравнения, содержащие неизвестные величины; степень таких сравнений
 §22.Сравнения первой степени с одним неизвестным; условие их возможности; первый способ решения таких сравнений
 §23.Об алгорифме Эйлера
 §24.Второй способ решения сравнений первой степени с одним неизвестным
 §25.Решение задачи: найти все числа, которые при делении на данные числа дают данные остатки
 §26.Сравнение с одним неизвестным при простом модуле не может иметь несравнимых корней более, нежели единиц в его степени
 §27.Вывод теоремы Вильсона из теоремы Ферма
 §28.Степенные вычеты; показатель, к которому принадлежит данное число
 §29.Если p -- число простое и delta -- делительр p--1, то к показателю delta принадлежит phi(delta) чисел, не сравнимых по модулю p
 §30.Первообразные корни простого числа. Индексы. Третий способ решения сравнений первой степени
 §31.Двучленные сравнения, модуль которых простое число. Условие их возможности; число корней
Глава третья. О КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТАХ
 §32.Квадратичные вычеты и невычеты
 §33.Если модуль p -- число простое и нечетное, то совокупность чисел, не делящихся на p, распадается на одинаковое число вычетов и невычетов. Характер произведения нескольких множителей. Символ Лежандра
 §34.Элементарное доказательство предыдущей теоремы, а также теорем Ферма и Вильсона
 §35.Случай, когда модуль есть степень простого нечетного числа
 §36.Случай, когда модуль есть степень двух
 §37.Случай, когда модуль есть какое угодно число
 §38.Обобщенная теорема Вильсона
 §39.Приведение задачи нахождения всех модулей, для которых данное число есть квадратичный вычет, к трем случаям
 §40.Число --1 есть квадратичный вычет всех простых чисел вида 4n + 1 и невычет всех простых чисел вида 4n + 3
 §41.Число 2 есть квадратичный вычет всех простых чисел вида и 8n + 1 и 8n + 7 и невычет всех простых чисел вида 8n + З и 8n + 5
 §42.Закон взаимности
 §43.Первая часть доказательства этого закона; видоизменение предыдущего критерия для определения характера данного числа. Новое доказательство теоремы для числа 2
 §44.Вторая часть доказательства
 §45.Применение закона взаимности к решению задачи определения характера заданного числа по отношению к данному простому числу
 §46.Символ Якоби как обобщение символа Лежандра. Обобщенный закон взаимности
 §47.Применение этого закона к определению значения символа Якоби
 §48.Второе доказательство закона взаимности; предварительные замечания
 §49.Первая часть доказательства
 §50.Лемма: если q есть простое число вида 8n + 1, то существует по крайней мере одно простое нечетное число, меньшее 2sqrt(q) + 1, по отношению к которому q есть квадратичный невычет
 §51.Вторая часть доказательства закона взаимности
 §52.Определение линейных форм, в которых содержатся все простые числа, по отношению к которым данное число есть квадратичный вычет или невычет
Глава четвертая. О КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ
 §53.Бинарные квадратичные формы; их коэфициенты и переменные; их детерминант. Исключение форм, детерминант которых является точным квадратом
 §54.Преобразование форм. Собственные и несобственные подстановки
 §55.Соединенные подстановки
 §56.Собственная и несобственная эквивалентность форм
 §57.Формы, не собственно эквивалентные самим себе
 §58.Двусторонние форяы. Каждая форма, несобственно эквивалентная самой себе, эквивалентна некоторой двусторонней форме
 §59.Распределение всех форм с определенным детерминантом по классам; полная система неэквивалентных форм. Две основные проблемы учения об эквивалентности
 §60.Собственное представление чисел посредством квадратичных форм; корни сравнений, к которым принадлежат представления. Сведение к двум основным проблемам
 §61.Приведение второй проблемы: из одной заданной подстановки, посредством которой форма переходите эквивалентную ей форму, найти все подобные подстановки, - к случаю, в котором обе формы тождественны. Делители форм и классов
 §62.Приведение проблемы: найти все подстановки, посредством которых форма переходит сама в себя, - к задаче полного разрешения уравнения Пелля. Решение этого уравнения для случая отрицательного детерминанта
 §63.Постановка первой проблемы в учении об эквивалентности: решить, эквивалентны ли две формы одинакового детерминанта или нет, и в первом случае найти подстановку, посредством которой одна из обеих форм переходит в другую. Соседние формы
 §64.Отрицательные детерминанты. Положительные формы. Приведенные формы. Каждая форма эквивалентна некоторой приведенной форме
 §65.Исключительные случаи, когда две нетождественные приведенные формы эквивалентны
 §66.Эквивалентность или неэквивалентность двух форм одинакового отрицательного детерминанта узнается путем сравнения их с приведенными формами
 §67.Число классов форм для отрицательного детерминанта конечно
 §68.Разложение чисел на сумму двух точных квадратов
 §69.Разложение чисел на сумму точного квадрата и удвоенного точного квадрата
 §70.Представление чисел посредством форм x2 + Зу2 и 2x2 + 2хy + 2y2
 §71.Представление чисел посредством форм х2 + 5y2 и 2x2 + 2хy + 3y2
 §72.Положительные детерминанты. Первый и второй корни формы
 §73.Соотношения между одноименными или разноименными корнями двух собственно или несобственно эквивалентных форм. Соседние формы
 §74.Приведенные формы с положительным детерминантом; свойства их корней
 §75.Существует лишь конечное число приведенных форм с данным положительным детерминантом
 §76.Каждая форма с положительным детерминантом эквивалентна некоторой приведенной форме
 §77.Каждая приведенная форма с положительным детерминанюм имеет одну и только одну соседнюю справа приведенною форму и точно так же одну и только одну соседнюю слева приведенную форму
 §78.Распределение приведенных форм с положительным детерминантом на периоды с одинаковым числом членов
 §79.Разложение корней приведенных форм с положительным детерминантом в периодические непрерывные дроби
 §80.Отступление, касающееся преобразования неправильных непрерывных дробей в правильные
 §81.Лемма из теории непрерывных дробей
 §82.Две любые эквивалентные приведенные формы с положительным детерминантом принадлежат к одному и тому же периоду. Окончание решения проблемы об эквивалентности двух форм с одинаковым положительным детерминантом.....*
 §83.Решение уравнения Пелля в положительных числах для положительных детерминантов путем рассмотрения периодов приведенных форм
 §84.Наименьшее положительное решение уравнения Пелля
 §85.Представление всех решений уравнения Пелля, посредством его наименьшего положительного решения
Глава пятая. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА КЛАССОВ, НА КОТОРЫЕ РАСПАДАЮТСЯ БИНАРНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ С ЗАДАННЫМ ДЕТЕРМИНАНТОМ
 §86.Установление области чисел, которые могут быть собственно представлены посредством полной системы начальных форм первого или второго вида
 §87.Число этих представлений в случае отрицательного детерминанта; в случае положительного детерминанта число представлений приводится к конечному посредством новых ограничений, налагаемых на представляющие числа
 §88.Краткое обозрение. Два способа получения одной и той же области чисел. Фундаментальное уравнение
 §89.Преобразование его правой части
 §90.Фундаментальное уравнение преобразуется так, что допускаются и несобственные представления
 §91.Отступление, касающееся числа всех представлений некоторого числа посредством системы форм. Применение к разложению чисел на сумму двух точных квадратов
 §92.Отступление, касающееся некоторых бесконечных рядов, встречающихся в теории эллиптических функций
 §93.Ограничения, налагаемые на формы, являющиеся представителями классов форм
 §94.Распределение пар представляющих чисел на определенное число двойных арифметических прогрессий
 §95.Предельное значение левой части фундаментального уравнения в случае отрицательного детерминанта
 §96.Выражение числа классов для отрицательного детерминанта в виде предельного значения некоторого бесконечного ряда
 §97.Соотношение между числом классов форм первого вида и числом классов форм второго вида для отрицательного детерминанта
 §98.Предельное значение левой части фундаментального уравнения в случае положительного детерминанта; выражение числа классов в виде предельного значения некоторого бесконечного ряда
 § 99.Соотношение между числом классов форм первого вида и числом классов форм второго вида для положительного детерминанта
 §100.Приведение определения числа классов к случаю, когда детерминант не делится ни на какой квадрат
 §101.Исследование сходимости и непрерывности подлежащих рассмотрению бесконечных рядов
 §102.Особое рассмотрение первого главного случая, в котором детерминант имеет вид 4n + 1
 §103.Суммирование бесконечного ряда в этом случае
 §104.Окончательный результат в этом случае
 §105.Суммирование бесконечного ряда в остальных случаях
 §106.Сводка формул, посредством которых определяется число классов
 §107.Рассмотрение формул, соответствующих положительным детерминантам; преобразование окончательного результата в случае D tozhd 1 (mod 4)
 §108.Преобразование в случае D tozhd 3 (mod 4)
 §109.Преобразование в случае D tozhd 2 (mod 8)
 §110.Преобразование в случае D tozhd 6 (mod 8)
ДОПОЛНЕНИЯ
I. О некоторых теоремах из гауссовой теории деления окружности
 §111.Лемма из теории рядов Фурье
 §112.Определение значения суммы phi(h, n) в случае, когда n = 0 (mod 4) и h = 1
 §113.Общие теоремы относительно сумм phi(h, n)
 §114.Определение phi(1, n)
 §115.Определение phi(h, n), когда n есть нечетное простое число; третье доказательство закона взаимности и теорем относительно характера чисел --1 и 2
 §116.Доказательство одной теоремы, использованной в § 103, 105
II. О предельном значении одного бесконечного ряда
 §117.Доказательство одной теоремы из теории гармонических рядов
 §118.Формулировка и истолкование более общего предложения
 §119.Его доказательство
III. Об одном геометрическом предложении
 §120.Соотношение между величиной площади плоской фигуры и числом точек числовой решетки, лежащих внутри этой фигуры
IV. О родах, на которые распадаются классы квадратичных форм с определенным детерминантом
 §121.Предложения относительно характера всех чисел, представимых посредством одной и той же квадратичной формы
 §122.Распределение квадратичных форм по родам
 §123.Доказательство того, что половине возможных полных характеров не соответствует действительно существующих форм
 §124.Вывод некоторого равенства между двумя произведениями из двух бесконечных рядов каждое
 §125.Доказательство того, что половине возможных полных характеров соответствуют действительно существующие роды и что каждый из этих родов содержит одинаковое число классов форм
 §126.Завершение этого доказательства
V. Теория степенных вычетов для составных модулей
 §127.Третье доказательство обобщенной теоремы Ферма (§ 19)
 §128.Доказательство существования первообразных корней для модуля, являющегося произвольной степенью нечетного простого числа
 §129.Теория индексов для таких модулей
 §130.Случай, когда модуль равен степени числа 2; индексы
 §131.Случай, когда модуль есть произвольное составное число; индексы
VI. Доказательство теоремы, что всякая бесконечная арифметическая прогрессия, первый член и разность которой суть целые числа, не имеющие общего множителя, содержит бесконечно много простых чисел
 §132.Доказательство одного общего равенства между некоторым бесконечным произведением и некоторым бесконечным рядом
 §133.Уточнение этого предложения; распределение рядов L по трем классам L1, L2, L3
 §134.Предельные значения этих рядов
 §135.Доказательство того, что предельные значения рядов L2 отличны от нуля; связь с теорией квадратичных форм
 §136.Доказательство того, что предельные значения рядов L3 отличны от нуля
 §137.Доказательство теоремы об арифметической прогрессии
VII. О некоторых предложениях из теории деления окружности
 §138.Доказательство одного свойства выражения phi(m)
 §139.Построение уравнения, корни которого являются первообразными корнями m-й степени из единицы; разложение левой части его на два множителя в случае, когда m есть нечетное число P, не делящееся ни на какой квадрат
 §140.Вычисление коэфициентов этих множителей
VIII. Об уравнении Пелля
 §141.Предложение о рациональных приближенных значениях для квадратного корня из положительного числа D, не являющегося квадратом
 §142.Доказательство предложения, что уравнение t2 -- Du2 = 1 всегда разрешимо в целых числах t, u, из которых последнее, u, отлично от нуля
IX. О сходимости и непрерывности некоторых бесконечных рядов
 §143.Метод частного суммирования
 §144.Свойства рядов Дирихле
X. О композиции бинарных квадратичных форм
 §145.Лемма относительно сравнений второй степени
 §146.Композиция двух согласных форм. Фундаментальная теорема
 §147.Композиция двух или большего числа согласных классов
 §148.Важнейшие частные случаи композиции
 §149.Периоды и группы начальных классов первого вида
 §150.Сравнение числа классов произвольного делителя с числом начальных классов первого вида
 §151.Результат этого сравнения
 §152.Композиция родов
 §153.Число двусторонних начальных классов первого вида
 §154.Четвертое доказательство закона взаимности
 §155.О числе действительно существующих родов
 §156.Получение всех решений уравнения ах2 + by2 + cz2 = 0 из одного заданного
 §157.Основная теорема о разрешимости этого уравнения
 §158.Каждый класс главного рода получается посредством сдваивания

 Об авторе

Петер Густав Лежен ДИРИХЛЕ (1805--1859)

Выдающийся немецкий математик. Родился в Дюрене. В 1822--1827 гг. был домашним учителем в Париже. Входил в кружок молодых ученых, которые группировались вокруг Ж.Фурье. С 1829 г. работал в Берлине. В 1831--1855 гг. был профессором Берлинского университета, а с 1855 г. (после смерти К.Гаусса) -- Геттингенского университета.

Основные научные работы Дирихле были выполнены в области теории чисел и математического анализа. Он доказал теорему о существовании бесконечно большого числа простых чисел во всякой арифметической прогрессии из целых чисел, первый член и разность которой взаимно просты. В области математического анализа Дирихле впервые точно сформулировал и исследовал понятие условной сходимости ряда, дал строгое доказательство возможности разложения в ряд Фурье функции, имеющей конечное число максимумов и минимумов (интеграл Дирихле). Также значительных результатов Дирихле добился в области механики и математической физики. Он получил широкую известность и как преподаватель -- лекции Дирихле имели огромное влияние на многих выдающихся математиков, в том числе Г.Римана, Ф.Эйзенштейна, Л.Кронекера, Р.Дедекинда.

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце