URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Бакушинский А.Б., Кокурин М.Ю. Итерационные методы решения нерегулярных уравнений
Id: 47513
 
155 руб.

Итерационные методы решения нерегулярных уравнений

URSS. 2006. 112 с. Мягкая обложка. ISBN 5-9710-0100-0.

 Аннотация

Математические модели, возникающие при решении разнообразных актуальных проблем естествознания и техники, часто включают алгебраические, дифференциальные, интегральные и другие более сложные типы уравнений. Нередко изучаемые процессы и явления моделируются системами таких уравнений в комбинации с различными начальными и граничными условиями. Исследование прикладных оптимизационных моделей во многих случаях также может быть сведено к решению соответствующих уравнений. В качестве типичных примеров указанно уравнения Эйлера для задач вариационного исчисления и краевые задачи принципа максимума Понтрягина, отвечающие задачам оптимального управления.


 Оглавление

Введение
1 Метод Ньютона--Канторовича. Условие регулярности
2 Метод Гаусса--Ньютона
3 Градиентный метод
4 Схема Тихонова
5 Схема Тихонова для линейных уравнений
6 Градиентный метод для линейных уравнений
7 Скорость сходимости методов решения линейных нерегулярных уравнений. Условия истокопредставимости
8 Метод Тихонова для уравнений с выпуклым функционалом невязки
9 Принцип итеративной регуляризации
10 Итеративная регуляризация метода Гаусса--Ньютона
11 Устойчивый градиентный метод для нерегулярных нелинейных уравнений
Заключение
Рекомендуемая литература

 Введение

Математические модели, возникающие при решении разнообразных актуальных проблем естествознания и техники, часто включают алгебраические, дифференциальные, интегральные и другие более сложные типы уравнений. Нередко изучаемые процессы и явления моделируются системами таких уравнений в комбинации с различными начальными и граничными условиями. Исследование прикладных оптимизационных моделей во многих случаях также может быть сведено к решению соответствующих уравнений. В качестве типичных примеров укажем уравнения Эйлера для задач вариационного исчисления и краевые задачи принципа максимума Понтрягина, отвечающие задачам оптимального управления. Все подобные уравнения, возникающие как в теоретических, так и в прикладных исследованиях, удобно объединить общим названием операторные уравнения. Указанные уравнения связывают искомые параметры изучаемых моделей с известными характеристиками моделируемых процессов и явлений. Эти характеристики, определяемые в результате домодельного исследования, играют роль входных данных задачи. Как искомые параметры, так и входные данные обычно являются элементами тех или иных метрических пространств, в частности гильбертовых или банаховых. Оператор модели становится при этом отображением, действующим из пространства, в котором ищется решение, в пространство, которому принадлежат входные данные. Для исследования получаемых операторных уравнений и конструирования различных приближенных методов их решения используется аппарат линейного и нелинейного функционального анализа.

В данном курсе нас будут интересовать итерационные методы решения операторных уравнений в гильбертовых пространствах. Предполагается, что читатель имеет первоначальное представление об этих методах. Так, например, метод Ньютона нахождения корня дифференцируемой функции одной переменной обычно обсуждается в курсе математического анализа. Этот итерационный процесс широко используется в приложениях. Метод Ньютона допускает обобщения на конечные системы нелинейных уравнений с конечным числом неизвестных, а также на операторные уравнения общего вида в бесконечномерных пространствах (метод Ньютона--Канторовича, метод Гаусса--Ньютона). Следует однако отметить, что непосредственные обобщения такого рода возможны только для так называемых регулярных операторных уравнений и систем уравнений. Абстрактное условие регулярности обобщает условие необращения в нуль производной функции в окрестности корня, используемое при доказательстве сходимости метода Ньютона. Если отказаться от этого условия, то уже классический метод Ньютона может оказаться нереализуемым. Отсутствие регулярности является принципиальным препятствием эффективной применимости не только метода Ньютона и его обобщений, но и вообще классических итерационных методов, например методов градиентного типа, хотя зачастую эти методы остаются формально реализуемыми и для нерегулярных задач. В то же время многие важные в теоретическом и прикладном отношении математические модели приводят к таким операторным уравнениям, анализ регулярности которых технически весьма затруднен либо однозначно свидетельствует об отсутствии у исследуемых уравнений свойства регулярности. Таковы, например, многие модели нелинейных обратных задач математической физики. Возникает естественный вопрос о возможности конструирования эффективных приближенных методов решения нелинейных операторных уравнений при отказе от требования регулярности. В последние годы авторами развивается весьма общий подход к построению и исследованию таких методов без привлечения свойства регулярности. Разрабатываемый подход тесно связан с современной теорией некорректных задач. Целью данного пособия является краткое изложение основ этого подхода. Пособие написано на базе лекций авторов, читаемых в Московском физико-техническом институте и Марийском государственном университете. Представленный материал сгруппирован по лекционному принципу, и для его понимания достаточно знакомства с основами функционального анализа. Для справок можно использовать, например, учебники [1--3]. В конце каждой лекции предлагается ряд задач, решение которых поможет читателю в самостоятельном освоении техники исследования рассматриваемых методов. Эти задачи могут также служить материалом для практических занятий и семинаров. Мы не предполагаем знакомства читателя с теорией классических итерационных методов для общих нелинейных операторных уравнений в бесконечномерных пространствах. Основные такие методы (метод Ньютона--Канторовича, метод Гаусса--Ньютона и градиентный метод) подробно проанализированы в первых лекциях. Последующие лекции постепенно подводят читателя к переднему краю проводимых в настоящее время исследований итерационных методов решения нерегулярных операторных уравнений.

Нумерация встречающихся в тексте формул двойная, при этом первое число означает номер лекции, второе -- номер формулы внутри лекции. Ссылки на литературу даются в квадратных скобках, где указывается порядковый номер публикации в списке литературы. В лекциях используется стандартная система обозначений; через R обозначается множество вещественных чисел, N есть множество натуральных чисел. Специальные обозначения напоминаются по мере необходимости в тексте.

Авторы надеются, что предлагаемое пособие окажется полезным для студентов и аспирантов, изучающих и применяющих итерационные методы решения нелинейных уравнений, а также для широкого круга исследователей и инженеров, использующих в своей деятельности численные методы нелинейного анализа.

Авторы признательны Российскому фонду фундаментальных исследований за частичную финансовую поддержку работы в рамках проекта N 03-01-00352.


 Об авторах

Бакушинский А.Б.
Доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Института системного анализа РАН (г. Москва). Известный ученый в области численных методов нелинейного анализа и их приложений, автор монографий по методам решения некорректных задач.
Кокурин М.Ю.
Доктор физико-математических наук, профессор Марийского государственного университета (г. Йошкар-Ола). Специалист по разработке и исследованию численных методов решения некорректных обратных задач и нерегулярных операторных уравнений, автор монографий.
 
© URSS 2016.

Информация о Продавце