Гливенко В.И. Интеграл Стилтьеса

Оглавление

Предисловие

Эта книга предназначается для аспирантов и студентов-математиков старших курсов. Но я стремился сделать ее доступной и полезной также и научным работникам по механике и физике.

Математик найдет в ней прежде всего теорию интегралов типа интеграла Стильтьеса как в их простейшей концепции интегралов функций одного действительного переменного, так и в современных обобщениях этой концепции. Не считая возможным загромождать книгу изложением специальных определений интеграла, которые встречаются в современной литературе, как, например, интеграл Хеллингера в теории квадратичных форм или интеграл Риса в теории субгармонических функций, – я стремился, напротив, возможно выпуклее выяснить те основные принципы, на которых базируются такого рода определения, и выбрал только интегралы, определенные с наиболее широкой точки зрения.

В особое положение я поставил самый интеграл Стильтьеса, уделив ему и его применениям особенно много внимания. Во-первых, потому, что именно детальное изучение самого интеграла Стильтьеса является наилучшим введением к глубокому пониманию общих концепций. Во-вторых, потому, что применения интеграла Стильтьеса в настоящее время уже настолько проникли в некоторые области математики, что достаточно серьезное изучение этих областей без интеграла Стильтьеса немыслимо. Подобным применениям я посвятил отдельные главы; читатель, который не интересуется соответствующими вопросами, может опустить эти главы без ущерба для понимания всего остального.

За исключением главы о применениях интеграла Стильтьеса в теории функций и нескольких мест в главах VI и VII, в которых я пользуюсь этими применениями, я ввел необходимые сведения из теории множеств и теории функций действительного переменного в самый текст книги. Это даст возможность механикам и физикам без труда ознакомиться и с современными общими концепциями интеграла, что может представлять интерес, поскольку здесь современный анализ подходит в запросам естествознания в известном смысле даже ближе, чем классический анализ.

Главы I и II будут полезны для всех, кто интересуется вопросами квантовой физики. Главы I, II, V и VIII – для тех, кто имеет дело с теорией потенциала.

При составлении этой книги кроме источников, указанных в подстрочных примечаниях к тексту, я пользовался книгами:

С. J.de la Vail ее Poussin, Integrates de Lebesgue, Fonctions d'ensemble, Classes de Baire.

Bochner, Vorlesungen uber Fouriersche Integrale.

Я считаю приятным долгом выразить благодарность А.И.Плеснеру за несколько ценных советов при окончательном редактировании этой книги и А.Н.Колмогорову за предоставление неопубликованной рукописи по теории линейных операторов.

Клязьма, лето 1935.

Об авторе

Видный отечественный математик. В 1925 г. окончил Московский университет. Ученик академика Н.Н.Лузина. С 1928 г. – профессор Московского педагогического института им. К.Либкнехта.

Основные направления работ В.И.Гливенко – основания математики и математическая логика, теория функций действительного переменного, теория вероятностей (теорема Гливенко–Кантелли). Он одним из первых исследовал вопросы обоснования математики и показал, что если в классическом исчислении доказуема некоторая формула, то соответствующая формула доказуема и в конструктивном исчислении. Одновременно с А.Н.Колмогоровым и А.Гейтингом им была разработана формальная система конструктивной логики. В теории функций и теории множеств В.И.Гливенко дал наиболее общее определение предела и изучил строение неявных функций, определенных с помощью непрерывных функций. В теории вероятностей он разрабатывал аксиоматизацию понятия события без применения той или иной интерпретации, а в математической статистике доказал теорему о равномерной сходимости эмпирического закона распределения к заданному теоретическому.