URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Петрова Л.И. Кососимметричные дифференциальные формы: Законы сохранения. Основы теории поля
Id: 40800
 
299 руб.

Кососимметричные дифференциальные формы: Законы сохранения. Основы теории поля

URSS. 2006. 160 с. Мягкая обложка. ISBN 5-9710-0090-X. Уценка. Состояние: 5-. Блок текста: 5. Обложка: 4+.

 Аннотация

В данной работе показана уникальная роль кососимметричных дифференциальных форм в математической физике. Их значение связано с тем, что они отражают свойства законов сохранения. Показано, что кроме внешних форм, обладающих инвариантными свойствами и соответствующих законам сохранения для физических полей, существуют кососимметричные формы, которые обладают эволюционными свойствами и соответствуют законам сохранения для материальных сред. Эволюционные формы могут генерировать замкнутые внешние формы. Это описывает эволюционные процессы в материальных средах, которые приводят к возникновению физических полей.

Такие возможности внешних и эволюционных дифференциальных форм позволяют обосновать принципы, лежащие в основе теорий поля, и найти подход к построению общей теории поля.

Предназначено для научных сотрудников, преподавателей и студентов --- математиков и физиков-теоретиков.


 Оглавление

Введение
1 Внешние кососимметричные дифференциальные формы
 1.1.Свойства и особенности внешних дифференциальных форм
  1.1.1.Определение внешних дифференциальных форм
  1.1.2.Замкнутые внешние дифференциальные формы
  1.1.3.Дифференциально-геометрическая структура
 1.2.Особенности математического аппарата внешних дифференциальных форм
  1.2.1.Тождественные соотношения внешних дифференциальных форм
  1.2.2.Невырожденные преобразования
 1.3.Прикладные и функциональные возможности замкнутых внешних дифференциальных форм
  1.3.1.Связь замкнутых внешних форм с теориями поля
  1.3.2.Связь внешних дифференциальных форм с различными разделами математики
 1.4.Метод Картана получения замкнутых внешних форм
2 Топологические свойства кососимметричных дифференциальных форм
 2.1.Некоторые свойства многообразий
 2.2.Различие между внешними и эволюционными формами
3 Особенности математического аппарата эволюционных форм
 3.1.Нетождественные соотношения эволюционных дифференциальных форм
 3.2.Физический смысл эволюционного соотношения
 3.3.Эволюционные свойства нетождественного соотношения
  3.3.1.Как работать с нетождественным соотношением?
  3.3.2.Топологические свойства коммутаторов эволюционных дифференциальных форм
  3.3.3.Самоизменение эволюционного нетождественного соотношения
 3.4.Получение тождественного соотношения из нетождественного
  3.4.1.Вырожденные преобразования. Реализация псевдоструктур. Получение замкнутых внешних дифференциальных форм
  3.4.2.Переход от нетождественного соотношения к тождественному
 3.5.Интегрирование нетождественного эволюционного соотношения
 3.6.Свойства реализованных псевдоструктур и замкнутых внешних форм. Формирование полей и многообразий
 3.7.Двойственность и единство замкнутой неточной внешней формы и псевдоструктуры
  3.7.1.Характеристики Bi-структуры
 3.8.Переход от несопряженных операторов к сопряженным
4 Роль замкнутых внешних кососимметричных дифференциальных форм в теориях поля
 4.1.Законы сохранения
  4.1.1.Смысл понятия "законы сохранения"
  4.1.2.Точные законы сохранения. (Законы сохранения для физических полей)
 4.2.Связь теорий поля с теорией замкнутых внешних форм
 4.3.Уравнение поля
5 Связь эволюционных форм с уравнениями законов сохранения для материальных сред
 5.1.Балансные законы сохранения
  5.1.1.Анализ уравнений балансных законов сохранения
 5.2.Нетождественность эволюционного соотношения
 5.3.Некоммутативность балансных законов сохранения (нетождественность эволюционного соотношения)
6 Эволюционные формы: Эволюционные процессы в материальных средах и возникновение физических структур. (Процесс получения замкнутых внешних форм, соответствующих теориям поля)
 6.1.Неравновесное состояние материальной системы (свойства нетождественного эволюционного соотношения)
  6.1.1.Самоизменение неравновесного состояния материальной системы. (Самоизменение эволюционного соотношения)
 6.2.Переход материальной системы в локально-равновесные состояния. Возникновение физических структур
  6.2.1.Возникновение физических структур. (Вырожденное преобразование. Реализация замкнутых внешних и дуальных форм)
  6.2.2.Переход материальной системы в локально-равновесные состояния (получение тождественного соотношения из нетождественного)
7 Связь возникших физических структур с материальными системами. Наблюдаемые образования материальной системы
 7.1.Взаимосвязь между изменением состояния материальной системы и возникновением физической структуры. Наблюдаемое образование. (Тождественное соотношение: связь дифференциала состояния с замкнутой неточной внешней формой)
 7.2.Потенциальные силы. (Двойственность замкнутых внешних форм как сохраняющихся величин и как потенциальных сил)
8 Свойства физических структур и образований. Формирование физических полей и многообразий
 8.1.Свойства физических структур и образований
  8.1.1.Характеристики физических структур. (Характеристики дифференциальных форм)
  8.1.2.Характеристики возникшего образования: интенсивность, завихренность, абсолютная и относительная скорости распространения образования. (Значение коммутатора эволюционной формы, свойства материальной системы)
 8.2.Формирование физических полей и многообразий
  8.2.1.Формирование псевдометрического и метрического пространства. (Интегрирование нетождественного эволюционного соотношения)
  8.2.2.Формирование физических полей. Классификация физических структур. (Параметры замкнутых внешних и дуальных форм)
  8.2.3.О взаимодействиях и о классификации физических полей
9 Внешние и эволюционные формы: Основы общей теории поля
 9.1.Замкнутые неточные внешние формы -- базис теорий поля
 9.2.Эволюционные формы: Основы общей теории поля
 9.3.Симметрии и законы сохранения
  9.3.1.Внешние формы и законы сохранения для физических полей
  9.3.2.Эволюционные формы и законы сохранения для материальных систем
  9.3.3.Симметрии
 9.4.Причинность
10 Внешние и эволюционные формы: Приложения
 10.1.Качественное исследование Гамильтоновых систем
  10.1.1.Связь Гамильтоновых систем с дифференциальными уравнениями в частных производных
  10.1.2.Свойства и особенности характеристических соотношений
  10.1.3.Анализ Гамильтоновых систем
 10.2.Анализ начал термодинамики
 10.3.Развитие газодинамической неустойчивости. Механизм возникновения турбулентности
  10.3.1.Разрывы нормальных производных на характеристиках и на траектории. (Модифицированный метод характеристик для расчета неизоэнтропического течения газа)
 10.4.Электромагнитное поле
 10.5.Формирование псевдометрических и метрических пространств
Заключение
Библиография

 Введение

Кососимметричные дифференциальные формы обладают возможностями, которых нет ни в одном математическом формализме. Они могут описывать сопряженность различных операторов и объектов (производных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений и т.д.). Это обусловлено тем, что они, в отличие от дифференциальных уравнений, имеют дело с дифференциалами и дифференциальными выражениями (а не с производными).

В настоящее время развита теория кососимметричных дифференциальных форм, которые названы внешними дифференциальными формами (см. библиографию работ [1--5]).

Понятие "внешние дифференциальные формы" было введено Э.Картаном [1]. Э.Картан, исследуя условия интегрируемости дифференциальных уравнений и систем уравнений в полных дифференциалах, открыл инвариантные свойства подынтегральных выражений в кратных интегралах, и раскрыл их самостоятельное значение. Он назвал их внешними дифференциальными формами, так как они подчиняются правилам внешнего умножения Грассмана -- условиям кососимметричности. (Существование интегральных инвариантов было установлено А.Пуанкаре при исследовании общих уравнений динамики).

Внешние дифференциальные формы -- это кососимметричные дифференциальные формы, которые определены на дифференцируемых многообразиях, т.е. на многообразиях с замкнутыми метрическими формами. Замкнутые внешние формы являются сопряженными объектами и, соответственно, инвариантами, и поэтому теория внешних форм лежит в основе существующих инвариантных теорий поля.

Замкнутые внешние формы позволяют понять внутренние связи существующих теорий поля, их общие свойства, их единство.

Однако при этом возникает вопрос, как получаются замкнутые внешние формы, которые соответствуют теориям поля.

В данной работе показано, что из дифференциальных уравнений математической физики, описывающих физические процессы в материальных средах, получаются кососимметричные дифференциальные формы, которые, в отличие от внешних форм, определены на деформирующихся многообразиях, т.е. на многообразиях с незамкнутыми метрическими формами. Такие кососимметричные дифференциальные формы, которые были названы автором эволюционными (так как они обладают эволюционными свойствами), не могут быть инвариантными. Но они обладают уникальным свойством: они могут генерировать замкнутые внешние формы, которые являются инвариантами. Это раскрывает связь между математической физикой, основанной на дифференциальных уравнениях, и инвариантными теориями поля. Такая связь позволяет понять проблемы общей теории поля.

Эволюционные формы имеют принципиальное значение для математической физики и теорий, описывающих физические поля. Процесс получения замкнутых внешних форм из эволюционных форм описывает эволюционные процессы, которые происходят в материальных средах и приводят к возникновению физических структур, образующих физические поля. Это раскрывает механизм генерации физических полей материальными средами. Кроме того, это позволяет понять механизм развития неустойчивости в материальных средах и механизм такие процессов, как турбулентность, возникновение волн, вихрей, рождение безмассовых частиц и т.д.

Теория внешних и эволюционных дифференциальных форм позволяет обосновать принципы, лежащие в основе теорий поля и найти подход к построению общей теории поля.

Внешние и эволюционных кососимметричные дифференциальные формы описывают дискретные переходы, квантовые скачки, генерацию различных структур. Переход от эволюционных форм к замкнутым внешним формам описывает переход от несопряженных операторов к сопряженным.

Значение кососимметричных дифференциальные форм для математической физики и теорий поля связано с тем, что их свойства соответствуют законам сохранения. При этом замкнутые внешние формы, как известно, соответствуют законам сохранения для физических полей -- точным законам сохранения, а эволюционные формы, как будет показано в данной работе, соответствуют законам сохранения для материальных сред -- балансным законам сохранения энергии, количества движения, момента количества движения и массы. В данной работе будет показано, что законы сохранения для материальных сред играют регулирующую роль в эволюционных процессах, приводящих к формированию физических полей.

Существование кососимметричных дифференциальных форм, обладающих эволюционными свойствами, было установлено автором при исследовании проблем устойчивости и генерации различных физических структур. Работа над этими проблемами показала, что существует уникальный математический аппарат кососимметричных дифференциальных форм, который позволяет раскрыть механизм эволюционных процессов.

Некоторые исторические данные.

В XVII веке Лейбниц ввел понятие дифференциала и разработал (совместно с Ньютоном) дифференциальное и интегральное исчисление. Это способствовало бурному развитию математики и послужило началом развития математической физики. Дифференциальные уравнения позволили описать многие физические процессы и явления и решить многие физические проблемы. Однако, с начала XX века тесная связь теории дифференциального и интегрального исчисления и дифференциальных уравнений с физикой стала ослабевать. В математической физике столкнулись с проблемой инвариантного (независимого от выбора систем координат) описания физических явлений. Это привело к тому, что в физике стали развиваться формализмы, основанные на тензорных, групповых, вариационных методах, на теориях симметрий, преобразований и т.д., в основе которых заложено требование инвариантности. Это особенно проявилось в разделах физики, которые связаны с теориями поля. Интерес к дифференциальным и интегральным методам исследования в этих областях значительно ослаб.

Появление внешних дифференциальных форм показало, что дифференциальные уравнения позволяют получать инвариантные методы исследования физических явлений. Оказалось, что внешние дифференциальные формы обладают инвариантными, групповыми, тензорными, структурными и другими свойствами, имеющими большое функциональное и прикладное значение.

Внешние дифференциальные формы нашли широкое применение в дифференциальной геометрии и в алгебраической топологии.

К сожалению, в физике теория внешних дифференциальных форм оказалась невостребованной, несмотря на то, что рядом авторов, например, таких как Дж.Уилер, Б.Шутц, С.Новиков и др., было показано, что внешние дифференциальные формы позволяют проводить исследования в разных разделах физики. Роль внешних дифференциальных форм в физике связана с тем, что замкнутые внешние дифференциальные формы отражают свойства законов сохранения и потенциалов. Свойства замкнутых внешних дифференциальных форм явно или неявно проявляются практические во всех формализмах теорий поля, таких как гамильтоновый формализм, тензорные подходы, групповые методы, уравнения квантовой механики, теория Янга--Миллса и т.д. Внешние дифференциальные формы объединяют алгебраические и геометрические подходы в физике. Операторы теории внешних дифференциальных форм лежат в основе дифференциальных и интегральных операторов теории поля. Внешние дифференциальные формы позволяют увидеть общее, что существует в разных разделах физики.

И тем не менее в настоящее время нет формализма в теории поля, основанного на свойствах внешних дифференциальных форм. Это можно объяснить несколькими причинами. Во-первых, к тому времени, когда была создана теория внешних дифференциальных форм, практически во всех разделах физики уже были разработаны свои математические инвариантные методы исследования. Эти методы изучаются во всех обязательных курсах по физике, в то время как теория внешних дифференциальных форм изучается практически только в специальных курсах по дифференциальной геометрии и топологии. И, во-вторых, невостребованность теории внешних дифференциальных форм в физике, можно объяснить еще и тем, что несмотря на универсальные возможности, она, казалось бы, не позволяет получить принципиально новые для каждого данного раздела физики результаты. Поэтому не было большого стимула создавать новый формализм, основанный на свойствах внешних дифференциальных форм.

Но оказалось, что совместно с новыми, эволюционными, дифференциальными формами внешние дифференциальные формы позволяют получить принципиально новые физические результаты, которые невозможно получить в рамках ни одного из существующих формализмов.

В первых трех главах данной работы описываются свойства внешних и эволюционных форм и особенности их математического аппарата.

В четвертой главе показана роль замкнутых внешних форм в теориях поля. Так как эта роль связана с законами сохранения, то обсуждаются вопросы, связанные с законами сохранения, с их понятиями в физике, механике, в термодинамике. В данной главе показано, что свойства замкнутых внешних форм лежат в основе всех существующих инвариантных теориях поля и являются базисом единой теории поля.

В пятой главе обсуждается связь эволюционных форм с уравнениями законов сохранения для материальных сред.

В главах 6--8 показано, что эволюционные и внешние формы позволяют описать эволюционные процессы в материальных средах, которые сопровождаются возникновением физических структур, образующих физические поля. Такие процессы связаны с неравновесностью материальных сред и появлением наблюдаемых образований, таких как волны, вихри, турбулентные пульсации и т.д. Это в частности раскрывает и механизм возникновения турбулентности. Описываются свойства физических структур, механизм формирования физических полей и многообразий.

В девятой главе на основе полученных результатов анализируются основы общей теории поля. Еще раз акцентируется внимание на законах сохранения. Обосновывается причинность физических процессов и явлений.

Результаты анализа конкретных материальных сред и физических полей с помощью теории внешних и эволюционных форм приведены в десятой главе. Анализируется гамильтоновый формализм, начала термодинамики, механизм развития газодинамической неустойчивости и возникновения турбулентности, уравнения электромагнитного поля, и рассматривается механизм формирования псевдометрических и метрических пространств.


 Об авторе

Людмила Ивановна Петрова

Окончила механико-математический факультет Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова. Кандидат физико-математических наук. Работает старшим научным сотрудником на кафедре математической физики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ. Принимала участие в работе многих конференций: по физике (механика сплошных сред, гравитация, теория поля), математике (уравнения математической физики, дифференциальная геометрия, симметрия). Занималась проблемами турбулентности, устойчивости, формирования физических полей и многообразий.

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце