URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Депман И.Я. История арифметики
Id: 39563
 
249 руб.

История арифметики. Изд.4, стереот.

URSS. 2007. 416 с. Мягкая обложка. ISBN 978-5-484-00844-5. Букинист. Состояние: 4+. .

 Аннотация

Настоящая книга написана известным историком математики и педагогом И.Я.Депманом (1885--1970) и является собранием очерков по истории арифметики. Автор стремился осветить исторически все основные разделы арифметики, составляющие содержание школьного курса. Доступность изложения материала и интересы основной группы предполагаемых читателей книги --- учителей математики --- стояли в центре внимания автора. И.Я.Депман сознательно ограничивается изложением тех исторических сведений, которые могут быть использованы учителем для того, чтобы сделать уроки арифметики более интересными и содержательными.

Книга должна помочь учителю улучшить преподавание арифметики. Она будет интересна и студентам педагогических вузов, и широкому кругу любителей математики.


 Содержание

Введение
I. Натуральное число
 1.О происхождении математики
 2.Число и множество
 3.Натуральные числа
 4.Устная нумерация
 5.Пальцевой счет
 6.Системы счисления, имеющие основанием число, не равное десяти
 7.Задача Баше-Менделеева
 8.Происхождение некоторых названий чисел
 9.Большие числа и их наименования
 10.Письменная нумерация
 11.Вавилонские цифры
 12.Египетские цифры
 13.Греческая нумерация
 14.Славянская нумерация
 15.Римская нумерация
 16.Узловая нумерация
 17.Китайская нумерация
 18.Нумерация народа майя
 19.Индийская нумерация
 20.Арабская математика и нумерация
 21.Математика у среднеазиатских народов
 22.Абак
 23.Счеты
 24."Счет на линиях"
 25.Происхождение некоторых арифметических терминов
 26.Индийские цифры у западноевропейских народов
 27.Индийские цифры в России
 28.Форма наших цифр
 29.Абстрактные числа. Единица как число
 30.Нуль как число
 31.Эволюция наших цифр
 32.Аксиоматическое построение арифметики
II. Некоторые свойства натуральных чисел
 1.Элементарная и высшая арифметика
 2.Числа количественные и порядковые, четные и нечетные
 3.Простые и составные числа
 4.Определение простоты чисел
 5.Таблицы простых чисел
 6.Закон распределения простых чисел
 7.Делимость составных чисел
 8.Совершенные, недостаточные и избыточные числа
 9.Многоугольные и фигурные числа
 10.Суммирование чисел натурального ряда и их степеней
  а)Сумма n первых натуральных чисел
  б)Сумма n первых четных чисел
  в)Сумма n первых нечетных чисел
  г)Сумма квадратов первых n чисел
  д)Сумма кубов первых n чисел
 11.Проблемы Варинга и Гольдбаха
 12.Некоторые соотношения между отдельными числами натурального ряда
III. Действия над целыми числами
 1.Устные вычисления
 2.Арифметические таблицы
 3.Таблицы умножения
 4.Расширенная таблица умножения
 5.Расширенные таблицы умножения в России
 6.Арифметические действия
 7.Обоснование арифметических действий в школьных учебниках
 8.Законы арифметических действий
 9.Символы в математике
 10.Арифметические символы
 11.К истории отдельных арифметических действий
IV. Дробное число
 1.Происхождение дробей и их виды
 2.Единичные дроби или доли
 3.Систематические дроби
 4.Обыкновенные дроби общего вида
 5.Десятичные дроби
 6.Десятичные дроби в Европе
 7.Теория десятичных дробей
 8.К теории обыкновенных дробей
 9.Цепные дроби
 10.Процент и промиль
 11.Обоснование теории дробных чисел
V. Именованные числа
 1.Системы мер
 2.Старые русские меры
 3.Метрическая система мер
 4.Меры времени и календарь
 5.Календарная терминология
 6.Календарь французской революции
 7.Всемирный календарь
VI. Практические "правила" в учебниках арифметики
 1.Пропорции
 2.Тройное правило
 3.Задачи на смешение
 4.Задачи на пропорциональное деление
 5.Метод ложного положения
 6."Девичье" или "слепое" правило
 7.Политическая арифметика
VII. Арифметические забавы и занимательные задачи в учебниках арифметики
 1.Арифметические забавы
 2.Занимательные задачи
VIII. Биографические сведения о некоторых математиках, упомянутых в книге
 Л.Ф.Магницкий
 Л.Эйлер
 П.Л.Чебышев
 Пьер Ферма
IX. Деятели арифметического образования в России
 С.К.Котельников
 С.Я.Румовский
 Н.Г.Курганов
 Я.П.Козельский
 Д.С.Аничков
 Е.Д.Войтяховский
 М.Е.Головин
 Т.Ф.Осиповский
 С.Е.Гурьев
 В.С.Кряжев
 Д.М.Перевощиков
 Н.И.Лобачевский
 П.С.Гурьев
 Ф.И.Буссе
 В.Я.Буняковский
 А.Львов
 Л.Ф.Малинин
 Ф.И.Симашко
 В.А.Евтушевский
 B.А.Латышев
 А.И.Гольденберг
 C.И.Шохор-Троцкий
 Н.И.Билибин
 Теоретическая арифметика в русских учебниках
 А.К.Жбиковский
 А.П.Киселев
Хронологический указатель
Примечания

 Введение

Настоящая книга является собранием очерков по истории арифметики. Автор стремился лишь осветить исторически все основные разделы арифметики, составляющие содержание школьного курса. Историю арифметики -- науки можно найти в книге Иоганнеса Тропфке (1866--1939) "История элементарной математики" (т.I -- "Арифметика", изд.3, Берлин и Лейпциг, 1930); в ней 430 страниц текста и 1343 указания на источники, занимающие значительную часть книги. Точные хронологические и библиографические сведения о возникновении и эволюции всех идей арифметики как науки дает капитальный труд Леонарда Диксона (1874--1954) "История теории чисел" (три тома мельчайшего шрифта, 1700 страниц, Нью-Йорк, 1934) -- результат многолетней работы автора с целым штатом своих помощников.

При составлении настоящей книги, предлагаемой советскому учителю, автор не мог подражать этим капитальным трудам ни по количеству охватываемых вопросов, ни по стилю изложения. Доступность изложения материала и специфические интересы основной группы предполагаемых читателей книги -- учителей математики стояли в центре внимания автора.

Много лет преподавал автор историю математики будущим учителям (в ленинградских педагогических институтах) и учителям-практикам (в институте усовершенствования учителей), но вызвать настоящий интерес к предмету ему удалось лишь после того, как лекции стали насыщаться примерами, которые учитель мог бы использовать непосредственно в своей повседневной работе. Учитывая этот опыт, автор дает в предлагаемой книге много арифметических сведений (формул, правил и их выводов) для практического использования учителем в классе или во внеклассной работе, чем его изложение прежде всего отличается от названных выше трудов, характеристика которых будет приведена в книге.

Итак, автор сознательно ограничивается изложением тех исторических сведений, которые могут быть использованы учителем для того, чтобы сделать уроки арифметики более интересными и содержательными. Стремление автора совпадает с мыслью современного поэта:

Нет, я не забываю день вчерашний, Живу, однако, не вчерашним днем.

Знание вчерашнего должно служить для улучшения работы сегодняшнего дня.

Усвоение арифметики учащимися в школе многократно признавалось далеким от желаемого. Из всех предметов школьного курса математики арифметика, по общему признанию учителей и экзаменаторов при приеме в высшие учебные заведения, часто усвоена учащимися слабее остальных предметов этого курса. Недостаточное усвоение арифметики сказывается в упражнениях из других разделов математики, в разных расчетах, сопровождающих изучение других предметов, а неумение быстро и рационально выполнять арифметические расчеты и решать практические задачи дает себя знать при работе окончивших школу на производстве.

Хорошая постановка преподавания арифметики в школе имеет исключительно важное значение.

Учащийся занимается арифметикой в течение первых шести лет своей школьной жизни. Арифметика есть первый математический предмет, изучаемый школьником. На уроках арифметики у ребенка вырабатывается определенное отношение к математике не только на ближайшие годы учения, но иногда и на всю последующую жизнь.

Интерес человека к математике закладывается прежде всего на уроках арифметики, так как впечатления от первых уроков математики в школе являются, как все первичные впечатления в любой сфере восприятий, самыми устойчивыми в памяти и сознании человека. Поэтому уроки арифметики в школе в V--VI классах должны поручаться самым опытным учителям, любящим арифметику и глубоко понимающим ее воспитательное значение; такое же место должна занимать арифметика в работе учителей I--IV классов. Ошибочным является поведение тех руководителей школ, которые обучение арифметике в V--VI классах поручают учителям, имеющим недостаточно часов в старших классах или начинающим. Директор и заведующий учебной частью должны прежде всего определить, кому из учителей можно поручить преподавание арифметики, и только после этого дополнять их нагрузку уроками в старших классах.

К сожалению, в школах часто имеет место недооценка арифметики как предмета. Разве не об этом говорит случай, недавно имевший место. Пишущему эти строки нужно было встретиться с учителем X. в одной из ленинградских школ. Директор школы заявил, что такого учителя математики у него нет. Когда же X. зашел в учительскую, то на недоуменный взгляд ищущего встречи с X. последовало замечание директора: "Вы так бы и сказали, что вам нужен учитель арифметики, а не учитель математики".

В этой недооценке арифметики повинны и сами учителя математики, которые часто свысока смотрят на арифметику, как на дисциплину, не заслуживающую называться математической наукой. Такой взгляд культивировался школой и, в частности, положением арифметики в учебных планах педагогических институтов, в которых до недавнего времени арифметике не отводилось должного места. Между тем на уроках арифметики учитель рассматривает вопросы, которыми занимается математическая наука сегодняшнего дня. Выдающиеся работы П.Л.Чебышева и академика И.М.Виноградова касаются вопросов о простых числах. Хотя эти работы выполнены самыми высокими средствами современной математики, однако смысл их понятен учащимся. Популярное ознакомление с этими работами и их творцами является одним из действенных средств воспитания интереса к математике у учащихся.

Во втором разделе книги говорится о некоторых свойствах натуральных чисел и соотношениях между ними. Открытие этих свойств и соотношений принадлежит известным ученым прошлого и современности. Во многих случаях имеется возможность доступно изложить эти вопросы, и практика показывает повышенный интерес учащихся к ним.

По мнению автора книги, эти сведения кратко могут включаться в урок, а в более широком плане служить материалом для работы кружков. Трудность, часто только кажущаяся, некоторых из этих вопросов не должна пугать ни учителя, ни ученика. Автор писал свою книгу "учитися хотящим" -- как говорит заглавие старой русской книги. В каждом классе имеются ученики, увлекающиеся математикой. Для них будут интересными именно самые трудные вопросы из истории арифметики.

В старших классах во многие виды внеклассной работы можно включать разделы истории арифметики. Приводимые в книге факты и примеры, изложенные на исторической канве развития арифметики, могут служить для этой цели.

Одной из причин слабого знания арифметики оканчивающими среднюю школу является то обстоятельство, что, погружаясь в старших классах в изучение алгебры, геометрии и тригонометрии, учащиеся забывают арифметику, чему способствуют сами учителя. Учителю математики не следует забывать мудрую восточную пословицу: "Знания, не пополняемые ежедневно, убывают с каждым днем".

Это и происходит в старших классах школы со знаниями арифметики.

Известный профессор Московского университета и автор учебников математики для средней школы, Август Юльевич Давидов (1823--1885 гг.), среди многочисленных своих обязанностей считал самой ответственной и важной просмотр работ по математике оканчивающих гимназию. Сложив в преклонном возрасте все служебные и общественные обязанности, он до последних дней своей жизни наблюдал за преподаванием математики в средней школе. Его особенно интересовало качество ответов по арифметике.

Просматривая экзаменационные работы на аттестат зрелости в 1874 г., он отмечал, что ответы по арифметике слабее, чем ответы по другим отделам математики (факт, констатируемый и теперь ежегодно), хотя предлагавшиеся арифметические задачи были несложные и решение их основывалось на самых элементарных арифметических соображениях.

В своем отчете Давидов объяснял это тем, что курс арифметики кончался в то время в III классе гимназии, прочие же отделы математики продолжались до окончания гимназии. "Однако, -- указывал Давидов, -- для большинства учащихся геометрия, алгебра и тригонометрия имеют только формальную пользу; по окончании гимназии сведения, приобретенные учеником в этих отделах, по недостаточности упражнений и приложений скоро утрачиваются, между тем как в арифметических знаниях каждый из них будет нуждаться в продолжение всей жизни, и потому именно желательно, чтобы ученики вынесли из учебного заведения вполне твердое и прочное усвоение арифметических приемов".

Министерство народного просвещения признало приведенные соображения Давидова весьма важными и передало их на обсуждение ученого комитета министерства, в котором, правда, уже не состоял П.Л.Чебышев, вышедший из состава комитета в 1873 г., но где в отношении к преподаванию математики продолжал господствовать его дух. Комитет пришел к заключению о необходимости принятия срочных мер, которые улучшили бы преподавание арифметики в гимназиях. Вероятно, это было одной из причин установления повторения арифметики в выпускных классах тогдашних средних школ. О необходимости принятия такой меры неоднократно высказывались учителя и в наши дни.

Несколько слов о том, как целесообразно использовать эту книгу. Она адресована в первую очередь учителю арифметики и, как сказано выше, стремится дать такой материал, который может быть использован учителем на уроке и в кружке. Книга избегает доказательств, которые требуют знаний, выходящих за границы школьной программы первых семи классов. Поэтому во втором разделе (в основном тексте книги) ряд предложений не имеет таких доказательств, которые требуют сведений из курса алгебры старших классов. Некоторые доказательства или указания приводятся в примечаниях, помещенных в конце книги. Интересные соотношения между числами, которые ученик на примерах может проверить, хотя он и не в состоянии еще их строго доказать при помощи имеющихся у него теоретических сведений, полезны сами по себе, возбуждая интерес и стремление учащихся искать доказательств в старших классах и, таким образом, возвращаться к арифметике.

Современный французский педагог, Валусинский ("Бюллетень ассоциации преподавателей математики Франции", 1956, N175) резко возражает против задач, начинающихся словами "Доказать, что...". Предварительное, на примерах, в историческом рассказе ознакомление учащихся с подлежащими доказательству равенствами дает возможность превратить изучение их в те "естественные, не надуманные, упражнения", которых требовал при преподавании математики философ Монтень.

Не следует смущаться, что таких упражнений дано в книге много. Книга должна служить читателям, требования и потребности которых могут быть разного уровня. Естественно вспомнить при этом слова Гете:

Кто многое с собой несет,

Тот многим что-нибудь приносит.

Каждый читатель из любой книги возьмет столько, сколько он в состоянии взять. Для книги с "расширенным адресом", рассчитанной на многочисленный круг читателей, с различной подготовкой, упрек "слишком много фактов!" лучше упрека "слишком мало фактов!"

Помещение в примечаниях, а отчасти и в тексте книги значительного числа фактических данных, изложение которых представляет иногда отклонение от основного хода рассуждения, имеет существенное значение.

Каждый лектор, а читающий курс истории математики в особенности, часто начинает лекцию словами: "Как известно..." и т.д. Из аудитории, с которой у лектора установились хорошие отношения, весьма часто на это следует отклик: "А нам это не известно". Лектор обычно в этих случаях делает соответствующий экскурс в сторону от основной темы лекции.

Допущенные в книге экскурсы в сторону от основной нити рассказа имеют целью освободить автора от слов "как известно". Вполне вероятно, что для некоторой части читателей приводимые в названных экскурсах сведения покажутся скучными, как уже известные, но для другой части читателей они могут оказаться необходимыми для понимания общей идеи излагаемого.

Желание удовлетворить разнохарактерному кругу читателей книги объясняет отсутствие в ряде вопросов строгих кратких доказательств и уделение внимания занимательным соотношениям и фактам. Современный математик Хассе пишет в предисловии к своей популярной книге: "Математика имеет свои "последние квартеты Бетховена", которые существуют только для посвященных, но в ней существуют и свои "шубертовы песенки" ("Schubert-Lieder"), доступные непосредственно всем". Подобрать некоторое количество последних, сообразуясь с размерами книги, стремился автор, помня слова составителя первой печатной книги по занимательной математике Алберти (XV в.), заявившего, что он "больше старался помочь многим, чем угодить немногим (избранным)".

Стиль этой книги отличен от обычного стиля учебника, представляющего "склад, в котором для каждой вещи есть своя полочка". Здесь читатель получает сведения как исторические, так и теоретические в виде отдельных рассказов. Поучительно привести в этой связи рассказ старого писателя Н.Н.Златовратского о том, как он стал понимать математику, по которой в гимназии получал двойки. Отец мальчика направил сына к учителю другой школы С, известному своей строгостью. Вот что о последующем рассказывает Златовратский ("Воспоминания", 1956, стр.71):

"Принял он меня хотя и с обычной суровостью, но "по-семейному" и, нисколько не интересуясь, знаю ли я что-нибудь по его предмету и как, он без всяких предисловий приступил к ознакомлению меня с самыми элементарными основами математики, как будто я никогда не учился в гимназии и не сидел в ней уже четыре года. Протестовать я, конечно, не решался. Он прямо начал объяснять мне совершенно просто, "по-человечески", именно по-человечески, нумерацию и затем шаг за шагом все те необыкновенно просто и логически вытекающие одно из другого действия, которые мне казались раньше чуть ли не кабалистикой ...Урок, другой, третий, и я каждый раз стал уходить от него как будто все более и более духовно окрыленным. Прошло два месяца, и я уже был осиян настоящим откровением. Господи! Да неужели же я не идиот, не тупица, как уже начинали говорить обо мне мудрые гимназические педагоги?.. С. был, повидимому, мной тоже доволен, но не показывал вида, он даже не интересовался тем, за что и почему я получал в гимназии двойки и единицы... По прошествии двух месяцев С. сказал отцу лаконично: "Будет, довольно... Больше сыну ко мне ходить незачем пока... Пусть готовится к экзамену". Я... выдержал, наконец, экзамен, получив по математике "удовлетворительно", к изумлению нашего педагога, не решавшегося мне еще поставить лучший балл. Замечательно, что с тех пор я уже не получал ниже четырех по всем отделам математики, а на выпускном экзамене имел полные пятерки".

Разговорный стиль в сообщении исторических сведений естествен, но автор излагает и теоретические сведения в том же разговорном стиле. Он вспоминает, как по окончании учительской семинарии, в которой в те времена алгебра почти не изучалась, готовясь к экзамену на аттестат зрелости экстерном, он находил облегчение в понимании материала по учебнику алгебры Н.А.Шапошникова, в котором, в отличие от учебника А.П.Киселева, многое излагалось разговорным стилем. Он мог бы после чтения разговорного изложения алгебры Н.А.Шапошниковым повторить слова французской учительницы, которая писала автору знаменитой "Арифметики дедушки" (Ж.Массэ), изложенной разговорным методом: "Теперь я научилась понимать то, что я до сих пор делала".

Автор надеется, что его книгу будут читать и отдельные учащиеся. Воспитание у учащихся навыка к чтению математической книги есть важное средство улучшения их математической подготовки, конечно, наряду с усовершенствованием методов обучения.

* * *

Не считая нужным разъяснять здесь, какое значение имеет знание учителем истории преподаваемого им предмета, автор ограничивается приведением высказывания А.М.Горького: "В каждом деле нужно знать историю его развития. Если бы рабочие каждой отрасли производства знали, как она возникла, как постепенно развивалась, они работали бы с более глубоким пониманием культурно-исторического значения их труда, с большим увлечением" (М.Горький, О том, как я учился писать).

Подробное раскрытие смысла этого замечания для учителя, говоря языком старинного автора, "собственной себе книги требует и зде не вмещается". Автор писал не учебник, а книгу, являющуюся пособием для учителя. Он не предполагает, что читатель выучит материал книги, будет помнить выученное и применять усвоенные сведения в нужном случае. Этого трудно ожидать и в том случае, когда книга является систематическим изложением истории арифметики.

Автор рассчитывает на то, что учитель познакомится с содержанием книги и затем по мере надобности будет обращаться к отдельным ее параграфам, используя их в работе с учащимися. Для более успешного использования книги рекомендуется факты, кажущиеся учителю полезными, заносить на карточки и подбирать карточки по отдельных темам школьной программы.

Сообщаемые в книге факты иногда могут показаться примитивными, недостаточно "научными", но 60 лет учительского стажа автора (от начальной сельской школы до университета) убедили его в полезности использования и таких "примитивов" для поднятия интереса к предмету. Признание учителем полезности для работы знания того или иного факта, кажущегося малозначащим, нейтрализует для автора десяток упреков в недостаточной серьезности его книги. Ему памятны слова первого известного по имени русского математика, числолюбца Кирика Новгородского (XII в.): "По малу бо создается град и велий бывает: тако и ведание по малу на много приходит". Помнит автор и многократные внушения своего учителя, крупного ученого и педагога, профессора Ю.В.Сохоцкого: "Не пренебрегайте мелочами".

Не зная никого из историков математики, кто захотел бы приняться за труд создания книги, отвечающей потребности и запросам школы, автор делает эту попытку помочь учителям в напряженный период перестройки системы народного образования. Автор надеется, что знание учителем истории арифметики поможет приблизить к жизни ее изучение.

При избранном характере книги и способе изложения некоторые мысли и факты невольно повторяются, так как о них приходится говорить в связи с разными темами. От этого нарушается требование математического стиля изложения, которое требует:

"Имей что сказать и не повторяй этого дважды!" Такое требование законно для трактата, написанного для специалиста-математика, но не для книги, адресованной начинающим изучение или использующим ее в работе с учащимися. Автору памятны книги его незабвенного учителя академика А.А.Маркова "Исчисление вероятностей", "Исчисление конечных разностей" и др. Книги эти признаны идеальными, и, пожалуй, единственными в мировой литературе по стилю: в них нет ни одного лишнего слова и есть все необходимое для понимания излагаемого. Однако какими трудными они кажутся тем читателям, которые по ним начинают изучение соответствующих предметов!

При изложении нового предмета начинающим, вопреки требованию "не повторяй этого дважды!", нужно повторять новое понятие дважды и трижды. Исходя из этого педагогического требования, автор предлагаемой книги не счел необходимым тщательно избегать повторения уже ранее сказанного, но сказанного в большинстве случаев в другой форме и с другой целью.

В книге даны указания на источники, в которых читатель найдет более расширенное изложение рассматриваемых вопросов или дальнейшие сведения по существу их. В тексте книги называются работы, которые сравнительно легко могут быть найдены каждым читателем. Более редкие источники, равно как сведения, выходящие за пределы школьной арифметики, указаны в примечаниях. Этих указаний, относящихся часто к книгам, не являющимся математическими, довольно много. Расширение общего кругозора читателя, о чем, по словам старого автора, "надлежит наипаче старатися", является одной из целей книги. Давая многочисленные ссылки на разные источники, автор питает надежду, что использующий книгу прочтет тот или другой из них.

Довольно часты в книге вторжения автора в область художественной литературы. Эти вторжения, помимо того, что они часто в доступной и убедительной форме разъясняют сущность математической идеи, имеют и воспитательное значение. Это пример того, как учащимся нужно внушать, что математические идеи и математический язык не суть достояния только учебника математики, что и писатель и поэт, не думая об учебнике, следуют идеям математики и пользуются ее языком, который должен быть понятным каждому культурному человеку.

"Учение есть труд и должно оставаться трудом, но трудом, полным мысли, так чтобы самый интерес учения зависел от серьезной мысли, а не от каких-либо не идущих к делу прикрас", -- говорит К.Д.Ушинский ("Избранные педагогические произведения", т.I, 1939, стр.177). Это относится, конечно, и к арифметике, уроки которой должны быть серьезным трудом. Учащемуся, начиная с семилетнего возраста, на уроках арифметики прививаются важные истины. Но "навязанное не привязано", говорит известный методист С.И.Шохор-Троцкий. Изложенные в книге исторические очерки написаны в надежде содействовать "привязыванию" арифметических знаний учащимся и адресуются "всем люботщателям честной сей мудрости".


 Об авторе

Иван Яковлевич ДЕПМАН (1885--1970)

Известный отечественный историк математики, педагог, методист, популяризатор науки. Преподавал в Вятском (с 1918 г.) и Ленинградском (с 1925 г.) педагогических институтах, профессор (1922). Автор научно-занимательных книг: "Рассказы о решении задач" (2-е изд., 1964), "Рассказы о старой и новой алгебре" (1967; 2-е изд., URSS, 2006), "Мир чисел. Рассказы о математике" (4-е изд., 1982), "За страницами учебника математики" (совместно с Н.Я.Виленкиным) (2-е изд., 1999). Предлагаемая читателю книга "История арифметики" вышла вторым изданием в 1965 г.

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце