Смольяков Э.Р. Неизвестные страницы истории оптимального управления Изд. стереотип.

Оглавление

Введение

Вариационное исчисление как научная дисциплина сделало первые шаги в конце XVII века в связи с успехами в разработке теории бесконечно малых и практическими потребностями астрономии и механики. Вначале казалось, что нахождение свойств введенного понятия экстремума функционала – задача, по всей вероятности, более простая, чем установление достаточных условий существования экстремума и теорем существования. Но эта простота была лишь кажущейся, хотя и она давалась нелегко: основные необходимые условия экстремума были получены на самой заре вариационного исчисления – в работах братьев Бернулли, Л.Эйлера и А.Лагранжа, но вот обоснование их затянулось на два столетия.

Сложилось так, что необходимые и достаточные условия рассматривались по существу как два разных научных направления в вариационном исчислении. В данной работе проводится анализ фундаментальных результатов в основном только по необходимым условиям экстремума первого порядка, полученным до 1963 г., причем опускается из рассмотрения анализ тех результатов, которые достаточно полно отражены в литературе по истории вариационного исчисления [9, 13–15, 17, 26, 28, 39, 45, 52, 63, 76, 85–87, 106–108, 110, 124, 127].

Главным объектом анализа является, в основном, задача Лагранжа–Майера–Больца, и наиболее пристальное внимание уделяется тому, кем и когда были получены основополагающие результаты по необходимым условиям экстремума для этих задач. К сожалению, представление об истории исследования задачи Больца в последние десятилетия оказалось не только не полным, но и в некоторой степени искаженным. Как это ни покажется парадоксальным, но виной тому в немалой степени явились фундаментальный учебник по вариационному исчислению Г.Блисса [15] и Вторая мировая война.

В своем курсе лекций [15] Г.Блисс дает превосходное изложение существенной, с его точки зрения, части тех результатов, которые были достигнуты к началу 40-х годов, однако на самом деле – далеко не всех действительно существенных результатов. Эту книгу последующие поколения математиков рассматривали как отправной пункт для дальнейшего развития вариационного исчисления, как полное изложение всех сколько-нибудь значительных результатов, как энциклопедию по классическому вариационному исчислению. Однако книга вовсе не претендовала на "энциклопедичность" изложения и включала преимущественно те результаты, к которым личные результаты Г.Блисса имели самое непосредственное отношение. Лишь о некоторых фундаментальных результатах О.Больца, Л.Грейвза, Э.Мак-Шейна, Л.Янга, К.Роуза и других Г.Блисс упоминает вскользь, не акцентируя на них внимание читателя. Но именно в работах этих авторов и содержатся наиболее интересные результаты по задаче Больца. Достаточно сказать, что в работах Л.Янга даются начала теории обобщенных кривых ("скользящих режимов"), в диссертации К.Данбу [27] предложены простые приемы сведения сложных нестандартных задач к классической задаче Больца, а в работах О.Больца, Л.Грейвза и Э.Мак-Шейна по существу содержится в качестве частного случая созданный много лет спустя знаменитый Принцип максимума Понтрягина.

Л.С.Понтрягин безусловно не знал о существовании работ Л.Грейвза, иначе его столь красивая каноническая форма необходимых условий экстремума для так называемых задач оптимального управления, впервые сформулированная для линейных задач Р.В.Гамкрелидзе, возможно, и не появилась бы на свет. Безусловно не знали о результатах Л.Грейвза и соавторы Л.С.Понтрягина – В.Г.Болтянский, Р.В.Гамкрелидзе и Е.Ф.Мищенко, давшие строгое математическое обоснование этого принципа. Если бы В.Г.Болтянский знал результаты Л.Грейвза и Э.Мак-Шейна, то вариационное исчисление никогда не обогатилось бы его замечательным оригинальным доказательством принципа максимума, а если бы Р.В.Гамкрелидзе знал о результатах Ж.Адамара [45] в отношении задачи Лагранжа с фазовыми ограничениями и об утверждении Г.Блисса о возможности сведения задачи с фазовыми ограничениями к задаче Больца без фазовых ограничений, то практическое решение вариационных задач с фазовыми ограничениями задержалось бы на некоторый период, поскольку решение первых подобных задач (выполненное в области ракетодинамики) стало проводиться именно в связи с получением уравнения Эйлера–Гамкрелидзе для замкнутой области, и лишь позднее были разработаны прямые методы численного счета для подобных задач.

Очень жаль, что роль классического вариационного исчисления в советской и мировой учебной и монографической литературе оказалась существенно заниженной. Типичны в этом отношении следующие утверждения, сделанные в замечательной книге [110]: "...в задачах классического вариационного исчисления все функции, входящие в описание задачи, предполагаются гладкими, по меньшей мере – непрерывно дифференцируемыми. С другой стороны, там отсутствуют нефункциональные ограничения... В задачах же оптимального управления нефункциональные ограничения играют весьма существенную роль...; стандартные допущения в задачах вариационного исчисления – непрерывная дифференцируемость по всем переменным, а в задачах оптимального управления – непрерывность по совокупности переменных и гладкость по переменным x и t", [110, с.104]. Чтобы убедиться в том, что приведенная цитата не оценивает правильно результаты вариационного исчисления, достаточно обратиться хотя бы к работам О.Больца и Л.Грейвза. Но прежде заметим, что выросшая на корнях вариационного исчисления трудами Л.Эйлера и Д'Аламбера, Ж.Лагранжа и У.Гамильтона и др. аналитическая механика в XIX веке достигла такого расцвета, что если бы механики более внимательно взглянули на породившие эту дисциплину корни – вариационное исчисление, – то математикам-вариационщикам пришлось бы играть роль преследователей в гонке, возглавляемой механиками. Но среди механиков, находившихся в начале XX века в двух шагах от теории оптимального управления, не нашлось человека, который смог бы заметить с Олимпа аналитической механики распускающийся у ее подножия цветок оптимального управления. Слишком поздно нашелся человек, показавший, что основные принципы аналитической механики – наименьшего действия и освобождения (от связей), явившиеся плодом вариационного исчисления, настолько универсальны, что способны содействовать прогрессу своего прародителя – вариационного исчисления. Таким человеком был Б.С.Разумихин [122, 123]. Не нашлось подобного человека и среди математиков-вариационщиков, а ведь все необходимое для формулировки теории оптимального управления в форме принципа максимума Понтрягина уже имелось в их распоряжении к середине третьего десятилетия XX века и не требовалось по существу никаких новых доказательств. Ближе всего к этой формулировке стоял Л.Грейвз [37, 41]. Если обратиться к статье Л.Грейвза [41] и оставить в стороне требование нормальности экстремали на каждом подинтервале, принятое в этой статье, устраненное им уже в его следующей статье [42] и полностью снятое в работе Э.Мак-Шейна [64], то станет ясно, что, с учетом результатов О.Больца [18, 19] и Л.Тонелли [87], принцип максимума Понтрягина хотя и оказывается в некотором (непринципиальном) отношении обобщением результатов вариационного исчисления, по существу все же является частным случаем совокупности работ [18, 19, 37, 41, 42, 64]. Это будет показано в главе 3.

Анализ истории вариационного исчисления, проведенный в данной работе, не умаляя ни в коей мере великой и неоценимой роли принципа максимума в мировом техническом прогрессе, призван, однако, поставить на должную высоту имена тех, чьи результаты опередили свое время, не были по достоинству оценены и, в связи с этим, оказались забытыми и чья роль в развитии вариационного исчисления была не меньше роли братьев Бернулли, Л.Эйлера, Ж.Лагранжа, К.Вейерштрасса, О.Больца, Г.Блисса, Л.Грейвза, В.Г.Болтянского, А.Я.Дубовицкого, А.А.Милютина, Н.Н.Красовского, Л.Нойштадта и других выдающихся математиков.

В заключительной главе работы автор приводит свои результаты по необходимым условиям оптимальности в задачах с нерегулярными фазовыми ограничениями. Эти результаты получены в конце 1963 г. и докладывались впервые в начале 1964 г. в ЦАГИ. Они приводятся потому, что не только в 1963–1964 гг. выглядели необычными, но и до сих пор остаются непривычными и мало кому известными [126]. Их необычность, явившаяся причиной задержки публикации на многие годы, состоит в том, что в них всегда, при любых кусочно-гладких произвольных нелинейных фазовых ограничениях (и произвольных уравнениях движения) существует непрерывная система множителей Лагранжа (сопряженных переменных), с которой имеет место некий аналог необходимых условий оптимальности Ж.Адамара–Р.В.Гамкрелидзе, причем как для регулярных, так и нерегулярных фазовых ограничений. Следует отметить, что независимо и одновременно с автором необходимые условия оптимальности для задач с нерегулярными фазовыми ограничениями были получены также в работе [20], но в форме, аналогичной данной Р.В.Гамкрелидзе, т.е. с разрывными сопряженными переменными.

Изложенная в главе 1 история первых шагов вариационного исчисления являлась объектом изучения многих исследователей-историков [17, 45, 76, 85–87, 106–108, 110, 124, 127], в связи с чем читатель найдет в ней не так уж много того, что по тем или иным причинам было упущено ими. Эта глава служит своего рода прелюдией к предпринятому в последующих главах исследованию эволюции задачи Лагранжа вариационного исчисления, завершившейся созданием Принципа максимума Понтрягина и теории обобщенных кривых (скользящих режимов).

В последние 25 лет в вариационном исчислении были открыты новые замечательные страницы, связанные с именами А.Я.Дубовицкого и А.А.Милютина, В.Г.Болтянского и Б.Н.Пшеничного, Л.Нойштадта и Дж.Варги и др. Однако полученные ими результаты, так же как и достаточные условия экстремума задачи Больца, выходят за рамки проведенного рассмотрения.

Завершая введение, автор не может не выразить глубокой благодарностии профессору В.Г.Болтянскому, прочитавшему рукопись и сделавшему множество существенных замечаний, учтенных автором при подготовке книги в печать.

Об авторе