Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие..................

Глава 1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях.

Вспомогательные теоремы.........

§ 1. Общие понятия, определения и примеры.....

§ 2. Геометрическая интерпретация нормальной системы дифференциальных уравнений. Задача Коши...

§ 3. Некоторые сведения из линейной алгебры....

§ 4. Комплексные функции действительного переменного

и действия над ними............

§ 5. Три леммы о вектор-функциях.........

Глава 2. Аналитические методы решения дифференциальных уравнений................

§ 1. Некоторые интегрируемые случаи одного дифферент циального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной.........

§ 2. Нормальная система линейных дифференциальных уравнений................

§ 3. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка

§ 4. Интегрирование линейной системы дифференциальных уравнений методом исключения......

§ 5. Приемы, упрощающие решение линейных дифференциальных уравнений............

§ 6. Комплексные нормальные линейные системы дифференциальных уравнений...........

§ 7. Преобразование линейных систем дифференциальных уравнений. Преобразование линейной системы с постоянной матрицей к линейной системе с треугольной матрицей...............

§ 8. Структура решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

§ 9. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами.......80

§ 10. Линейные системы.и линейные дифференциальные уравнения с постоянными действительными коэффициентами .............. 87

Глава 3. Общая теория систем дифференциальных уравнений................. 90

§ 1. Теоремы существования и единственности 90

§ 2. Непродолжаемые решения........... 105

§ 3. Уравнения, не разрешенные относительно производной. Особые решения............108

§ 4. Зависимость решения задачи Коши от параметров и

начальных условий.............114

§ 5. Приближенные методы решения задачи Коши...124

§ 6. Поведение решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка. -.... 134

§ 7. Первоначальные сведения о краевой задаче... 139

Глава 4. Динамические системы..........148

§ 1. Динамические системы и их геометрическая интерпретация ..... 148

§ 2. Свойства решений динамических систем.....149

§3. Поведение траекторий динамических систем на плоскости 154

§ 4. Поведение траекторий линейной однородной системы дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными действительными коэффициентами. 164

Глава 5. Теория устойчивости...........176

§ 1. Определения и примеры...........176

§ 2. Однородная линейная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Устойчивость решения х е= 0 (достаточные условия).. 178

§ 3. Лемма Ляпунова.............182

§ 4. Теорема Ляпунова.............185

Глава 6. Уравнения с частными производными первого

порядка................ 192

§ 1. Основные определения........... 192

§ 2. Понятие характеристики квазилинейного уравнения. 194

§ 3. Задача Коши для уравнения с частными производными первого порядка........... 197

§ 4. Решение задачи Коши для квазилинейного уравнения.,,„.,..,.,."........199

§ 5. Линейное однородное уравнение с частными производными первого порядка и первые интегралы динамических систем.........•. 206

§ 6. Решение задачи Коши для нелинейного уравнения с частными производными первого порядка....213

Глава 7. Простейшие задачи вариационного исчисления 218

§ 1. Функционалы в линейном нормированном пространстве