Полиа Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике.
Перевод с английского. Изд. 2

Оглавление

Из предисловия

Заглавие этой книги указывает на ее связь с классическим предметом математических исследований.

Две кривые называются "изопериметрическими", если их периметры равны (мы употребляем здесь термин "кривая" для обозначения замкнутой плоской линии без двойных точек). "Изопериметрическая проблема" заключается в нахождении среди всех кривых с данным периметром кривой с наибольшей площадью. "Изопериметрическая теорема" дает решение этой проблемы: из всех фигур с данным периметром наибольшую площадь имеет круг. Если мы знаем периметр кривой, но не знаем об этой кривой ничего больше, мы не можем найти точной величины ограниченной ею площади. Однако предыдущая теорема дает некоторые сведения, определенную границу величины площади, а именно "изопериметрическое первенство": площадь не может быть большей, чем площадь круга с данным периметром. Читая это неравенство в противоположном смысле, мы можем формулировать изопериметрическую теорему в другой форме: из всех плоских фигур с данной площадью круг имеет наименьший периметр. Кроме этой "большой изопериметрической теоремы" имеются и "малые изопериметрические теоремы"; так, например, из всех четырехугольников с данным периметром наибольшую площадь имеет квадрат (и значит, из всех четырехугольников с данной площадью квадрат имеет наименьший периметр).

Греки знали изопериметрическую теорему, а также имели некоторое представление об ее стереометрических аналогах в пространственной геометрии. Папп, в работах которого содержатся эти результаты, приписывает их открытие Зенодору. Два имени в истории изопериметрической теоремы заслуживают нашего особого внимания.

Наиболее совершенным симметричным телом является шар. Переходя от данного тела к шару с тем же объемом, мы уменьшаем площадь его поверхности и придаем ему бесконечное множество плоскостей симметрии. Я.Штейнер изобрел (1836) геометрическую операцию, называемую "симметризацией ", которая является, грубо говоря, первым шагом радикального превращения тела в шар: симметризация Штейнера придает твердому телу по крайней мере одну плоскость симметрии, сохраняет его объем и уменьшает площадь его поверхности.

Г, Минковский добавил (1899) два новых неравенства к классическому изопериметрическому неравенству, связывающему объем и площадь поверхности выпуклого тела: одно связывает площадь поверхности и интегральную среднюю ширину тела, другое – все три величины: объем, площадь поверхности и среднюю ширину. Он показал также, что классическое изопериметрическое неравенство является следствием этих двух новых неравенств (его исследование ограничивается выпуклыми телами).

История предмета нашего исследования начинается собственно с В.Сен-Венана. Исследуя кручение упругих призм, он заметил (1856), что при заданной площади поперечного сечения круг имеет максимальную жесткость крученая. Это наблюдение появляется в работе Сен-Венана только как предположение, подкрепленное убедительными физическими рассуждениями и индуктивной (численной) аргументацией, но без математического доказательства.

Лорд Рэлей заметил (1877), что из всех мембран с данной площадью круг имеет минимальную основную частоту. И это снова было только предположением; Рэлей, однако, подкрепил его не только индуктивной (численной) аргументацией, но также и вычислением основной частоты почти круглых мембран (вариация основной частоты) в многообещающей форме. В той же работе он установил, без особого подчеркивания и с менее полной аргументацией, два других подобных предположения: из всех зажатых пластин с данной площадью круг имеет минимальную основную частоту; из всех проводящих пластин с данной площадью круг имеет минимальную электростатическую емкость.

Важное исследование Ж.Адамара (1908) о зажатых пластинах имело ряд аналогий и связей со второй проблемой Рэлея. А.Пуанкаре установил (1903), что из всех тел с данным объемом сфера имеет наименьшую электростатическую емкость; впрочем, данное им (вариационное) доказательство нельзя считать полным.

Т.Карлеман (1918) установил аналог теоремы Пуанкаре на плоскости, используя конформное представление. Г.Фабер (1923) и Е.Кран (1924) нашли по существу то же доказательство гипотезы Рэлея, связанной с мембраной. До них Р.Курант доказал (1918) более слабую теорему; симметричные мембраны сыграли любопытную роль в его доказательстве. Г.Сеге дал первое полное доказательство теоремы Пуанкаре об электростатической емкости (1930) (статья Фабера содержит указание в этом направлении) и добавил новое неравенство между электростатической емкостью, площадью поверхности и средней шириной выпуклого тела (1931). Г.Полиа и Г.Сеге нашли (1945), что электростатическая емкость тела уменьшается при симметризации Штейнера. Этот результат привел к некоторым другим; гипотеза Сен-Венана и третья из трех гипотез Рэлея были полностью доказаны, доказательство оставшейся второй гипотезы существенно продвинулось и т.д. Все эти результаты начинают теперь занимать их истинное место в рамках общей теории, которую настоящая книга и пытается обрисовать.

Существует несколько важных и интересных геометрических и физических величин (функции множества, функционалы), зависящих от формы и размеров кривой: длина ее периметра, охватываемая кривой площадь, момент инерции относительно центроида (центра тяжести) однородной пластины, ограниченной кривой; жесткость кручения упругой балки, поперечное сечение которой ограничено данной кривой; основная частота мембраны, краем которой является данная кривая; основная частота зажатой пластины той же формы и размера; электростатическая емкость этой пластины и ряд других величин. Сначала было открыто изопериметрическое неравенство между площадью и периметром. Однако имеется и много других подобных неравенств, связывающих две или более упомянутых выше величин; некоторые из них были открыты в последующее время, другие – еще только должны быть открыты. Все эти неравенства могут быть названы, в широком смысле слова, изопериметрическими неравенствами. Кроме того, имеются аналогичные неравенства, касающиеся тел в пространстве или связанные с парами кривых (полая балка, конденсатор), с парами поверхностей и т.д. В настоящей книге и рассматриваются такие неравенства.

Эти неравенства могут иметь некоторую практическую ценность. Из всех треугольников с данной площадью равносторонний треугольник имеет наименьший периметр. Можно использовать эту "малую" изопериметрическую теорему для того, чтобы найти нижнюю оценку периметра произвольного треугольника в терминах его площади. Так как вычислить периметр треугольника нетрудно, эта оценка может быть опущена, как явный курьез. Однако из всех треугольных мембран с данной площадью равносторонний треугольник имеет также самую низкую частоту, и мы можем использовать эту теорему для того, чтобы найти нижнюю оценку основной частоты произвольного треугольника в терминах его площади. Этой оценкой уже нельзя пренебрегать. Во-первых, эта оценка простая и явная, поскольку нам известна простая явная формула для основной частоты равностороннего треугольника. Во-вторых, эта оценка предоставляет нам сведения, которые трудно было бы получить иным путем: мы не знаем ни одной явной формулы для основной частоты произвольного треугольника. В-третьих, заслуживает внимания сама тенденция: мы оцениваем малодоступную физическую величину (основная частота) на основании легко доступных геометрических данных (площадь, треугольная форма). В этом и состоит общее направление данной книги: мы стремимся к оценке физических величин на основе геометрических данных, менее доступных величии – в терминах более доступных. Уже результаты, достигнутые прежде и обсужденные в этой книге, позволяют в некоторых случаях дать достаточно близкие оценки физических величин, в которых может быть практически заинтересован инженер или физик. И представляется возможным пойти в указанном здесь направлении гораздо дальше.

Представленное в этой книге исследование было предпринято в 1946 г. в качестве научной работы, производившейся при содействии научно-исследовательского отдела Военно-Морского флота. Несколько кратких докладов и сообщений о ходе нашего исследования были представлены на рассмотрение этого отдела, а также различных собраний Американского математического общества и Математической ассоциации Америки.

Исчерпывающая статья под заглавием "Приближения и границы электростатической емкости и аналогичных физических величин" была направлена 20 сентября 1948 г. в "Труды Американского математического общества" и вскоре после этого принята к печати. Трудности, связанные с печатанием, привели к передаче статьи в недавно созданные "Ученые записки" общества и в конце концов – к изъятию статьи и опубликованию, с согласия заинтересованных лиц, настоящей монографии.

Сентябрьская статья 1948 г. образует основу настоящей книги, а именно главы 1–8. Так как эта статья получила широкое распространение в виде доклада О.N.R. и вызвала появление ряда других статей, мы сочли необходимым ясно указать на ее первоначальное содержание. Поэтому все добавления и исправления, сделанные с сентября 1948 г., заключены в квадратные скобки [ ]. Впрочем, это не распространяется на незначительные, чисто формальные изменения и дополнения, лишь расширяющие ссылки на издания, предшествующие этой дате. Более того, мы добавили новый материал в виде семи приложений, а также таблиц для некоторых функционалов плоских областей. Приложение А было подготовлено первым из авторов, остальные – от В до G – вторым. Первый набросок таблиц, подготовленный М.Эссеном, Г.Хиги и Дж. Л.Ульманом (M.Aissen, H.Haegi, J.L.Ullman) под руководством авторов, был представлен в О,N.R. в качестве доклада 15 июля 1949 г. Приложения представляют собой обзор более важных вкладов в предмет исследования, полученных авторами до настоящего времени, иногда в сотрудничестве с другими авторами.

Здесь мы заметим, что, как и в первоначальной статье 1948 г., мы оставляем ряд немаловажных деталей физической интуиции или математической эрудиции читателя. Например, мы не настаиваем на исчерпывающей формулировке и проверке условий, при которых были доказаны теоремы существования для рассматриваемых краевых задач. Хотя эти условия сами по себе достаточно важны, их рассмотрение потребовало бы слишком много времени и усилий и затемнило бы существо дела. Мы надеемся, что в этом виде книга представляет собой достаточно полный итог современной стадии исследования, которое в известной степени идет вне обычных каналов, соединяет физическую интуицию и численные соображения с аналитическими методами и указывает на многие интересные, но пока не разрешенные проблемы.

Стэнфордский университет, январь 1951 г.

Об авторах

Известный американский математик венгерского происхождения. Родился в 1887  г. в Будапеште. В 1912 г. окончил Будапештский университет. В 1914–1940 гг. работал в Высшей технической школе в Цюрихе. С 1928 г. – профессор Высшей технической школы. В 1940 г. переехал в США.

Г.Полиа – автор многих трудов в области теории чисел, функционального анализа, математической статистики (распределение Пойа) и комбинаторики (теорема Пойа). Кроме того, он написал замечательные книги по методологии решения задач с примерами, доступными школьникам: "Как решать задачу", "Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание", "Математика и правдоподобные рассуждения".

Габор Сеге (1895–1985)

Родился в 1895 г. в г.Кунхедьеш (Венгрия). После окончания Будапештского университета учился в Берлине и Геттингене, где слушал лекции таких известных математиков, как Ф.Фробениус, Д.Гильберт, Э.Ландау. С 1921 г. работал в Берлине, с 1926 – в Кенигсберге. В 1934 г. переехал в США, где работал в Стэнфордском университете. Был учителем выдающегося математика, одного из создателей кибернетики Дж.фон Неймана. Автор многих работ в области математического анализа и теории функций. Книга "Задачи и теоремы из анализа" (1925), написанная в соавторстве с Г.Полиа, многократно переиздавалась и стала классической.