Балабанов М.В. Дифференцирование отображений в бесконечномерных векторных пространствах

Оглавление

Предисловие

Книга В.А.Балабанова "Дифференцирование отображений в бесконечномерных векторных пространствах" относится к бесконечномерному анализу. Термин бесконечномерный анализ, являющийся в настоящее время общепринятым, начал широко использоваться около тридцати лет назад. Фактически бесконечномерный анализ является современной версией функционального анализа; последний может рассматриваться как линейный бесконечномерний анализ, хотя следует заметить, что именно те работы (Вольтерры, Фреше, Адамара, П.Леви), которые, как обычно считают, положили начало функциональному анализу, в действительности относятся к (нелинейному) бесконечномерному анализу; при этом название бесконечномерный анализ гораздо точнее, чем функциональный анализ, отражает существо дела. К бесконечномерному анализу следует отнести, в частности, основные задачи стохастического анализа, теории бесконечномерных многообразий (такие многообразия возникают, например, в теории калибровочных полей и в различных вариантах струнных теорий), теории бесконечномерных дифференциальных и псевдодифференциальных операторов и интегралов (Фейнмана) по траекториям, теории представлений бесконечномерных аналогов групп Ли. Кроме того, к бесконечномерному анализу относятся многочисленные задачи квантовой теории поля, гидродинамики и других областей математической физики бесконечномерных систем, а также многие задачи финансовой математики.

Однако предлагаемая вниманию читателя книга посвящена не этим вещам. В ней рассматривается то, что можно назвать общей теорией дифференцирования отображений бесконечномерных векторных пространств – топологических, и более общих псевдотопологических. Эта теория, связанная с основаниями бесконечномерного анализа, возникла в конце шестидесятых годов прошлого века, и в ее развитии участвовал и автор книги.

В то время было велико (сейчас очевидно, что слишком велико) влияние группы Бурбаки, и во многих математических текстах того времени, в том числе и в работах по основаниям бесконечномерного анализа, можно обнаружить следы этого влияния (в начале семидесятых годов прошлого века, даже в статьях, публикуемых в журналах по математической физике, авторы свободно пользовались бурбакистской терминологией). Потом математическая мода изменилась, что проявилось в дискуссиях о сравнительной ценности теоретико-множественного подхода (или, что на самом деле почти то же самое, аксиоматических теорий) и так называемых конкретных результатов – дискуссиях, заставляющих вспомнить принцип дополнительности Нильса Бора (а также и то обстоятельство, что одна из самых плодотворных и богатых именно конкретными глубокими результатами математических теорий прошлого века – это колмогоровская аксиоматическая теория вероятностей). Влияние стиля конца шестидесятых годов ощущается и в книге В.А.Балабанова – но именно в книгах, связанных с основаниями математических теорий (т.е. с их аксиоматикой), такой стиль представляется оправданным.

Как и во многих подобных случаях, анализ оснований теории привел к получению ряда новых содержательных результатов.

Одним из реальных достижений общей теории дифференцирования отображений бесконечномерных пространств явилось получение естественной классификации многочисленных определений дифференцируемости, в результате чего было показано, с одной стороны, что "почти все" определения кратной дифференцируемости совпадают, если игнорировать возможное понижение порядка дифференцируемости на единицу, и, с другой стороны, что среди тех определений однократной дифференцируемости, для которых справедливо цепное правило, существует самое слабое – так называемая дифференцируемость по Адамару (введенная много раньше Адамаром, но до конца пятидесятых годов прошлого века фактически остававшаяся неизвестной и заново переоткрытая). Для отображений бесконечномерных банаховых пространств она является промежуточной между классическими дифференцируемостями по Фреше и Гато. Хотя для нее, как и для дифференцируемости по Гато, теоремы о локальной обратимости и о дифференцируемости обратного отображения справедливы даже в банаховом случае (для более общих пространств первая теорема оказывается несправедливой вообще для всех естественных определений дифференцируемости), все остальные теоремы дифференциального исчисления для дифференцируемости по Адамару (в отличие от дифференцируемости по Гато) остаются верными; таким образом, она оказывается полезной во всех тех случаях, когда дифференцируемость по Фреше не имеет места, а дифференцируемости по Гато недостаточно для получения нужных результатов. Именно по этой причине дифференцируемость по Адамару стала широко использоваться даже в работах по математической статистике.

За прошедшее время теория дифференцирования отображений бесконечномерных пространств оказалась востребованной в самых разных областях; в частности, в стохастическом анализе под ее влиянием возникла теория гладких мер, в которой получено большое число глубоких чисто аналитических результатов и которая в настоящее время является одним из важнейших направлений бесконечномерного анализа. Книга В.А.Балабанова, несомненно, привлечет внимание математиков.

Введение

Проблемы нелинейного анализа в последние годы привлекают внимание многих математиков и им посвящается все большее число работ. Обусловлено это как чисто внутренними причинами, свойственными математике – желанием рассмотреть как можно более общие объекты, так и вовлечением через практику новых объектов, не укладывающихся в классические рамки. Дифференцируемые отображения бесконечномерных пространств возникают при исследовании различных математических проблем – теории экстремальных задач [6, 16, 20], при исследовании нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными [19, 21], изучении непрерывной и дифференцируемой зависимости решения обыкновенного дифференциального уравнения от начальных условий и правой части [7, 8, 22], в теории распределений на бесконечномерных пространствах [32, 25], теории случайных процессов [19], а также в различных приложениях – в квантовой теории поля [31], статистической физике [11], гидродинамике [15] и т.д.

При переходе от конечномерного случая к бесконечномерному многие эквивалентные понятия расщепляются, и выбор между той или иной версией приводит к совершенно различным теориям. Поэтому нет простых аналогий, и делать выбор – задача нетривиальная. Этим обуславливается то, что проблема определения производной в абстрактных пространствах была предметом исследования в работах многих математиков (см. [1, 3–5, 19, 24, 30, 32, 34] и имеющиеся в них ссылки). Различные определения операции дифференцирования, реализуя основную идею дифференциального исчисления о локальном приближении заданного отображения линейным отображением, отличаются конкретной интерпретацией характера этого приближения. Обстоятельный обзор известных определений операций дифференцирования с указанием связей между ними дан в работах В.И.Авербуха и О.Г.Смолянова [1, 3, 4]. В связи с этим возникла проблема создания концепции дифференциального исчисления в абстрактных пространствах. Аксиоматический подход к теории дифференцирования был предложен в 1968 г. В.И.Авербухом и О.Г.Смоляновым [3] и Верли [33]. Задание способа дифференцирования заключается в указании множества аппроксимирующих отображений и множества "малых" отображение. В качестве аппроксимирующих отображений в категории псевдотопологических векторных пространств (в частности, локально выпуклых и топологических векторных пространств) обычно выбираются линейные непрерывные отображения, а задание множества "малых" отображений основано на введении псевдотопологической структуры в пространстве F(X, Y) всех отображений X в Y.

В данной книге предлагается общая схема построения абстрактной теории дифференцирования, основанная на обобщающей идее автора. Анализ различных определений операции дифференцирования в нормированных, локально выпуклых, топологических и псевдотопологических векторных пространствах показал целесообразность введения в пространстве F(X, Y) нового рода структур – структуры фильтрового векторного пространства. Фильтровое векторное пространство – это векторное пространство, в котором задана система фильтров, некоторым образом согласованная с векторной структурой. Наличие структуры фильтрового векторного пространства omega в пространстве F(X, Y) позволяет определить omega-малые отображения различных порядков, omega-дифференцируемые и omega-морфные отображения. Особенность нашего подхода заключается в том, что фильтровая структура позволяет единообразно определить как класс производных, так и "малые" отображения. А именно, в качестве производных выступают однородные отображения, являющиеся omega-малыми отображениями нулевого порядка, а "малые" отображения – это omega-малые отображения первого порядка. В таком случае omega-дифференцируемое отображение оказывается omega-морфным, что является отражением в рассматриваемой ситуации известного факта классического анализа о непрерывности дифференцируемого отображения. Наши рассмотрения показывают, что, например, для дифференцируемости в смысле Фр\"елихера–Бухера [24] естественный класс производных – однородные отображения, переводящие каждый ограниченный фильтр в ограниченный фильтр, а для дифференцируемости в смысле Майкла–Бастиани [24] это однородные отображения, переводящие каждый сходящийся фильтр в ограниченный фильтр. Если пространство отправления отображения есть уравновешенное псевдотопологическое векторное пространство, а производная – линейное отображение, то указанные классы совпадают с пространством непрерывных линейных отображений и дифференцируемое отображение непрерывно. В общем же случае оно является omega-морфным. Эти примеры показывают, что наш подход позволяет прояснить сущность ситуации и не следует считать патологией то, что дифференцируемое отображение не является непрерывным.

Книга состоит из пяти глав. В главе 1 рассматриваются фильтровые структуры. Здесь вводится понятие фильтрового векторного пространства, рассматриваются различные свойства систем фильтров, приводятся примеры фильтровых векторных пространств. Указаны два общих способа sigma[Ф, Psi] и pi[Ф, Psi] генерирования системы фильтров, согласованной с векторной структурой в пространстве F(X, Y), посредством систем фильтров Ф и Psi в пространствах X и Y соответственно. Дается описание двух топологий в пространствах с фильтровой структурой: Phi-топология и локально выпуклая топология, ассоциированная с системой фильтров. Введение этих топологий имеет важное значение при построении дифференциального исчисления. Phi-топология позволяет установить локальный характер исследуемых операций дифференцирования, она используется при определении производных высших порядков. Ассоциированная локально выпуклая топология используется при доказательстве теоремы о среднем значении и в других вопросах.

В главе 2 определяются omega-малые отображения различных порядков, которые используются при определении omega-дифференцируемых отображений, устанавливаются свойства операции omega-дифференцирования: линейность операции, единственность производной, цепное правило для производных первого и высших порядков. Проводится сравнение операций omega-дифференцирования.

Главы 3, 4 и 5 посвящены изучению операций дифференцирования, которые представляют собой реализации общей схемы. Они охватывают многие известные определения дифференцируемости, а также позволяют предложить целый ряд новых конкретных определений. Для этих операций установлены условия однозначности производной, локальный характер дифференцируемости, абстрактные аналоги формулы Тейлора с остаточным членом в формах Лагранжа и Пеано, теоремы о связи между частными производными и полной производной.

Предложенная в книге концепция дифференциального исчисления в абстрактных пространствах позволила сделать естественными многие подходы и с новой точки зрения взглянуть на развитие теории. Она может послужить основой для построения теории многообразий с небанаховыми модельными пространствами.

Автор выражает искреннюю благодарность О.Г.Смолянову и В.И.Авербуху, которые внимательно ознакомились с рукописью книги и высказали свое благоприятное отношение к ней.