Рам Ж. де. Дифференцируемые многообразия.
Пер. с фр. Изд. 2

Оглавление

Из предисловия к русскому изданию

В наши дни происходит большая перестройка всего здания математики, и сейчас даже трудно сказать, куда она приведет, какие очертания это здание примет по истечении ближайших 10–20 лет. Ясно одно: развитие математики не дает повода ни к какому скептицизму, ни к каким опасениям, что пора больших математических идей миновала, что математика захлебнется в потоке отдельных теорий с их отдельными, мелкими задачами.

Конец прошлого и начало текущего столетия стояли под знаком зарождения и развития теоретико-множественной математики. Теория множеств и ее ближайшие приложения не только образовали новый предмет математического исследования; значение теории множеств оказалось неизмеримо большим: она дала универсальный новый метод, быстро захвативший всю математику. Далее, теория множеств, возникшая первоначально в связи с задачей – кажущейся в настоящее время скромной – поставить на твердое основание математический анализ, создала возможность по существу нового, аксиоматического подхода к математике. Наконец, теория множеств породила те сомнения в ее собственной достоверности, из которых далее развились все исследования по основаниям математики и математической логике; они переплелись в настоящее время с конкретными проблемами самой математики.

Аксиоматический метод и аппарат теории множеств привели к построению большого количества новых математических понятий, исследование которых стало предметом новых математических дисциплин. Так возникли современная абстрактная алгебра и прежде всего теория групп в ее сегодняшнем виде, абстрактная топология (теория топологических пространств), общая теория меры и др.

Вскоре стали раздаваться голоса (и притом со стороны таких широко мыслящих математиков, как, например, Герман Вейль), предупреждающие против чрезмерного увлечения самодовлеющими аксиоматическими построениями. Надо сказать, что конкретное содержание математики давало критерии, способные направить абстрактное исследование по путям, предохраняющим от самодовлеющего построения новых понятий: достаточно вспомнить, что тут же, на рубеже столетий, возникла теория интегральных уравнений, а появившееся вслед за нею и в связи с нею понятие гильбертова пространства открыло математическому исследованию целый новый мир! Одним словом, возник линейный функциональный анализ. В то же время также связанные с именем Гильберта прямые методы вариационного исчисления означали возникновение и нелинейного функционального анализа. Все это было по существу торжеством теоретико-множественной точки зрения в области конкретного математического анализа.

Быстрое развитие функционального анализа повлекло за собой, с одной стороны, рост интереса к теории абстрактных пространств, а вместе с нею и к топологии, а с другой стороны – большой сдвиг математики в сторону алгебры, и притом линейной алгебры. Когда оказалось, что именно линейный функциональный анализ представляет собой основной математический аппарат квантовой физики, то его положение как одной из центральных дисциплин современной математики уже совсем укрепилось. В то же время замкнулся и некоторый круг в идейном развитии математики как таковой. Так называемая "классическая" математика всегда сознавала свои связи с естествознанием и гордилась ими. Новая, "абстрактная", теоретико-множественная математика первое время как будто чуждалась этих связей. Но вот она стала сама одним из основных орудий физики (и, замечу в скобках, общей механики – теории динамических систем). И если сейчас можно, а мне кажется и должно, говорить о некотором "неоклассицизме" в математике, то именно в том смысле, что математика с той же силой, как во времена Ньютона, Бернулли и Лапласа, осознала свои жизненные связи с естествознанием, а отнюдь не в смысле отказа от тех ее больших абстрактных завоеваний, которыми было ознаменовано ее развитие в последние десятилетия. Наоборот, поразительно, насколько эти именно абстрактные завоевания оказываются решающими для новейшей математики, вновь повернутой к изучению окружающего нас действительного мира. Правда, не всегда, скажем, физики нуждаются именно в тех алгебраических и топологических понятиях, которые с особой любовью культивировали сами алгебраисты и топологи. Но не будь этой любви и этой широкой разработки всей почвы данной области, не были бы найдены и те принадлежащие ей понятия и методы, которые оказались плодотворными и важными для других областей науки. Несомненно, что генеральная линия развития математики определяется ее связями с естествознанием. Однако нельзя представлять себе развития математики в виде простого поступательного движения по этой линии: в действительности движение математики вперед в каждый момент времени слагается как бы из двух компонент, из которых лишь одна идет непосредственно по главной линии развития, а другая действует в сторону и на первый взгляд отклоняет науку от ее прямого движения. В действительности же на этих боковых путях создаются те идеи, которые оказываются необходимыми на следующем этапе развития науки. Такой боковой линией развития были в начале XIX века, например, теория Галуа и неэвклидова геометрия, а в конце того же века – теория множеств. Этих примеров достаточно, чтобы понять, как на этих "боковых" путях рождаются идеи, имеющие часто основополагающее значение для направления главного потока развития в последующую эпоху.

* * *

В настоящее время традиционное деление математики на алгебру, геометрию, анализ и т.д. в значительной степени утратило свой смысл: именно сейчас делается очень много такой математики, и притом самой первоклассной, которая одновременно есть и алгебра, и топология, и анализ (в том числе функциональный), и дифференциальная и алгебраическая геометрия. Книга де Рама принадлежит именно к этой "комплексной математике". Можно не сомневаться, что во всем этом направлении потенциально сосредоточена значительная часть будущего прогресса всей математической науки в целом; много впечатлений, подтверждающих эту точку зрения, можно было, в частности, получить в работах последнего международного математического конгресса (Амстердам, 1954), а также на только что состоявшейся Всесоюзной конференции по функциональному анализу (Москва, январь 1956).

Большим достоинством сочинения де Рама является его доступность в смысле предполагаемого им запаса знаний читателя – действительно минимального, если иметь в виду сложность излагаемых вопросов. Как я уже говорил, книга композиционно очень ясна и обозрима. Сделано все для того, чтобы облегчить труд читателя – тщательные формулировки всех основных понятий, аккуратное выделение определений и теорем, полно и удобно составленные указатели терминов и обозначений, наконец, библиографический указатель, хотя и не претендующий на полноту, но, повидимому, достаточно вводящий читателя в литературу излагаемых вопросов. Говоря о доступности книги в смысле предполагаемых ею предварительных познаний, не следует, конечно, недооценивать тот уровень общей математической культуры, который при данном содержании сочинения предполагается и не может не предполагаться.

Думаю, что можно с уверенностью сказать, что издаваемое сочинение представляет собою выдающееся произведение новейшей математической литературы и что выход его в свет на русском языке будет полезен очень многим советским математикам самых различных математических специальностей и всех научных возрастов – от только приступающих к научной работе до находящихся уже на ее закате, но не утративших еще интереса к значительным явлениям, происходящим в наши дни в нашей науке.

Болшево, Комаровка, 27 января 1956 г.

Введение

В этой книге, в основу которой положены лекции, читанные в Гарвардском университете (1949), в Принстонском Institute for Advanced Study (1950) и в университетах Женевы и Лозанны, я попытался дать связное изложение теории дифференциальных форм на многообразии и теории гармонических дифференциальных форм на римановом пространстве.

Ключ к пониманию того, почему гомологические свойства многообразия находят свое отражение и в теории дифференциальных форм и в теории цепей, дает понятие потока, охватывающее в качестве частных случаев понятия как дифференциальной формы, так и цепи. Эта мысль руководила мной в моих исследованиях, начиная с 1928 г. Но к точному определению, принятому в настоящей книге, меня привело понятие распределения, введенное Л.Шварцем в 1945 г. Согласно нашей терминологии, распределение представляет собой поток степени 0, а поток можно рассматривать как дифференциальную форму, коэффициентами которой служат распределения.

Автору этой книги большую пользу принесли сами работы Л.Шварца, в особенности его прекрасный труд по теории распределений. Однако от читателя не требуется знакомства с ними. Оставив в стороне приложения теории, я ограничился тем, что отобрал теоремы, казавшиеся мне существенными, и постарался снабдить их простыми и исчерпывающими доказательствами, доступными читателю, обладающему минимальной математической культурой. Помимо материала, входящего в любую программу экзаменов на степень лиценциата, читателю достаточно владеть самыми основными понятиями общей топологии и тензорного анализа, а для чтения последней главы нужно знать теоремы Фредгольма.

В главе I вводится понятие дифференцируемого многообразия, после чего устанавливаются некоторые результаты, необходимые для дальнейшего, в частности существование "разбиения единицы" и теорема Уитнея о погружении многообразия в эвклидово пространство.

В главе II излагаются основы теории дифференциальных форм и дифференцируемых цепей, а также исчисления внешних дифференциальных форм Э.Картана и устанавливается общая формула Стокса. Здесь же я ввожу и в дальнейшем систематически использую понятия многообразия и формы "четного рода" и "нечетного рода", благодаря чему теория оказывается применимой и к неориентируемым многообразиям. Для других обобщений оказывается полезным понятие "двойной формы".

Глава III посвящена определению и изучению общих свойств потоков. Попутно упоминаются, с соответствующими доказательствами, некоторые необходимые сведения о топологических векторных пространствах. Вводятся "двойные потоки", обобщающие "ядра-распределения" Л.Шварца, и регуляризирующие операторы, позволяющие представить, в некотором точно указанном смысле, любой поток в виде предела последовательности форм.

В главе IV с помощью понятия потока определяются и исследуются группы гомологии многообразия. Здесь читатель найдет полные доказательства теорем, устанавливающих связь между дифференциальными формами и цепями, а также теорему двойственности Пуанкаре для дифференцируемого многообразия.

В главе V излагаются основы теории гармонических дифференциальных форм в римановом пространстве. Доказывается теорема Ходжа, сначала методом интегральных уравнений, который в случае компактных пространств приводит к окончательным результатам. Как леммы, лежащие в основе этого метода, так и свойства геодезического расстояния, которыми в дальнейшем приходится пользоваться, подробно доказываются. Затем излагается метод ортогонального проектирования в гильбертовом пространстве, который дает возможность распространить теорему Ходжа на некомпактные пространства, и обобщается, с помощью понятия потока, теорема Кодаира о разложении. Отсюда выводятся формулы, представляющие в виде интегралов индекс Кронекера пары цепей. Наконец, с помощью метода, принадлежащего Э.Леви, доказывается аналитичность гармонических дифференциальных форм в аналитическом римановом пространстве.

Гг.Андре Вейль и Лоран Шварц любезно согласились прочесть рукопись в ее первоначальном виде и высказали ряд весьма полезных замечаний и предложений. Приношу им за это свою живейшую благодарность.

Лозанна, август 1953 г.