Буземан Г., Келли П. Проективная геометрия и проективные метрики.
Пер. с англ. Изд. 2, испр.

Оглавление

От редактора

Книга одного из ведущих американских геометров Г. Буземана и П. Дж. Келли может быть интересна для довольно широкого круга читателей. Первые три главы этой книги представляют собой хороший элементарный учебник проективной геометрии, рассчитанный на студентов, впервые знакомящихся с предметом; ценность этого учебника значительно повышается удачным подбором упражнений, приложенных к каждой главе. Основная линия изложения здесь мало отличается от принятой в ряде других учебников, однако в деталях книга во многом несет печать яркой оригинальности установок ее авторов; так, например, заслуживает внимания то большое место, которое уделено в главе об аффинной геометрии понятию выпуклой фигуры, очень важному для дальнейшего. Своеобразие педагогических взглядов авторов (см. по этому поводу предисловие авторов) делает уже- эту вводную часть книги интересной и для преподавателей проективной геометрии, особенно если учесть относительную бедность русской литературы по этому предмету.

Далее следует сказать о пятой главе, посвященной неэвклидовым геометриям Лобачевского и Римана (гиперболической и эллиптической геометриям, если следовать терминологии авторов). В противоположность проективной геометрии по этому вопросу на русском языке имеется довольно обширная литература (частично указанная в библиографическом указателе в конце книги). Однако и здесь изложение авторов во многом настолько нешаблонно, что может оказаться интересным даже и для довольно квалифицированного читателя; для менее же квалифицированного оно представляет собой одну из лучших возможностей овладеть предметом благодаря обилию геометрических деталей и большому количеству интересных задач.

Наиболее интересна в книге ее четвертая глава, в значительной своей части группирующаяся вокруг вопросов, связанных с известной IV проблемой Гильберта, требующей указать все такие метризации проективного пространства (или некоторой области проективного пространства), в которых прямая является кратчайшим расстоянием между двумя точками. Эта глава может представлять серьезный интерес даже для специалистов-геометров, так как материал ее весьма мало затрагивался ранее в монографической литературе. При этом большая сложность рассматриваемых вопросов почти не отражается на характере изложения, которое и здесь сохраняет ту же степень элементарности. Правда, в этой главе авторам не удалось обойтись совсем без ссылок на журнальные статьи; однако эти немногочисленные ссылки не могут затруднить чтение книги, так как все нужные результаты каждый раз достаточно подробно формулируются.

Наконец, последняя, шестая, глава книги посвящена перенесению материала предыдущих глав на трехмерное пространство. При этом здесь главное внимание уделено понятиям и теоремам, не имеющим двумерных аналогов; доказательства же прочих теорем, как правило, предоставляются читателю. Подобное выделение "пространственной" геометрии в отдельную главу разгружает предшествующее изложение, а также дает читателю дополнительную возможность проверить степень своего овладения материалом.

В настоящем издании несколько дополнен список рекомендуемой литературы, помещенный в конце книги, поскольку указанные авторами сочинения в большинстве своем мало доступны русскому читателю. Кроме того, исправлены весьма многочисленные опечатки и мелкие ошибки американского издания.

Предисловие авторов

Предлагаемая книга значительно отличается по содержанию, методам и точке зрения от традиционных изложений предмета. Это отличие в значительной степени обусловливается изменением взглядов современных, в частности американских, математиков на геометрию. Хотя и неохотно, геометрам приходится все же признать, что красота синтетической геометрии утратила свою привлекательность для нового поколения. Причины этого понятны: не так давно синтетическая геометрия была единственной областью, в которой рассуждение вытекало строго из аксиом, между тем как теперь этот подход – столь существенный для многих интересующихся математикой – характерен и для ряда других областей. Кроме того большинство современных исследований относится к новым областям и лишь очень немногие – к синтетической геометрии. Есть еще и дополнительная причина, присущая больше Соединенным Штатам: отдельные, сами по себе привлекательные, частные результаты, которыми так изобилует проективная геометрия, в силу существующей тенденции считать степень общности единственным критерием значимости, не ценятся должным образом в математике, исключая лишь очень немногие ее области, такие, как теория чисел.

Тем не менее основные результаты и даже большая часть методов проективной и неэвклидовой геометрии для геометра так же необходимы, как дифференциальное и интегральное исчисления для аналитика. Настоящая книга представляет собой попытку подчеркнуть это обстоятельство. Многие специальные термины, как "полный четырехсторонник" или "трилинейная полярная корреляция", в ней не встретятся, и часто целая цепь прекрасных теорем представлена только одним единственным примером. Сравнительно много частных результатов рассматривается только в том случае, когда они необходимы для того, чтобы дать почувствовать предмет, как в параграфе, посвященном синтетической гиперболической геометрии, или же когда они иллюстрируют общий метод, как в параграфе о линейных геометрических местах прямых.

С другой стороны, больше места, чем обычно, отведено рассмотрению основных понятий расстояния, движения, площади и перпендикулярности. Путь к неэвклидовым геометриям в этой книге идет от общих метрических пространств и проблемы Гильберта об определении таких геометрий, в которых прямые являются кратчайшими среди линий, соединяющих две точки. Конечно, общая проблема здесь только формулируется, но это естественно приводит к изучению геометрий, отличных от эвклидовой и от двух неэвклидовых, и, таким образом, к современной точке зрения, с которой три классические геометрии рассматриваются как очень специальные и тесно связанные между собой случаи общих геометрических структур. Опыт работы со студентами показал, что при таком построении предмета некоторые обстоятельства, представляющиеся специалисту очевидными, как например единственность эвклидовой геометрии, требуют подробного рассмотрения.

Так как число часов, отводимых на изучение геометрии, теперь меньше, чем прежде, то много материала пришлось опустить. Предыдущие замечания объясняют, почему были принесены в жертву многие частные результаты, а также и весь синтетический подход к предмету. Используя с самого начала координаты и перемежая геометрические и алгебраические или аналитические методы, мы надеялись развить способность переходить с алгебраического на геометрический язык и обратно, недостаток которой, к сожалению, часто ощущается. Вместо того чтобы избегать какого-либо смешения различных областей, мы предпочитали применять методы других отраслей каждый раз, когда они казались более эффективными или допускающими более естественный подход. Те же соображения обусловливают разнообразие в методах доказательств. Общей целью было воспрепятствовать созданию впечатления о геометрии как об изолированном и статичном предмете и представить ее методы и основное содержание как часть современной математики.

Первые пять глав книги планировались как годовой курс. С самого начала предполагается знание теории линейных уравнений и элементов теории матриц. В главах IV и V, предназначенных для второго семестра, предполагается, что студент уже познакомился со строгими рассуждениями математического анализа и владеет е, S-методом. Понятие группы, хотя оно и широко используется, не предполагается известным, но развивается в той мере, в какой это необходимо.

В соответствии с большинством учебных планов математических специальностей эта книга представляется нам наиболее эффективной при использовании ее на старших курсах, хотя возможны и другие варианты.

Для того чтобы подчеркнуть связность изложения и не выпячивать роль задач, упражнения отнесены в конец каждой главы. Они предназначены для того, чтобы помочь в овладении понятиями и методами, и, как правило, не шаблонны.

Последняя глава носит иной характер, так как она написана для более подготовленного читателя, уже хорошо овладевшего предыдущим материалом. Здесь нет специально подобранных задач, но зато доказательства многих теорем и большинства обобщений, связанных с переходом от двух к трем измерениям, предоставлены инициативе изучающего. В этой главе также гораздо меньше чертежей, чем в предыдущих, так как мы полагаем, что читатель лучше усвоит предмет, если он будет делать свои собственные наброски. Как по выбору материала, так и по характеру его изложения глава VI представляется нам вполне пригодной для изучения в семинарском порядке.

Мы надеемся, что настоящая книга даст читателю новый взгляд на его геометрическое прошлое и хорошо его подготовит для восприятия его геометрического будущего, каковым может быть классическая дифференциальная геометрия, а также риманова геометрия и некоторые другие ветви современной геометрии. Вместе с тем он будет понимать внутреннюю ценность проективных методов и, быть может, почувствует потребность познакомиться с аксиоматическим подходом, что можно сделать, например, по книге Веблена и Юнга [З], или даже пожелает насладиться чтением некоторых старомодных книг, таких, как книги Рейе [13] и Дарбу [6].