|
Оглавление
Введение
Оптимальное управление и вариационное исчисление являются одним из основных аппаратных средств теории управления. Успешное применение этой теории для решения многих важных прикладных задач обусловило ее бурное развитие. Наиболее завершенных разделом теории оптимального управления являются необходимые условия экстремума, основу которых составляет принцип максимума Л.С.Понтрягина. Однако применение принципа максимума для решения конкретных классов задач требует искусства, а во многих случаях и разработки специальной техники. К примеру, при создании численных методов решения задач оптимального управления из-за сложностей решения краевой задачи для системы дифференциальных уравнений, возникающей в результате применения принципа максимума, чаще отдается предпочтение методам, восходящим к прямым методам вариационного исчисления или синтезирующим эти методы с принципом максимума, но не эксплуатирующим непосредственно необходимые условия. Принцип максимума допускает сложное поведение оптимальных траекторий, но в большинстве случаев не предоставляет средств, чтобы учесть это поведение при решении конкретных задач. Поэтому возникает необходимость в разработке методов точного определения оптимальных траекторий, учитывающих по возможности все богатство поведения решений задач оптимального управления. Целью данной работы является разработка метода продолжения оптимальных траекторий, основанного на выделении специальных классов задач (в работе они называются локальными вариационными задачами), которые можно исследовать до конца, и создании аппарата последовательного восстановления оптимальных траекторий, заключающегося в выявлении особенностей вдоль продолжаемого решения, и сведении их к исследованию локальных вариационных задач. Между методом продолжения оптимальных траекторий в вариационном исчислении и оптимальном управлении и теорией обыкновенных дифференциальных уравнений существует следующая аналогия. В теории дифференциальных уравнений базовое значение имеет задача Коши, для которой можно не только устанавливать факты существования, но и проводить конструктивное исследование решения (для произвольных краевых задач столь общих фактов установить не удается). Это достигается благодаря тому, что задача Коши имеет локальный характер – то есть рассматривается в малой окрестности начальной точки. В оптимальном управлении тоже можно формировать локальные вариационные задачи, если исключить из рассмотрения функциональные ограничения. То есть рассматривать, вообще говоря, задачи со смешанными локальными ограничениями (ограничениями на функцию управления), с фиксированным временем и незакрепленным правым концом. Параметризация отрезка времени, на котором задача определена, и возможность ее исследования в окрестности начальной точки позволяет подойти вплотную к проблеме существования решения и построить конструктивные алгоритмы исследования особенностей поведения оптимальных траекторий. В силу вышесказанного метод продолжения оптимальных траекторий предполагает следующую иерархию задач оптимального управления: первой в этой иерархии является уже упомянутая задача со смешанными локальными ограничениями, с фиксированным временем и незакрепленным правым концом; затем можно перейти к задаче, в которой добавлены условия на правый конец и функциональные ограничения; и последней в этой иерархии будет задача, в которой присутствуют все указанные выше ограничения и время не закреплено. В работе используется аппарат математического программирования, теории дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории многозначных отображений, дифференциальной геометрии. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||