URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение
Id: 29805
 
239 руб.

Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. Изд.2, испр.

URSS. 2006. 208 с. Мягкая обложка. ISBN 5-484-00183-8. Уценка. Состояние: 5-. Блок текста: 5. Обложка: 5-.

 Аннотация

В основу настоящего учебного пособия легли лекции, которые выдающийся ученый, педагог, популяризатор науки Юлий Александрович Данилов читал на химическом факультете МГУ им.М.В.Ломоносова, на "Нелинейных днях для молодых" в СГУ им. Н.Г.Чернышевского, а также в МИФИ и университетах Западной Европы. В пособии подробно изложены дискретные отображения и теория непрерывных систем, хаотическое поведение, фрактальная теория и степенные законы, синергетика и эргодическая теория.

Отличительной особенностью курса является конкретность (доведение формул до вида, удобного для практических расчетов) и точное изложение основных понятий, обычно приводимых без определений.

Для студентов и аспирантов физико-математических, биологических и химических специальностей, а также для всех, кто интересуется современным состоянием науки о поведении сложных систем различной природы (от физических до социальных, экономических и т.п.).


 Оглавление

От редакции
Предисловие. Ясность, красота, гармония (Г.Г.Малинецкий)
Лекция 1. Что такое нелинейная динамика?
 Введение
 Принцип суперпозиции
 Нелинейное мышление Л.И.Мандельштама
 Дискретные отображения
 Наследственные свойства итераций
 k-цикл
 Треугольное отображение
 Сдвиги Бернулли
 Вопросы и упражнения к лекции 1
Лекция 2. Квадратичное отображение
 Квадратичное отображение
 Неподвижные точки
 Устойчивость неподвижной точки
 Экстремум
 Универсальности Фейгенбаума
 Порядок Шарковского
 Двумерные дискретные отображения. Кошка Арнольда
 Гиперболичность
 Неподвижные точки отображения "кошка Арнольда"
 Топологически сопряженные отображения
 Вопросы и упражнения к лекции 2
Лекция 3. Непрерывные системы
 Сечение Пуанкаре
 Индекс Пуанкаре
 Остов фазового портрета
 Система Лоренца
 Свойства системы Лоренца
 Неподвижные точки системы Лоренца
 Устойчивость по Ляпунову
 Вопросы и упражнения к лекции 3
Лекция 4. Еще один взгляд на систему Э.Лоренца
 Качественные признаки хаоса
 Количественные меры хаоса
 Показатель Ляпунова
 Примеры вычисления показателя Ляпунова
 Вопросы и упражнения к лекции 4
Лекция 5. Количественные меры хаоса
 Инвариантная плотность
 Корреляционная функция
 Фрактальные размерности
 Что же такое фрактал?
 Размерность Хаусдорфа--Безиковича
 Размерности Реньи
 Вопросы и упражнения к лекции 5
Лекция 6. Количественные меры хаоса (продолжение)
 Топологическая сопряженность
 Эмпирические фрактальные размерности
 Гипотеза Х.А.Лоренца и спектральная размерность
 Вопросы и задачи к лекции 6
Лекция 7. Геометрически регулярные фракталы
 Канторовская пыль
 Ломаная и снежинка фон Коха
 Салфетка Серпинского
 Ковер Серпинского
 Трехмерный аналог салфетки Серпинского
 Губка Серпинского
 Вопросы и упражнения к лекции 7
Лекция 8. Мультифракталы
 Условие Липшица
 Вопросы и упражнения к лекции 8
Лекция 9. Процессы на фрактальных средах
 Диффузия
 Производная и интеграл дробного порядка
 Интеграл дробного порядка
 Оператор отражения
 Волновые процессы во фрактальных средах
 Колебания во фрактальной среде
 Моделирование траектории броуновской частицы
 Вопросы и упражнения к лекции 9
Лекция 10. Подобие и аффинные преобразования
 Преобразование подобия
 Аффинные преобразования
 Последовательность Морса--Туэ
 Анализ размерности
 Автомодельные решения
 Уравнение теплопроводности (диффузии)
 Уравнение Бюргерса
 Уравнение Кортевега--де Фриса
 Вопросы и упражнения к лекции 10
Лекция 11. Метод Софуса Ли
 Теория продолжения
 Первое продолжение
 Второе продолжение
 Вопросы и упражнения к лекции 11
Лекция 12. Метод Софуса Ли (продолжение)
 Эргодичность и перемешивание
 Вопросы и упражнения к лекции 12
Лекция 13. Солитоны
 Данные рассеяния
 Вопросы и упражнения к лекции 13
Лекция 14. КАМ-теория
 Интегрируемая гамильтонова система
 Гармонический осциллятор
 Возмущение интегрируемого гамильтониана
 Гомоклинический хаос
 Вопросы и упражнения к лекции 14
Литература

 Из лекции 1. Что такое нелинейная динамика?


Введение

Нелинейная динамика -- раздел современной математики, занимающийся исследованием нелинейных динамических систем.

Под динамической системой условились понимать систему любой природы (физическую, химическую, биологическую, социальную, экономическую и т.д.), состояние которой изменяется (дискретно или непрерывно) во времени.

Нелинейная динамика использует при изучении систем нелинейные модели -- чаще всего дифференциальные уравнения и дискретные отображения.

Дать точное определение того, что составляет предмет нелинейной динамики ничуть не легче, чем определить, что составляет предмет теории колебаний. Перефразируя Л.И.Мандельштама ("Лекции по теории колебаний"), можно сказать, что "было бы бесплодным педантизмом стараться "точно" определить, какими именно процессами занимается теория колебаний. Важно не это. Важно выделить руководящие идеи, основные общие закономерности".

Следует подчеркнуть, что нелинейной называется теория, в частности нелинейная теория динамических систем, использующая нелинейные математические модели. Но нелинейная теория не обязательно ограничивается изучением нелинейных явлений или закономерностей.

Мир нелинейных закономерностей, или функций, так же, как и стоящий за ним мир нелинейных явлений, страшит, покоряет и неотразимо манит своим неисчерпаемым разнообразием. Здесь нет места чинному стандарту, здесь безраздельно господствует изменчивость и буйство форм. То, что точно схватывает и передает характерные особенности одного класса нелинейных функций, ничего не говорит даже о простейших особенностях типичного представителя нелинейных функций другого класса. Геометрический образ нелинейной функции -- кривая на плоскости, искривленная поверхность или гиперповерхность в пространстве трех или большего числа измерений. На одинаковые приращения независимой переменной одна и та же нелинейная функция откликается по-разному в зависимости от того, какому значению независимой переменной придается приращение. Почти полным "безразличием" к изменению одних и повышенной чувствительностью к изменению других значений независимой переменной нелинейные функции разительно контрастируют с линейными функциями. Любая линейная функция откликается на приращение независимой переменной одним и тем же приращением своего значения, в какой бы части области определения ни находилось то значение независимой переменной, которой придается приращение. Именно здесь и проходит демаркационная линия между миром линейных и нелинейных явлений.

Границу между линейными и нелинейными теориями принято проводить по иному признаку. Теория считается линейной или нелинейной в зависимости от того, какой -- линейный или нелинейный -- математический аппарат, какие -- линейные или нелинейные -- математические модели она использует.

Физики прошлого пребывали в уверенности, что именно линейная теория дает главный член бесконечного ряда последовательных приближений к истине, а нелинейности отводится скромная роль косметики на прекрасном лике линейной теории, вместилища всевозможных поправок, не меняющих сколько-нибудь существенно выводы линейной теории. Их уверенность в этом укрепляли блестящие успехи линейной теории, и в первую очередь, ее высшее достижение -- электродинамика Максвелла.

Отпечаток распространенного некогда заблуждения относительно якобы главенствующей роли линейности в окружающем нас мире несет на себе сам термин "нелинейность": его создатели сочли первичной линейность, а нелинейность восприняли как нечто вторичное, производное от линейности, и определили через отрицание последней. Современный физик, доведись ему заново создавать определение столь важной сущности, как нелинейность, скорее всего, поступил бы иначе, и, отдав предпочтение нелинейности как более важной и распространенной из двух противоположностей, определил бы линейность как "не нелинейность". Доведенный усилиями не одного поколения математиков до высокой степени совершенства, линейный математический аппарат взят физиками на вооружение и до тонкости освоен так давно, что стал неотъемлемым элементом их математической культуры, вошел в плоть и кровь, обрел почти осязаемые формы в виде целой серии насыщенных яркими физическими идеями и образами сущностей, позволяющими физику, минуя тяготы вычислений, интуитивно предугадывать ответ.

Принцип суперпозиции

Неповторимая отличительная особенность линейной теории, безвозвратно утрачиваемая при переходе к нелинейной ступени познания, -- принцип суперпозиции -- позволяет физику конструировать любое решение из определенного набора частных решений.

Физики, делавшие первые, еще неуверенные шаги в области нелинейного, где все было "не так", все противоречило устоявшимся линейным представлениям и линейной интуиции, питали надежду, что милый их сердцу линейный математический аппарат путем различного рода ухищрений удастся приспособить к решению новых нелинейных задач. Тех, кто так полагал, ожидало разочарование: линейный математический аппарат отторгал чужеродную ткань нелинейных дополнений. "Искусственная линеаризация" оказывалась малоэффективной, "большей частью ничему не научала, а иногда бывала прямо вредной" (Л.И.Мандельштам).

Нелинейное мышление Л.И.Мандельштама

Неправомерное перенесение линейного опыта на нелинейную почву не только лишено последовательности и наносит ущерб эстетической привлекательности теории (тем самым сигнализируя о нарушении сформулированного П.А.Дираком критерия математической красоты физической теории), но и чревато грубым искажением существа происходящих процессов. Руководствуясь показаниями ставшего ненадежным компаса линейной теории, нетрудно впасть в ошибку и проглядеть важный эффект, не имеющий линейных аналогов.

Уже на подступах к бескрайним просторам нелинейности исследователь, как правило, вынужден отказаться от линейных вех, способных скорее дезориентировать, чем указывать верное направление. Не располагая готовым математическим аппаратом или не успев выбрать подходящее оружие в обширном арсенале математических средств и методов, физик порой встает на путь своего рода "математического старательства" и принимается решать нелинейные проблемы "поштучно", используя их специфические индивидуальные особенности. Л.И.Мандельштам в предисловии к первому изданию знаменитой (и многострадальной) "Теории колебаний" А.А.Андронова, А.А.Витта и С.Э.Хайкина писал:

Тот путь, конечно, сам по себе правилен. Идя по нему, ряд исследователей получил весьма ценные результаты, сохранившие свое значение и в настоящее время. И сейчас, иногда, удобно в том или ином случае идти по этому пути.

Но не говоря уже о том, что фактически такие решения разрозненных отдельных задач не имели достаточного математического обоснования, весь этот путь в качестве, так сказать, большой дороги вряд ли целесообразен, так как он не ведет к установлению тех общих точек зрения, той базы, как математической, так и физической, которая необходима для достаточно полного и всестороннего охвата области нелинейных колебаний в уже известной нам ее части, и, что еще важнее, для успешного дальнейшего планомерного развития.

Выделенные курсивом слова "нелинейных колебаний" не уменьшают общности утверждения. Их следует читать как "нелинейной физики", ведь они принадлежат Л.И.Мандельштаму.

Чтобы не влачить жалкое существование приживалки линейной теории и не быть низведенной до положения ученой хранительницы обширного собрания разрозненных решенных задач, нелинейная физика должна была обрести внутреннее единство и автономию от своей предшественницы -- линейной физики. Необходимо создать "нелинейную культуру, включающую надежный математический аппарат и физические представления, адекватные новым задачам, выработать нелинейную интуицию, годную там, где оказывается непригодной интуиция, выработанная на линейных задачах" (А.А.Андронов).

Основоположником и создателем нелинейного физического мышления стал замечательный физик -- академик Л.И.Мандельштам.

Итак, приступаем к изучению математических моделей нелинейной динамики. Начнем мы с простейших моделей -- дискретных отображений.


 Об авторе

Юлий Александрович Данилов (1936--2003) -- одна из наиболее ярких фигур отечественной синергетики, специалист в области математической физики и инвариантно-группового анализа. В течение нескольких десятилетий был одним из руководителей Московского семинара по синергетике, сыгравшего огромную роль в становлении этого междисциплинарного подхода в России. Блестящий переводчик, педагог, популяризатор науки, член редакционных коллегий журналов "Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика" и "Квант".

Ю.А.Данилов в 1963 г. окончил механико-математический факультет МГУ им.М.В.Ломоносова. Вся его творческая жизнь прошла в теоретическом отделе отделения молекулярной физики Института атомной энергии им.И.В.Курчатова. Он обладал уникальной способностью аккумулировать знания, владел более чем 20 языками и перевел на русский язык 110 книг по математике, физике, истории науки. В сфере интересов Ю.А.Данилова была также история развития естествознания. Он одним из первых стал пропагандировать новое направление в научном мире -- синергетику, и включился в поиск законов самоорганизации, описываемых едиными уравнениями в физике, химии, биологии, социологии, медицине.

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце