Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА И ХАОС:
Основные понятия. (Игры со сложностью. Язык нелинейной динамики. Устойчивость, бифуркации неподвижных точек и инвариантная мера динамических систем). Изд. стереотип.

Оглавление

Из предисловия, или игры со сложностью

Эта книга посвящена ключевым концепциям и нескольким новым идеям нелинейной динамики – широко обсуждаемого и используемого междисциплинарного подхода. Естественно было бы в начале книги упомянуть предшествующие работы и перейти к анализу конкретных проблем и теорий. Однако состояние области исследований, все чаще называемой нелинейной наукой, и ее перспективы, на наш взгляд, требуют вначале обратить внимание на некоторые общие вопросы. Это позволит увидеть за отдельными деревьями лес, оценить место обсуждаемых задач в общем контексте, развеять иллюзию ясности, простоты и оптимизма там, где для этого нет оснований.

Легко и приятно писать про новую, молодую научную дисциплину, которая может с легкостью раздавать обещания, делиться надеждами, не задумываться о своих пределах, внутренней логике, принципиальных ограничениях. Именно в таком стиле обычно писали о синергетике – теории самоорганизации – и нелинейной динамике в последние двадцать лет. Однако положение дел меняется.

Нелинейная наука выглядит сейчас как общепризнанная, перспективная, респектабельная область. Регулярно проводятся десятки научных конференций, шпрингеровская серия по синергетике подошла к стотомному рубежу. Портфели журналов "Physica D. Nonlinear Phenomena", "Nonlinearity", "Chaos", "Прикладная нелинейная динамика", "Physical Review E" и других изданий, целиком посвященных нелинейной науке, заполнены научными материалами. "Успехи физических наук", "Журнал экспериментальной и теоретической физики", "Успехи математических наук" и "Журнал вычислительной математики и математической физики", не говоря уже о "Physical Review Letters", "Physics Letters", "Journal of Statistical Physics", охотно публикуют "нелинейные" статьи.

Специалисты по синергетике входят в моду и становятся популярны. Их приглашают журналисты и банкиры, политики и администраторы. Даже в "Парке юрского периода" глубокая мысль о том, что прежде чем что-то сделать, надо хорошенько подумать, вложена в уста специалиста по нелинейной динамике. Главные синергетики регулярно собираются на "рабочие группы" и обсуждают, как выращивать юных синергетиков.

Несмотря на все это, идеи, методы и алгоритмы нелинейной динамики иногда успешно применяются в радиоэлектронике, медицине, биофизике, химических технологиях, психологии и еще в десятках других областей. Можно надеяться, что этот очень полезный для любого междисциплинарного подхода рост "вширь" будет продолжаться еще много лет. Однако рост "вглубь" столкнулся с серьезными трудностями, которые сейчас представляются принципиальными, а не техническими. Посмотрим на них "с птичьего полета", отвлекаясь от множества конкретных деталей.

Время оправдывать надежды

Анри Пуанкаре в начале века обратил внимание на то, что в развитии большинства наук наблюдается два противоположных процесса. То вдруг исследования позволяют увидеть за сложностью, многообразием, обилием фактов и гипотез внутреннюю логику, ясность и простоту (типичный пример из истории науки – возникновение химии из алхимии). То вдруг за простейшими, очевидными, твердо установленными вещами обнаруживается глубина и сложность. Наверно, возраст любого научного подхода можно оценивать по числу таких поворотов. Два таких поворота можно увидеть и в нелинейной динамике.

Грубо в предшествующем развитии синергетики можно выделить два периода, две парадигмы. Первый период условно можно назвать "эпохой диссипативных структур". В эту эпоху удивлялись, начина с А.Тьюринга, тому, что сложные системы могут вести себ просто. В пространственно-распределенных системах, потенциально обладающих бесконечным числом степеней свободы, происходит самоорганизация – выделение небольшого числа переменных, параметров порядка, определяющих динамику всей системы.

* * *

Любимые символы эпохи – система "реакция – диффузия", неустойчивость Тьюринга, ячейки Бенара, проблема морфогенеза, модель брюсселятора, спиральные волны. (Читателя, который впервые читает книгу по синергетике, не должны смущать эти названия. С заоблачных высот мы скоро спустимся на землю и обсудим основные понятия последовательно и подробно.) В этот период за такими явлениями, как возникновение колебательных химических реакций или спонтанное появление упорядоченности в открытых гидродинамических системах, в задачах физики плазмы, в нелинейной оптике и динамике популяций, удалось увидеть общие механизмы. Их описание было дано с помощью близких моделей и одних и тех же математических структур. За внешним многообразием и сложностью открылась общность и внутренняя простота. Оказалось, что о многих открытых, далеких от равновесия системах следует спрашивать, "что произойдет в конце концов на больших характерных временах?" Математическими образами таких устойчивых, предельных режимов явились притягивающие множества в фазовом пространстве или аттракторы. При этом простейшим аттракторам – неподвижным точкам – соответствуют стационарные, не меняющиеся со временем структуры, более сложным – предельным циклам – различные периодические, волновые режимы.

Принципиальным оказалось наличие диссипативных процессов (вязкости, диффузии, теплопроводности). Они позволяли исследуемым системам "забыть" начальные данные и независимо от их "деталей" сформировать с течением времени одни и те же или похожие стационарные распределения изучаемых переменных. Иными словами, немного (а иногда и сильно) изменив начальный профиль, в конце мы обычно получаем то же самое стационарное распределение переменных. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, данные структуры, с легкой руки И.Р.Пригожина, стали называть диссипативными структурами.

Типичная постановка задачи в этот период – выяснить, как меняется число и конфигурация возникающих структур при изменении какого-нибудь внешнего параметра и начальных данных. Эту задачу стали называть построением бифуркационной диаграммы. При этом под самим термином бифуркация подразумевали изменение числа или устойчивости решений определенного типа. Простота заключалась в том, что:

– упрощенными математическими моделями различных процессов оказались одни и те же уравнения;

– хотя процессы в исследуемых системах разворачивались во времени и в пространстве и описывались уравнениями в частных производных, качественное поведение удавалось понять с помощью простейших динамических систем (обычно с помощью одного–двух обыкновенных дифференциальных уравнений);

– множество различных нелинейных процессов и неустойчивостей оказались воплощением одних и тех же простейших бифуркаций.

Математическим аппаратом нелинейной динамики на этом этапе были качественна теория и теория бифуркаций динамических систем на плоскости. Эти разделы математики интенсивно разрабатывались с начала века и к 70-м годам были хорошо поняты научным сообществом. Они долго и успешно применялись в теории колебаний. Это, не в последнюю очередь, обеспечило первые успехи синергетики и быстро пришедшую к ней популярность.

Синергетика развивалась настолько быстро и успешно, что за какие-то 5–7 лет превратилась из занятия физиков-теоретиков в объект интереса ученых из разных областей естественных наук, инициировала постановку ряда оригинальных экспериментов. Однако со временем выяснилось, что число систем, где можно наблюдать "в сравнительно чистом виде" предсказываемые диссипативные структуры, весьма невелико. Более того, поиск диссипативных структур во многих интересных физических системах, не говоря уже о прикладных задачах, зачастую требовал учета многих других усложняющих картину явлений, нелинейных эффектов. Явления, аналогичные в главном, на качественном уровне, оказывались различными в деталях, что обнаруживалось при более глубоком и точном исследовании.

Прежде чем взглянуть на вопросы, которые оставил в наследство этот этап развития, и пойти дальше, мы хотим предостеречь читателя. Как-то один студент объяснил авторам этой книги, что "синергетики уже прошли диссипативные структуры и сейчас надо заниматься другими задачами". Пришлось напомнить ему про известный разговор Эйнштейна со школьницей. Девочка выразила искреннее удивление, что такой взрослый дядя может заниматься физикой, которую они уже прошли год назад. Вопрос, что "прошла" данная область науки, а что – нет, совсем не так очевиден, как казалось нашему собеседнику.

Например, сейчас многие области физики "открывают для себя" явление самоорганизации и процессы формирования диссипативных структур. В частности, многие эксперты полагают, что создание приборов с использованием нанопроводов, оптико-электронных систем на квантовых точках, одноэлектронных приборов потребует нового поколения технологий, использующих пространственную самоорганизацию, самоформирование и другие нелинейные эффекты. Открытое и объясненное в последние годы в лазерной термохимии явление возникновения стержневых структур при движении по поверхности окисляющегося материала лазерного луча постоянной интенсивности также находится в рамках обрисованной парадигмы нелинейной динамики. Сюда можно отнести и недавно появившиеся задачи – проекты ускорения элементарных частиц в кильватере мощной электромагнитной волны. Или теорию мощных атмосферных вихрей, объясняющую нелинейные эффекты, наблюдавшиеся при столкновении кометы Шумейкера–Леви с Юпитером в 1994 г. Прекрасно, что об этих явлениях можно говорить на языке, десяток лет назад выработанном нелинейной динамикой, опираться на сформулированные ранее понятия и базовые математические модели. Более того, успешная реализация какого-либо из упомянутых проектов может изменить и само направление нелинейной динамики, поставить новые фундаментальные задачи. И с этой точки зрения, самоорганизацию, диссипативные структуры, параметры порядка никак нельзя назвать "пройденным материалом".

Однако специалистов по синергетике, как, вероятно, и теоретиков в других областях, интересует прежде всего, до каких пределов можно продвинуться в ранее выбранном направлении и где нужны новые идеи и теории.

Эра диссипативных структур оставила в наследство нелинейной науке несколько сложных вопросов.

Каковы условия самоорганизации? При каких условиях процессы в нелинейных средах, описываемые уравнениями в частных производных, в строгом смысле, а не на физическом уровне строгости, определяются конечномерной динамической системой (скажем, системой конечного числа обыкновенных дифференциальных уравнений)? Какие переменные в конкретных случаях оказываются параметрами порядка?

Ответ на сформулированные вопросы и строгое обоснование концепции параметров порядка стали одним из главных успехов последнего десятилетия. Этот ответ, который дает теория инерциальных многообразий, мы обсудим в настоящей книге.

* * *

Следующий период в развитии нелинейной динамики условно можно назвать периодом динамического хаоса. В эту эпоху удивлялись тому, что простые динамические системы могут вести себя сложно. Исходя из анализа простейших динамических систем с несколькими степенями свободы, были поняты принципиальные ограничения на получение динамического прогноза. Это позволило поставить задачу определения пределов предсказуемости для различных нелинейных процессов.

На рубеже XIX в. великий французский математик и астроном П.Лаплас утверждал, говоря современным языком, что располагая достаточно мощной вычислительной техникой, можно заглянуть вперед и назад как угодно далеко. Нелинейная динамика показала, что это не так, и помогла оценить горизонт прогноза для конкретных систем.

Другими словами, одним из ключевых понятий на этом этапе стала чувствительность к начальным данным – экспоненциальное (в среднем) разбегание двух бесконечно близких траекторий для класса хаотических аттракторов (см. рис.1.2). Скорость этого разбегания определяется старшим ляпуновским показателем, а скорость "расползания" большого количества бесконечно близких траекторий – колмогоровской, или метрической энтропией динамической системы. В силу чувствительности к начальным данным нельзя сравнивать траекторию объекта и модели (пусть даже идеальной) "поточечно", на одни и те же моменты времени – сколь угодно малая ошибка в начальных данных будет экспоненциально нарастать и спустя некоторое время мы обнаружим, что модель в сравнении с объектом "пошла другим путем". Поэтому либо приходится ограничиватьс кратковременными прогнозами, либо изыскивать адекватные способы сравнени поведения модели и объекта. Одним из них может быть использование некоторых функционалов от траектории, так называемых количественных характеристик хаоса. И.Пригожин и И.Стенгерс, например, полагают, что для хаотических систем "траектория" есть величина невоспроизводимая, а потому несущественная, а важной и измеримой характеристикой становится вероятность обнаружения траектории в той или иной области, т.е. инвариантная мера динамической системы.

В центре внимания исследователей оказались методы анализа временных рядов, проблема сравнения теории и эксперимента, задачи построения прогнозирующих систем, определение законов движения объекта по ряду наблюдений.

И здесь вновь возникло несколько глубоких принципиальных вопросов. Из них наиболее важными представляются следующие (к ним мы будем не раз возвращатьс в этой книге).

Алгоритмы определения количественных характеристик хаоса, построения предсказывающих систем, извлечения динамики из ряда наблюдений достаточно "капризны". Они требуют большой выборки весьма точных измерений предшествующих состояний объекта. Живые существа такими данными для обучени не располагают, поэтому неясно, как им удается эффективно ориентироватьс в быстро меняющейся обстановке. Это особенно удивительно, когда предшествующий опыт невелик и ранее не было возможности действовать методом проб и ошибок. Другими словами, у нас возник класс задач, очень сложный для компьютеров (или, по крайней мере, для разработчиков алгоритмов) и сравнительно легко решаемый биологическими объектами.

С другой стороны, большинство алгоритмов анализа данных, использующих представления нелинейной динамики, эффективны, когда размерность фазового пространства системы невелика. Как заметил один известный специалист, "все алгоритмы хорошо работают только для системы Лоренца". Как следует действовать в случае систем большой размерности? Как продвинуться от простейших модельных задач теории динамического хаоса к реальности?

Символами этой эпохи стали логистическое отображение, система Лоренца, канторово множество, теория универсальности.

Возникло странное противоречие между красивыми и ясными общими представлениями нелинейной динамики и трудностью приложения развитых алгоритмов и теорий к исследованию многих открытых нелинейных систем. Противоречие гораздо более острое, чем в физике или химии. За простоту и общность идей синергетики сейчас приходится платить высокую цену. От "теории всего" – каковой некоторые гуманитарии представляют себе синергетику – не приходится ждать конкретных результатов и методов. Сложившуюся ситуацию можно пояснить, исход из тринитарного подхода, развиваемого в нашей стране Р.Г.Баранцевым. В соответствии с ним достаточно сложные объекты не укладываются в черно-белую схему дуальных категорий (горячо – холодно, плохо – хорошо), а требуют привлечения триад (например, рацио – эмоцио – интуицио, простота – точность – область приложимости и т.д.). При этом одна категория выступает в качестве своеобразного оппонента двух других. Например, чем больше простота и шире область приложений, тем меньше точность и конкретность. Это именно та ситуация, с которой столкнулась синергетика. Ряд исследователей экстраполирует такую тенденцию и всерьез полагает, что синергетика должна получить статус философской теории, а может быть даже заменить диалектику. Однако те, кто хочет по-прежнему видеть синергетику на твердом естественнонаучном основании и полагают, что философи науки не должна становиться главной частью последней, все чаще склоняютс к мыслям о новой парадигме синергетики, пусть не столь общей и простой, но зато более конкретной и глубокой.

Одним из главных результатов предшествующего развития нелинейной динамики, по-видимому, является создание "языка", на котором можно описывать многие нелинейные явления. К нему следует отнести новые понятия, вобравшие в себя опыт исследования многих конкретных систем – "аттракторы", "диссипативные структуры", "области притяжения", "кризисы", "режимы с обострением", "параметры порядка", "инерциальные формы" и другие. Его частью являются базовые математические модели – подкова Смейла, отображение Хенона, система Лоренца, логистическое отображение, уравнение Макей–Гласса и другие замечательные объекты. Зная, как они устроены, можно предполагать, как ведет себя исследуемая система. Особенно важен возникший набор вопросов, которые нелинейная наука советует задавать, исходя из накопленного опыта относительно новых явлений. Постановка компьютерных или натурных экспериментов, исходя из общих представлений, почему это интересно, очень часто оправдывала себя в последние десятилетия.

Иногда у студентов и аспирантов возникает ощущение, что "математики все это давно знали". И действительно, взяв книгу П.Халмоша по эргодической теории или работу Э.Хопфа о рассеивающих биллиардах, выполненные задолго до эры динамического хаоса, невольно удивляешься, как много было известно и впоследствии переоткрыто. И тем не менее мир проблем, который открылс с возникновением нелинейной науки, оказался гораздо шире тех задач, которые ставили перед собой предшествующие математические теории. Нелинейная наука, разумеется, вбирает их представления и методы, но совсем не сводится к ним. Во многом это обусловлено широким использованием компьютерного моделирования. Результаты многих численных расчетов нередко оказывались парадоксальны и требовали новых идей и подходов. На их основе впоследствии удалось получить строгие математические результаты.

Этот язык настолько важен, что в этой книге его "буквам", "словам" и "фразам" уделено несколько глав. Рассказывая о сегодняшнем состоянии нелинейной науки, приходится опираться на эти понятия, а, заглядывая в будущее, нужно видеть, каких конструкций в нем не хватает. Хотя "мода" на диссипативные структуры и динамический хаос спадает, как ни странно, многие вопросы, относящиеся к ним, так и не были изложены, если не полно, то хотя бы ясно, системно и в одном месте. Поэтому тех, кто знакомится с синергетикой, часто удивляет, зачем нужно вводить многие понятия. С другой стороны, часть из того, что применяется, обычно не поясняют, считая, что читатель или слушатель все и так прочтет между строк. Некоторые книги, по выражению нашего коллеги, "вываливают большой объем информации, с которым непонятно что делать дальше: то ли стараться немедленно использовать, то ли поскорее забыть". Поэтому мы постарались в нескольких главах изложить минимальный скелет основной части нелинейной динамики, выбросив все, что можно, а также обратить внимание на литературу, в которой можно уточнить детали.

Специалистов по нелинейной динамике на конференциях последних лет можно сравнить с театральными режиссерами. Одни спектакли у них удались и отошли в прошлое, другие играются сейчас, но главные мысли – о будущем, о следующей парадигме.

Альберт Эйнштейн полагал, что для развития теории нужно "внешнее оправдание" – наличие вопросов о мире, задаваемых "извне", на которые она должна ответить, и "внутреннее совершенство" – следование внутренней логике той области, в которой строится теория. По-видимому, это можно отнести к научным парадигмам.

Новая парадигма. Внешнее оправдание

Прежде чем определить контуры новой парадигмы нелинейной динамики, ее возможные сверхзадачи, место в общенаучном контексте, взглянем на развитие науки в целом.

Прогноз Станислава Лема о замедлении темпов развития науки, об уменьшении ее социальной роли и об оценке ее обществом, сделанный в книге "Сумма технологии", оправдывается. Знание все реже связывают с силой, а науку – с производительной силой, как было еще лет 20 назад. И дело не только в том, что экспоненциальный рост числа ученых и затрат на науку, имевший место в 60-е годы, стабилизировался и вести исследовани по всему фронту интересных проблем оказалось невозможно, как и предсказывал Лем. На передний план вышли другие задачи, иной социальный заказ.

Наука стала важной областью технологии после того, как с конца XIX в. на ее основе началось стремительное совершенствование средств защиты и нападения. Радио и компьютеры, самолеты и космические корабли развивались и применялись прежде всего в военном секторе экономики. Однако в большой степени эта задача исчерпала себя, многие высокоэффективные виды оружия снимаются с вооружения и уничтожаются, началась "гонка разоружения". Разумеется, противоборство продолжается, но его научная компонента стала гораздо меньше, чем раньше.

С другой стороны, производство товаров и технологий – другой заказчик науки – тоже изменилось. Ограниченность многих важнейших ресурсов сейчас диктует отказ от многих товаров, услуг, проектов. По-видимому, эта тенденци будет нарастать.

При этом возникли новые сферы научной активности. Это широкий круг проблем, связанный с устойчивостью и безопасностью развития. Глобальные изменения климата, экологической ситуации, техносферы, экономики и других ключевых систем показали неготовность современной науки отвечать на многие кардинальные вопросы. Большинство из них связаны с коллективным поведением и с прогнозом поведения сложных систем в различных условиях. Поэтому нелинейна динамика здесь может сыграть важную роль.

Специализация науки, ее прикладные успехи в XX в. имели ряд побочных последствий. Возникла своеобразная цеховая раздробленность – непонимание и незнание специалистами происходящего даже в смежных областях, отсутствие научной картины мира. Это оказывает сдерживающее влияние на развитие самой науки – многое переоткрывается в соседних областях, а многие проекты выполняются в контексте, смысл которого к моменту окончания работы оказываетс утраченным. Отношение к ученым в обществе напоминает взгляд на средневековых ремесленников, нужных для того, чтобы производить разные товары. Научные школы все чаще перенимают дух цеховой замкнутости.

Один из создателей квантовой механики Е.Вигнер полагал, что есть два подхода к научному осмыслению мира, которые предлагаются, соответственно, физикой и психологией, между которыми не может быть переброшен мост. В такой утрате надежды на построение единой самосогласованной научной картины реальности он видел одно из принципиальных ограничений для развити самого научного знания.

Исходя из этого, особенно необходимой становится разработка междисциплинарных подходов. Поэтому нелинейная динамика, связанная с поиском единых механизмов в нелинейных явлениях различной природы, в физических, химических, биологических, социальных системах, выходит на первый план. Единство мира, с точки зрения этого подхода, проявляется в универсальности математических моделей, описывающих реальность, в возможности построить математическое описание данного явления с различной точностью с помощью одного набора "кубиков" – базовых моделей. Поэтому роль нелинейной науки в общенаучном контексте как "языка междисциплинарного общения" может оказаться очень большой.

В настоящее время цивилизация проходит очень крутой поворот. Меняются не только политические, экономические, социальные траектории отдельных стран, этносов, регионов, но и их исторические пути. Решения, которые принимаются сейчас, могут изменить сценарий развития, жизнь людей на много поколений вперед. Поэтому ключевой становится проблема выбора норм, целей, приоритетов, экономических, социальных, политических и иных технологий.

Цена принимаемых решений здесь очень велика. Например, по оценкам экспертов, последний кризис обойдется мировой экономике более чем в триллион долларов. Экономические реформы последних лет в России привели к тому, что страна, занимавшая второе место в мире по валовому внутреннему продукту, оказалась на пятнадцатой позиции.

Диапозон управляющих воздействий здесь также очень широк. Реализу идею устойчивого и безопасного развития, Швеция отказывается от атомной энергетики. Во Франции, где более 70% электроэнергии вырабатывается на АЭС, форсированное развитие этого сектора экономики, напротив, рассматривается как эффективный способ сохранения окружающей среды.

Возникает принципиальная общая задача построения альтернативных сценариев развития сложных, необратимо развивающихся систем. Эти проблемы тем более актуальны, поскольку приходится выбирать не между хорошим и лучшим, а между плохим и очень плохим вариантом.

Проблема "проектирования будущего", поиска устойчивых и безопасных траекторий развития имеет непосредственное отношение к нелинейной динамике. В самом деле, социально-технологические объекты представляют собой сложные иерархические системы, различные процессы в которых разворачиваютс на разных характерных временах. Степень их неустойчивости, их пределы предсказуемости также различны. В экономической системе горизонт прогноза резко уменьшился: если еще 15 лет назад нормой в мире было 5-летнее директивное или индикативное планирование, то сейчас об этом говорить не приходится. В мире становится все больше предложение "быстрых денег" и все меньше предложение "медленных". Но, с другой стороны, устойчивое развитие общества требует медленно меняющихся стратегических целей, шкалы общественных ценностей и норм, культуры и идеологии. Нужна техника, теории, формализм, который позволял бы анализировать возможную динамику таких "разновременных систем" и на этой основе направлять развитие.

Такие исследовательские программы, получившие название теоретической истории или исторической механики, активно обсуждаютс в последние годы. История выступает идеальным полигоном для тестирования, совершенствования и верификации таких методик. При этом следует отдавать себе отчет, что многие ситуации, альтернативы, возможные решения, возникающие сейчас, являются стандартными, каноническими, не раз разыгрывавшимися на исторических подмостках. В то время как другие оказываютс принципиально новыми, где опираться на исторические аналоги не приходится. Этот круг междисциплинарных, "плохо поставленных проблем", связанных с организацией общества и его перспективами является важнейшим "социальным заказом" и дл нелинейной динамики, и для всей современной науки.

Об авторах

Малинецкий Георгий Геннадьевич

Доктор физико-математических наук, профессор. Заведующий отделом математического моделирования нелинейных процессов Института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, профессор МФТИ, МГТУ, МосГУ и РУДН. Лауреат премии Правительства РФ в области образования. Один из ведущих специалистов в области нелинейной динамики, автор более 900 научных трудов и около 200 научно-популярных статей и книг, изданных в России и в США. Председатель редколлегий серий книг «Синергетика: от прошлого к будущему» и «Будущая Россия» (М.: URSS). Наиболее известные результаты — теория диффузионного хаоса, модели системы образования, исследовательский проект создания математической истории, проект создания Национальной системы научного мониторинга опасных явлений и процессов в природной, техногенной и социальной сферах.

Потапов Алексей Борисович

Доктор физико-математических наук, сотрудник Эдмонтонского университета (Канада).

Основные научные результаты связаны с созданием вычислительных алгоритмов, анализом временных рядов на основе методов нелинейной динамики. В настоящее время занимается математическим моделированием экономико-экологических систем с позиций оптимального управления ими.