URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Данилов Ю.А. Многочлены Чебышева
Id: 2872
 
197 руб.

Многочлены Чебышева. Изд.2

URSS. 2003. 160 с. Мягкая обложка. ISBN 5-354-00350-4.

 Аннотация

В настоящей книге в популярной форме рассказывается о замечательных свойствах многочленов Чебышева и их многочисленных применениях. Изложение начинается с оригинальных работ П.Л.Чебышева по теории механизмов и приближения функций и заканчивается описанием современного состояния теории наилучшего приближения функций.

Для широкого круга читателей, интересующихся математикой.


 Содержание

Введение. Что такое многочлен?
1. Известные под названием параллелограммов
 Чудаки -- математики?
 Как располагать средствами своими для достижения по возможности большей выгоды
 Параллелограмм Уатта
 Задачи на наибольшие и наименьшие значения
 Многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля
2. Многочлены Чебышева
 Формула Муавра
 Многочлены Чебышева первого рода
 Многочлены Чебышева первого рода и фигуры Лиссажу
 Формула Эйлера и многочлены Чебышева
 Нули многочленов Чебышева первого рода
 Коэффициент при старшем члене
 Четность многочленов Чебышева первого рода
 Уклонение от нуля
 Интервалы монотонности
 Производные многочленов Чебышева первого рода
 Рекуррентные соотношения
 Неравенства для производных
 Производящие функции
3. Многочлены Чебышева и ряды Фурье
 Чебышевский базис
 Чебышевское приближение
 Как опустить перпендикуляр из функции
 Связь с разложением Фурье
Заключение. Вездесущие и неисчерпаемые
Литература

 Заключение. Вездесущие и неисчерпаемые

Только кончая задуманное сочинение, мы уясняем себе, с чего нам следовало его начать.
Блез Паскаль. "Мысли"

Итак, окончен трудный и, надеемся, интересный путь. Мы подошли к концу нашей книги, но, разумеется, тема "Многочлены Чебышева" далеко не исчерпана: о них мы знаем теперь много больше, чем знали, но не все. Чудесные многочлены, родившиеся под мерный шум маховика паровой машины, мелькающие среди причудливых фигур Лиссажу на экранах осциллографов, поистине вездесущи, и как бы мы ни начали свой рассказ о них, у нас всегда останется в запасе множество других не менее привлекательных вариантов "зачина".

Свой рассказ о многочленах Чебышева мы могли бы начать, например, с того, как Ньютон, Грегори, Лагранж и другие пытались решить задачу об интерполяции функций, т.е. о построении приближения к ним на отрезке по значениям, принимаемым функциями в отдельных точках. При использовании равноотстоящих точек приближение даже "хорошей" функции обычными степенными многочленами наталкивается на значительные трудности. При увеличении числа точек n ошибки приближения не обязательно стремятся к нулю, хотя в выбранных точках приближающий многочлен совпадает с приближаемой функцией.

Например, при степенной интерполяции по равноотстоящим точкам на отрезке [-1, + 1] даже такой простой, казалось бы, функции, как у = 1/(1 +25x2), определенной вместе со всеми производными на всей вещественной оси, ошибка при увеличении числа точек n неограниченно возрастает всюду, кроме самих точек деления. Лишь при переходе к тригонометрическим многочленам удается построить равномерную интерполяцию по равноотстоящим точкам, т.е. найти приближение к заданной функции, дающее ошибку одного и того же порядка на всем отрезке. Многочлены Чебышева позволяют превратить тригонометрические многочлены в степенные, сохранив при этом равномерное приближение. В этом, в частности, проявляется глубокое внутреннее родство многочленов Чебышева с тригонометрическими многочленами и рядами Фурье.

Мы могли бы начать свой рассказ о многочленах Чебышева и с того, как во время второй мировой войны английский математик Гарри Бейтмен (1882--1946), работавший в США, занимался составлением справочника по специальным функциям (так в отличие от элементарных функций, с которыми мы знакомимся в школе, принято называть функции, возникающие при решении некоторых уравнений и требующие специального изучения). Бейтмен был блестящим знатоком специальных функций и знал о них все, что можно было и стоило знать. Все сведения о литературных источниках он заносил на карточки, которые хранил в коробках из-под ботинок. Дело быстро продвигалось, но довести задуманный проект до конца Бейтмен не успел. После его смерти сокращенный вариант проекта потребовал усилий трех выдающихся знатоков и целого штата технических сотрудников и вылился в издание трех томов "Высших трансцендентных функций" и двух томов "Интегральных преобразований".

Важное место в проекте Бейтмена отводилось ортогональным многочленам. Мы могли бы рассказать об их свойствах: о том, что каждый ортогональный многочлен степени n имеет внутри соответствующего отрезка [а, b] ровно n корней, что нули ортогональных многочленов с "соседними" номерами перемежаются, что все ортогональные многочлены четной степени четны, а все ортогональные многочлены нечетной степени нечетны; что нули их при n-->00 имеют одинаковое предельное распределение. Мы могли бы рассказать об универсальных, или всеобъемлющих, многочленах Якоби, частными случаями которых являются все ортогональные многочлены, в том числе и многочлены Чебышева.

Мы могли бы начать с истории о том, как в 1933 г. Геофизический институт обратился к известному советскому математику академику Н.Н.Лузину (1883--1950) с просьбой проанализировать широко применявшийся в то время метод предсказания погоды по данным метеорологических наблюдений, собранных за большой период (так называемый метод периодограмм), и выяснить его обоснованность. Суть метода периодограмм состояла в представлении эмпирических кривых (построенных по данным наблюдений) тригонометрическими многочленами -- суммами конечного числа синусоид. Амплитуды, начальные фазы и периоды синусоид подбирались так, чтобы тригонометрический многочлен наименее уклонялся от эмпирической кривой на том отрезке, на котором производились наблюдения. Считалось, что и вне этого отрезка многочлен хорошо согласуется с представляемой эмпирической кривой и, следовательно, может быть использован для предсказания значений, принимаемых кривой "в будущем" -- за пределами интервала наблюдений.

Произведенный Н.Н.Лузиным анализ показал, что естественные границы применимости метода весьма узки, и вне их прогноз на основе периодограмм давал фантастические результаты, не имевшие ничего общего с истинными закономерностями. Как и приближения эмпирических кривых на основе других (нетригонометрических) функций, периодограммы оказались непродолжаемыми за пределы того отрезка времени, в течение которого производились наблюдения. Миф о надежности периодограмм как основы прогноза был развеян окончательно и бесповоротно: обоснованный прогноз надлежало строить на иных принципах.

Помимо необычайно важного для практических приложений отрицательного вывода о непригодности периодограмм, Н.Н.Лузин получил не менее значимый положительный результат: решив задачу о многочленах, наименее уклоняющихся от заданной функции (эмпирической кривой), он открыл новый класс многочленов, аналогичных по своим свойствам многочленам Чебышева и переходящих в них в том случае когда приближаемая кривая на всем отрезке, в течение которого производятся наблюдения, тождественно равна нулю.

Мы могли бы начать с рассказа о косинусе комплексного числа, который может быть больше единицы, и рассмотреть многочлены Чебышева не только на отрезке [- 1, + 1], но и на всей вещественной оси, задав их рекуррентным соотношением

Tn+1(x) = 2е'n(е) - Tn-1(x), T0(x) =1, T1(x) = е, n> 0.

Тригонометрическое определение при х> 1 нам бы пришлось рассматривать в комплексной области, где оно остается в силе.

Мы могли бы начать... Впрочем, закончить наш рассказ о многочленах Чебышева не менее трудно, чем начать его.

Мы могли бы рассказать о двумерных аналогах многочленов Чебышева, тесно связанных с многочленами, наименее уклоняющимися от нуля на квадрате |x|<= 1, |y|<=1. Не менее интересно было бы познакомиться и с многочленами Чебышева, заданными не на всей оси, а лишь в целых точках. Мы могли бы рассказать и о наиболее экономных таблицах функций и о многом другом, но пора ставить точку. Изменив лишь одно слово во введении к "Оптике" Ньютона, мы позволим себе выразить надежду, что изложенного достаточно в качестве введения читателям с быстрым умом и хорошим пониманием, но еще не опытным в математике.


 Об авторе

Данилов Юлий Александрович
Специалист в области математической физики и инвариантно-группового анализа, одна из наиболее ярких фигур отечественной синергетики. В течение нескольких десятилетий был одним из руководителей Московского семинара по синергетике, сыгравшего огромную роль в становлении этого междисциплинарного подхода в России. Блестящий переводчик, педагог, популяризатор науки, член редакционных коллегий журналов "Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика" и "Квант". В 1963 г. окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. Вся его творческая жизнь прошла в теоретическом отделе отделения молекулярной физики Института атомной энергии имени И. В. Курчатова. Обладал уникальной способностью аккумулировать знания, владел более чем 20 языками и перевел на русский язык 110 книг по математике, физике, истории науки. В сфере интересов Ю. А. Данилова была также история развития естествознания. Он одним из первых стал пропагандировать новое направление в научном мире — синергетику и включился в поиск законов самоорганизации, описываемых едиными уравнениями в физике, химии, биологии, социологии, медицине.
 
© URSS 2016.

Информация о Продавце