Володарский А.И. Очерки истории средневековой индийской математики Изд. стереотип.

Оглавление

Введение

Настоящая книга представляет собой очерки по истории математики в Индии и посвящена развитию арифметики, алгебры, теории чисел, геометрии, тригонометрии в средние века. Чтобы подчеркнуть значение этого периода в развитии индийской математики, в первой главе в сжатой форме освещаются основные направления математики в древней Индии.

Начало знакомства европейских ученых нового времени с индийской математикой и астрономией относится к концу XVII в., когда член Французской академии наук Кассини [94] опубликовал статью о некоторых правилах индийской астрономии. Почти столетие спустя вышло несколько мемуаров Лежантиля, в которых излагались астрономические методы и основные положения индийских астрономических систем [133]. Более широкое представление об индийской астрономии и математике дает Бейли в трактате об индийской и восточной астрономии. Этой значительной работой начинаются исследования по изучению истории индийской астрономии [79]. К 1790 г. относится работа Барроу [93] о биномиальной теореме в Индии и Дэвиса [108] об астрономических вычислениях индийцев, в которой излагались основы "Сурья-сиддханты". В 1807 г. была опубликована статья Кольбрука об индийском и арабском делении зодиака [96].

Мысль о необходимости изучать математические сочинения ученых стран Индии, Китая, ислама была высказана еще Монтюкла в четырехтомной "Истории математики" [139] и поддержана Лапласом в "Очерке истории астрономии", который приложен к его классическому "Трактату о небесной механике". Первое решение новых поставленных задач наметилось в трудах французского астронома Деламбра. Из его работ по истории астрономии для нас наибольший интерес представляет "История античной астрономии" [109].

В этот же период началось систематическое изучение индийской математики в целом, которая ранее изучалась только в связи с развитием астрономии. Здесь следует назвать Гаттона–представителя английской научной школы, опубликовавшего в 1812 г. "Сочинения по математике" [124], отрывок из которых был переведен на французский язык и помещен в "Correspondance de IEcole Polytechnique", t. III, 1816, под названием "Об индийской Лилавати" ("Sur le Lilavati indien"). В 1813 г. был издан перевод алгебраического трактата индийского математика и астронома XII г. Бхаскары II "Биджаганита" [84], выполненный Эдвардом Стрэчи не с оригинала, а с персидского перевода, сделанного в 1634 г. Арифметический трактат Бхаскары II в. переводе с санскрита был опубликован Дж.Тейлором три года спустя [85]. Крупный вклад в историю науки внес Генри Кольбрук, издавший новые переводы математических сочинений Бхаскары II и математические главы астрономического трактата Брахмагупты "Брахма-спхута-сиддханта" [68]. В обширном предисловии к этим переводам Кольбрук показал, что многое из того, что ранее приписывалось арабоязычным ученым, имеет фактически индийское происхождение. Все эти переводы математических сочинений индийских ученых, появившиеся за очень короткий временной промежуток, значительно изменили представление европейских ученых об индийской науке и дали толчок к дальнейшим исследованиям. В 1821 г. Бухнер опубликовал часть алгебраических правил из переводов Кольбрука, представив их в форме, понятной современному Бухнеру читателю [91].

В середине прошлого века появились европейские переводы астрономических индийских сочинений; упомянем лишь переводы классического трактата IV в. "Сурья-сиддханты" [196] и астрономического сочинения Бхаскары II [86].

Наряду с выходом оригинальных работ продолжали публиковаться исследования по индийской математике и астрономии. Достаточно сослаться на работы Бэнтли [80], Уиша [204], Био [87], которые до сих пор не потеряли своего научного значения.

В последней четверти прошлого века в Лейдене был издан санскритский текст "Ариабхатии" – единственного дошедшего до нас сочинения знаменитого математика V в. Ариабхаты. Вторая (математическая) глава этого сочинения переведена в 1879 г. на французский язык Л.Роде [158]. Кроме того, появились переводы и исследования различных редакций математических сборников "Шульба-сутра" ("Правила веревки") [195].

Среди работ, посвященных истории индийской математики, которые были выполнены в XX в., необходимо назвать исследования индийских историков науки А.Бага [73–77], Б.Чаттерджи [95], Б.Датта [97–107], С.Гангули [114–117], Р.Гупты [118–123], Л.Джайна [126], Ч.Раджагопала [153–156], Т.Сарасвати [160–161], С.Сена [167–176], П.Сенгупты [177–179], К.Шуклы [180–183], А.Сингха [184–187], Д.Сомаяджи [191], К.Шринивасиенгара [193], американских ученых О.Нейгебауэра [143], Д.Пингри [144–151], Дж.Сартона [162, 163], Д.Смита [188J 90], английского историка науки Дж.Кэйя [128–132], шведского математика К.Селениуса [164–166], швейцарского математика Б.Ван дер Вардена [15, 201].

В отечественной историко-математической литературе изучение индийской математики началось с 1838 г., когда была опубликована статья В.И.Лапшина о разложении некоторых величин в бесконечные ряды [40]. В 1882 г. опубликован исторический очерк М.Е.Ващенко–Захарченко о математической литературе индийцев [16], который позднее вошел в его "Историю математики" [17]. Индийской математике посвящены работы Э.Я- Бахмутской [2, 3], И.Г.Башмаковой и А.П.Юшкевича [4], В.В.Бобынина [7], А.И.Володарского [18–30, 200], А.Е.Раик и В.Н.Ильина [49], А.П.Юшкевича [66–67]. Отдельные проблемы индийской математики затронуты в работах [5, И, 13, 34, 35, 37–39,45, 47, 48, 51–54, 56, 58–63, 65, 72, 78, 81, 88, 92, 111–113, 138, 140, 202–205]. Сведения по общей истории и культуре Индии можно найти в работах [1, 8–10].

Наиболее ранние математические сведения в Индии относятся к эпохе Индской цивилизации, получившей свое название по раскопкам двух больших городов, Мохенджо–Даро и Хараппы, расположенных в бассейне реки Инд [27, 31–33, 36, 43, 60, 110, 125, 135–137, 152, 159, 200, 203]. Эта культура относится к середине третьего тысячелетия до н.э. Поскольку имеющиеся надписи пока не расшифрованы, об уровне математических знаний можно судить в основном по результатам археологических раскопок.

Дальнейшие наши сведения о математических представлениях индийцев относятся ко второму-первому тысячелетиям до н.э. – к ведийскому периоду. Математические сведения лучше всего представлены в "Шульба-сутре", которая дошла до нас в нескольких редакциях и датируется серединой первого тысячелетия до н.э. [106, 195].

В конце первого тысячелетия до н.э. и в первых веках нашей эры шло интенсивное развитие астрономии и математики, получившее завершение в трактате Ариабхаты I (V–VI вв.) "Ариабхатия" [69, 70]. Кроме своего основного сочинения Ариабхата написал комментарии к "Сурья-сиддханте" [196, 197], астрономическому сочинению IV–V вв., но они до нас не дошли. Впрочем, некоторые основные идеи этих комментариев нашли отражение в астрономических разделах его основного сочинения. "Ариабхатия" – сравнительно небольшое сочинение, написанное в традиционной для индийцев манере – стихами, в которых нет рифмы, а основное внимание уделяется размеру. Стихотворная форма изложения способствовала лучшему запоминанию правил. Трактат состоит из четырех частей: дашагитика – система обозначения чисел, ганитапада – математика, калакрийапада – определение времени, голапада – учение о небесной и земной сферах.

Астрономические части "Ариабхатии" опирались на классические пять сиддхант, которые позднее подробно описаны Варахамихирой (VI в.) в его "Панча-сиддхантике" [199]. Работы Варахамихиры по астрономии имели скорее компилятивный, чем оригинальный, характер, он был более знаменит как астролог, составивший несколько астрологических трактатов, которые носили заметный отпечаток эллинистического влияния. В его астрологических сочинениях можно встретить следы греческой научной терминологии.

Последователем и комментатором идей Ариабхаты I был Бхаскара I (VII в.), написавший специальные пояснения к "Ариабхатии", а также два трактата: "Маха-бхаскария" [82] и "Лагху -бхаскария" [83]. В этих работах получили дальнейшее развитие вопросы неопределенного анализа и ряд астрономических проблем.

Современником Бхаскары I был Брахмагупта, автор двух сочинений, – "Брахма-спхута-сиддханта" [89] и "Кхандакхадьяка" [90]. Первое сочинение, написанное 30-летним Брахмагуптой в 628 г., испытало значительное влияние идей Ариабхаты. Достаточно отметить, что, следуя Ариабхате, Брахмагупта включил в свой в основном астрономический трактат две математические главы, содержащие ряд новых правил. Астрономическая часть "Ариабхатии" была подвергнута острой критике. Второе сочинение Брахмагупта написал в 67-летнем возрасте в 665 г.

В 1881 г. вблизи деревни Бахшали на северо-западе Индии была найдена анонимная рукопись по арифметике и алгебре, время составления которой ученые относят к VI–VIII вв. н.э. [132]. В этом сочинении, получившем название "Бахшалийская рукопись", излагаются правила арифметических действий с целыми числами и дробями, способы решения линейных и квадратных уравнений, а также системы неопределенных уравнений первой степени. Наибольший интерес представляет алгебраическая символика и разнообразные формы записи чисел.

К середине IX в. относится творчество Магавиры, автора сочинения "Ганита-сара-санграха" ("Краткий курс математики") [20, 134]. Это первый идийский трактат, посвященный полностью математике; предшествующие ученые в астрономические сочинения включали математические главы, которые поэтому почти не содержали примеров и задач. Хотя сочинение называется "кратким", оно по объему значительно превосходит все известные математические работы средневековых индийских авторов. В трактате впервые приводятся многие математические правила, в том числе правила умножения и деления, частные случаи возведения чисел в квадрат и куб и извлечения квадратного и кубичного корней. В алгебраических и теоретико-числовых разделах даны новые правила решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, системы линейных неопределенных уравнений, неопределенных уравнений второй степени и системы таких уравнений. Там же приводятся оригинальные методы решения линейных уравнений с несколькими неизвестными, новые правила для арифметической и геометрической прогрессий, например способы нахождения первого члена и разности арифметической прогрессии, общего члена и суммы геометрической прогрессии.

Младшим современником Магавиры и его последователем был Шридхара (IX–X вв.), автор "Патиганиты" [64, 192] и "Тришатики" [157]. Ему принадлежит ряд новых правил для действий с дробями, процентами, для арифметической и геометрической прогрессий. Сочинения Шридхары по математике были очень популярны и неоднократно комментировались.

В X в. жил автор трактата "Маха-сиддханта" [71] Ариабхата II, который следовал больше ортодоксальной традиции, чем своему знаменитому тезке; однако в математической главе этой астрономической сиддханты имеется много общего с "Ариабхатией".

В XI в. математик и астроном Шрипати написал два трактата: "Сиддханта-шекхара" и "Ганита-тилака" [194].

К XII в. относится творчество крупнейшего индийского математика и астронома Бхаскары И.Влияние его идей на последующих ученых огромно; еще при жизни Бхаскары были организованы специальные школы для изучения его сочинений. Бхаскара (род. в 1115 г., ум. позднее 1183 г.) был автором шести работ. Специально математике посвящены два трактата – "Лилавати" [68, 85] и "Биджаганита" [84]. Остальные посвящены астрономии, хотя и содержат отдельные математические вопросы, преимущественно тригонометрического характера. "Лилавати" состоит из 13 глав, в которых описаны действия с целыми и дробными числами, включая извлечение квадратного и кубичного корней; дается решение арифметических задач с помощью способа обращения, правила одного ложного положения; приводятся задачи о бассейнах, ранее известные грекам и китайцам, суммирование некоторых числовых выражений, ряд комбинаторных задач. В разделах, посвященных геометрии, содержатся правила измерения плоских фигур и задачи вычисления сторон прямоугольных треугольников. Подробно проблемы неопределенного анализа разобраны в "Биджаганите", состоящей из восьми глав. Там же приводятся сведения об алгебраических уравнениях первой и второй степеней, разобраны некоторые геометрические вопросы и даются два доказательства теоремы Пифагора.

Главное астрономическое сочинение Бхаскары II "Сиддханта -широмани" [86], написанное в 1150 г., делится на математическую астрономию и учение о небесной и земной сферах. В ней изучаются следующие проблемы: о средней и истинной долготе планет, о суточном движении, о солнечных и лунных затмениях, о соединениях планет, о соединениях планет со звездами, о природе небесной и земной сфер, о космографии и географии, об эксцентрико -эпициклической модели планет, о построении армиллярной сферы, о принципах сферической тригонометрии, об астрономических инструментах, приводится описание сезонов года,

К середине XIV в. относится творчество Нарайаны, – автора двух математических сочинений: "Гранита каумуди" [141] и "Биджаганита". На рубеже XV и XVI вв. жил Нилаканта, составивший обширные комментарии к "Ариабхатии" и знаменитую "Тантрасанграху", в которой дается разложение в бесконечные степенные ряды некоторых тригонометрических функций [66].

Наконец, уже к началу нашего столетия относится деятельность замечательного индийского математика Сринивасы Рамануджана (1887–1920) [41, 42]. Творчество Рамануджана представляет большой интерес в силу редкой самобытности его таланта и виртуозного владения математическими методами, многие из которых ему пришлось изобретать самому. Английский математик Дж.Харди, хорошо знавший Рамануджана, писал: "Его проникновение в алгебраические формулы, преобразования бесконечных рядов и т.п. были просто поразительными. Я не знаю никого, кто мог бы в этом сравниться с ним, разве только Эйлер или Якоби. Он использовал в значительно большей степени, чем современные математики, индуктивные и наводящие соображения, отправляющиеся от численных примеров... Хорошая память, терпение и виртуозность вычислителя сочетались в нем с силой обобщения, чувством формы и способностью мгновенной адаптации гипотез, которые производили исключительно сильное впечатление и ставили его в области его собственных исследований выше всех современных ему математиков" [42, с.26].

В историко-научной литературе все еще бытует мнение, что позднее XII в. индийские математики не создали ничего оригинального. Так, большой знаток истории культуры и патриот Джавахарлал Неру в книге "Открытие Индии" [46, с.229] писал: "Математические книги продолжали появляться и позднее (Нараяна -1150 г., Ганеша-1545 г.), но это лишь повторение того, что было сделано. После XII века и до современной эпохи в Индии было проделано очень мало оригинальной работы в области математики". На самом же деле было не так.

В первом тысячелетии нашей эры ученые Индии создали десятичную позиционную систему счисления, сформулировали тройное правило и его обобщения, ввели отрицательные числа, пользовались произвольными натуральными степенями неизвестной величины, применяли символическую запись алгебраических выражений и уравнений, заложили основы тригонометрии, производили суммирование некоторых числовых величин.

В каких же направлениях шло развитие математики в Индии во втором тысячелетии? Во-первых, продолжала развиваться вычислительная математика. Под руководством Савай Джай Сингха, жившего в XVII–XVIII вв., были составлены астрономические таблицы, более точные, чем соответствующие европейские. Во-вторых, успешно разрабатывались вопросы теории чисел и неопределенного анализа; в ряде случаев результаты, полученные индийскими учеными, были впоследствии переоткрыты крупнейшими европейскими математиками. В-третьих, поразительные успехи были достигнуты в разложении в степенные ряды арктангенса, синуса, косинуса и вычислении числа pi (с 10 десятичными знаками).

Есть одна область науки, на которую историки средневековой математики обращают недостаточное внимание, – это математическая логика. Идею построения математической логики высказал Лейбниц, систематическая ее разработка начата Булем в 1847 г. Поэтому античный и средневековый периоды развития этой области науки понимаются как предвосхищение (или предыстория) математической логики.

Среди логиков, живших во втором тысячелетии н.э., в Индии выделяются Джавадева Ракшадхара (1425–1500), Рагхунатха Сиромани (1475–1550), Матхуранатха (ок. 1600 – ок. 1675), Джагадиша (XVII в.), Аннамбхатта (XVII в.). В книге Н.И.Стяжкина [55, с.7–13] говорится: "В целом уровень строгости индийской логики до XVIII в. был не ниже европейского, а в отдельных пунктах даже превосходил строгость аристотелевской логики, будучи свободным от ряда догм последней, например от "учения" о наличии субъекта в каждом предложении.

Индийцы предвосхитили вероятностную логику. Согласно логике джайнизма, каждое эмпирическое высказывание имеет вероятность, меньшую единицы. Впрочем, используемое джайнистами понятие вероятности является неявным и к тому же качественным. Логические и философские труды Дигнаги (V–VI вв. н.э.) были переведены на китайский язык, а несколько позднее на японский. Влияние на китайскую логическую мысль оказал также Гангеша (XII в.). У него можно обнаружить предвосхищение отдельных положений современного исчисления высказываний. Он четко отличает свойства класса от свойств составляющих этот класс членов и, таким образом, выгодно отличается в этом смысле от некоторых неосторожных последователей Аристотеля.

У Рагхунатха Сиромани обнаруживаются уже отдельные начатки современной логики. Ему были известны законы, которые в XIX в. стали именоваться законами де Моргана. Он, в известном смысле, предвосхитил определение числа по Фреге и Расселу. Широко использовал Рагхунатха символические обозначения в логике, которые, правда, чаще всего не носили оперативного характера и применялись им для сокращения сложных словесных конструкций".

Какой же можно сделать вывод? Можно спорить о замедлении или ускорении темпов математических открытий, об усилении или ослаблении научных связей не только между отдельными частями Индии, но и соседними государствами; можно говорить о том, что меняются методы исследований, переключается внимание с одних областей и разделов математики на другие, но в целом развитие математики и в первом, и во втором тысячелетии в Индии шло поступательно.

Оригинальные сочинения индейцев были написаны чрезвычайно кратко и сжато, что требовало подробных комментариев, которые не всегда выполняли чисто разъясняющие функции. Ряд комментариев написан крупнейшими учеными, такими, как Бхаскара I, Бхаскара II, Нилаканта, Ганеша, к наиболее значительным сочинениям, что само по себе уже интересно, поскольку в них развиваются основополагающие идеи, содержащиеся в основных трактатах. В комментариях наряду с общеизвестными фактами приводятся и оригинальные достижения, что позволяет расширить наши представления об индийской математике.

В настоящей работе написание собственных имен и названий сочинений дается в соответствии с традицией, установившейся в советской историко-математической литературе.

Автор считает своим приятным долгом выразить сердечную благодарность доктору физико-математических наук А.П.Юшкевичу и доктору исторических наук Г.М.Бонгард–Левину за ценные советы при подготовке книги к печати.

Об авторе

Володарский Александр Ильич

Родился 11 июня 1938 г. в городе Баку. Окончил в 1960 г. механико-математический факультет Азербайджанского государственного университета. В 1962–1965 гг. обучался в аспирантуре сектора истории математики Института истории естествознания и техники АН СССР. С 1965 г. работал в этом секторе Института истории естествознания и техники им. С. И. Вавилова РАН. Кандидат физико-математических наук (1967), старший научный сотрудник (1983), член-корреспондент Международной академии истории наук (1993), член Американского математического общества (1999), член Американского общества истории наук (1999), член редакционной коллегии периодического издания «Историко-математические исследования» (1995), член редакционной коллегии «Бюллетеня Индийского математического общества» (1996). Участник ряда Международных конгрессов по истории науки (Москва, 1971; Токио, 1974; Эдинбург, 1977; Бухарест, 1981; Беркли, 1985; Гамбург-Мюнхен, 1989), Международного конгресса математиков (Москва, 1966), ряда международных конференций и симпозиумов в Индии, ГДР, ФРГ. Основные научные исследования посвящены истории математики в странах Востока в древности и в Средние века.