Обложка Розенфельд Б.А. Неевклидовы пространства
Id: 268344
699 руб.

Неевклидовы пространства. Изд. 2

URSS. 2021. 552 с. ISBN 978-5-9710-8413-6.

Аннотация

Настоящая книга представляет собой систематическое изложение как классических неевклидовых геометрий Лобачевского и Римана любого числа измерений, так и любых проективных метрик. Изложение классических геометрий начинается с обзора доказательств V постулата Евклида с учетом новых исследований в этой области. Изучаются группы движений неевклидовых пространств, геометрия многомерных плоскостей, сфер, эквидистант, орисфер и квадрик общего ...(Подробнее)вида, различные интерпретации этих пространств и основы их дифференциальной геометрии. В последней главе изучаются образы симметрии неевклидовых пространств, образующие модели симметрических пространств, группами движений которых являются простые группы Ли или группы Ли, получаемые из простых предельными переходами. В книге изложено много результатов, полученных советскими и зарубежными математиками.

Книга рассчитана на научных работников, специализирующихся по геометрии, а также на студентов и аспирантов университетов и педагогических институтов.


Содержание
Предисловие к первому изданию8
Глава первая. Евклидова геометрия и предыстория неевклидовой геометрии13
§ 1. Евклидово пространство13
1.1.1. Евклидово гс-пространство (13). 1.1.2. Расстояния (15). 1.1.3. Непрерывность (16). 1.1.4. Движения (23). 1.1.5. Топологические группы и группы Ли (23). 1.1.6. Однородные пространства (29). 1.1.7. Аксиомы Евклида (31). 1.1.8. Аксиомы Гильберта (33). 1.1.9. Структуры геометрии (36)
§ 2. Предыстория неевклидовой геометрии37
1.2.1. V постулат Евклида (37). 1.2.2. Параллельные линии в школе Архимеда (38*). 1.2.3. Сумма углов треугольника и четырехугольника (40) 1.2.4. Неявные предположения, эквивалентные V постулату (43). 1.2.5. Постулат подобия (45). 1.2.6. Открытие неевклидовой геометрии (46)
Глава вторая. Эллиптическое пространство49
§ 1. Эллиптическая геометрия как геометрия сферы с отождествленными точками49
2.1.1. Эллиптическое /г-пространство (49). 2.1.2. Расстояния (51). 2.1.3. Тригонометрия и площадь треугольника (51). 2.1.4. Координаты (52) 2.1.5. Объемы (53)
§ 2. Проективная интерпретация54
2.2.1. Проективное /г-пространство (54). 2.2.2. Проективная интерпретация эллиптического пространства (56). 2.2.3. Плоскости (57). 2.2.4. Угол между плоскостями (58). 2.2.5. Выражение расстояний и углов с помощью абсолюта (59). 2.2.6. Принцип двойственности (60)
§ 3. Геометрия m-плоскостей61
2.3.1. Операторные координаты т-плоскостей (61). 2.3.2. Полярные т-плоскость и (п — т-1)-плоскость (63). 2.3.3. Перпендикуляр, опущенный из точки на ги-плоскость (64). 2.3.4. Отражение от т-плоскости (66). 2.3.5. Общие перпендикуляры двух т-плоскостей (67). 2.3.6. Паратактические т-плоскости и прямые (69)
§ 4. Сферы и многогранники70
2.4.1. Сферы (70). 2.4.2. Шары (72). 2.4.3. Симплексы (73). 2.4.4. Правильные соты (75)
§ 5. Движения78
2.5.1. Группа движений (78). 2.5.2. Классификация движений (81). 2.5.3. Паратактические сдвиги (84). 2.5.4. Движения 2-плоскости и 3-пространства (85). 2.5.5. Односторонность и двусторонность пространства (88)
§ 6. Квадрики89
2.6.1. Квадрики (89). 2.6.2. Эквидистанты т-плоскостей (91). 2.6.3. Поверхности Клиффорда (93). 2.6.4. Обобщение поверхности Клиффорда (96)
§ 7. Конформная интерпретация100
2.7.1. Конформное л-прострадство (100). 2.7.2, Конформные преобразования &ллиптического пространства (101). 2.7.3. Конформная интерпретация эллиптического пространства (101). 2.7.4. Выражение расстояний в конформной интерпретации (105)
§ 8. Интерпретации 3-пространства108
2.8.1. 3*пространство как группа движений 2-плоскости (108). 2.8.2. Плюк-керовы координаты (110). 2.8.3. Интерпретация Фубини (112)
Глава третья. Пространство Лобачевского116
§ 1. Псевдоевклидовы пространства116
3.1.1. Псевдоевклидовы я-пространства (116). 3.1.2. Расстояния и движения (117). 3.1.3. Прямые, плоскости и сферы (118)
§ 2. Пространство Лобачевского как полусфера мнимого
радиуса и его проективная интерпретация119
3.2.1. «-пространство Лобачевского (119). 3.2.2. Проективная интерпретация пространства Лобачевского (121). 3.2.3. Аксиомы пространства Лобачевского (122). 3.2.4. Параллельные и расходящиеся прямые (123). 3.2.5. Расстояния (126). 3.2.6. Тригонометрия и угол параллельности (128). 3.2.7. Площадь треугольника (130). 3.2.8. Координаты (134)
§ 3. Расширенное пространство Лобачевского136
3.3.1. Абсолют и идеальные точки (136). 3.3.2. Объем расширенного пространства (139). 3.3.3. Плоскости (140). 3.3.4. Выражение расстояний и углов с помощью абсолюта (144)
§ 4. Геометрия m-плоскостей146
3.4.1. Операторные координаты /га-плоскостей (146). 3.4.2. Перпендикуляр, опущенный из точки на т-плоскость (147). 3.4,3. Общие перпендикуляры двух т-плоскостей (148)
§ 5. Сферы и многогранники150
3.5.1. Сферы и эквидистанты (150). 3.5.2. Шары (154). 3.5.3. Длина дуги эквидистанты прямой (155). 3.5.4. Орисферы (156). 3.5.5. Симплексы (158). 3.5.6. Правильные соты (164)
§ 6. Движения166
3.6.1. Группа движений (166). 3.6.2. Классификация движений (168). 3.6.3. Движения 2-плоскости и 3-пространства (173)
§ 7. Квадрики176
3.7.1. Квадрики (176). 3.7.2. Сферы, эквидистанты и орисферы (177). 3.7.3. Классификация квадрик (179). 3.7.4. Эквидистанты т-плоскостей (183). 3.7.5. Эквидистантная бочка (183)
§ 8. Конформные интерпретации184
3.8.1. Конформная интерпретация Клейна (184). 3.8.2. Интерпретация Гессе (186). 3.8.3. Обобщения интерпретации Гессе (187). 3.8.4. Конформные преобразования пространства Лобачевского (188). 3.8.5. Конформная интерпретация Пуанкаре (190). 3.8.6. Выражение расстояний в интерпретации Пуанкаре (195). 3.8.7. Конформная интерпретация пространства Лобачевского на его плоскости (198). 3.8.8. Интерпретации, промежуточные между проективными и конформными (199)
§ 9. Интерпретация 3-пространства204
3.9.1. Комплексные пространства (204). 3.9.2. Плюккеровы координаты (205). 3.9.3. Интерпретация Котельникова (206)
Глава четвертая. Гиперболические и симплектическое пространства210
§ 1. Гиперболические пространства210
4.1.1. Гиперболические я-пространства (210). 4.1.2. Координаты (213). 4.1.3. Плоскости (214). 4.1.4. Классификация эллиптических и гиперболических метрик (215)
§ 2. Геометрия m-плоскостей217
4.2.1. Эллиптические m-плоскости (217). 4.2.2. Гиперболические m-плоскости (219). 4.2.3. Паратактичные m-плоскости (221)
§ 3. Движения222
4.3.1. Группы движений (222). 4.3.2. Классификация движений (225). 4.3.3. Движения 3-пространства (230)
§ 4. Квадрики235
4.4.1. Квадрики (235). 4.4.2. Сферы и орисферы (236). 4.4.3. Эквидистанты m-плоскостей и т-орисферы (238)
§ 5. Конформные интерпретации239
4.5.1. Псевдоконформные /г-пространства (239). 4.5.2. Конформная интерпретация Клейна (240). 4.5.3. Конформная интерпретация Пуанкаре (240)
§ 6. Симплектическое пространство242
4.6.1. Симплектическое (241)-пространство (242). 4.6.2. Симплектические преобразования (243). 4.6.3. Нулевые т-плоскости (244). 4.6.4. Симплектический инвариант двух прямых (245)
§ 7. Интерпретации 3-пространств247
4.7.1. Интерпретация Плюккера (247). 4.7.2. 3-пространство как группа движений 2-плоскости (251). 4.7.3. Интерпретация Фубини (254). 4.7.4. Интерпретация симплектического 3-пространства (258)
Глава пятая. Проективные метрики262
§ 1. Евклидовы и псевдоевклидовы пространства262
5.1.1. Евклидовы и псевдоевклидовы пространства как предельные случаи эллиптических и гиперболических (262). 5.1.2. Конформные интерпретации (266). 5.1.3. Проективные интерпретации (266). 5.1.4. Получение абсолютов с помощью предельных переходов (268)
§ 2. Коевклидовы и копсевдоевклидовы пространства270
5.2.1. Применение принципа двойственности к евклидову и псевдоевклидовым пространствам (270). 5.2.2. Расстояния между точками (271). 5.2.3. Углы между плоскостями (275). 5.2.4. Тригонометрия (276). 5.2.5. Площадь треугольника (278). 5.2.6. Движения (281)
§ 3. Квазиэллиптические и квазигиперболические пространства283
5.3.1, Абсолюты (283). 5.3.2. Расстояния между точками (286). 5.3.3. Углы между плоскостями (288). 5.3.4. Полярная плоскость и полюс (289). 5.3.5. Движения (290). 5.3.6. Кодвижения (293)
§ 4. Галилеево, псевдогалилеевы и флаговое пространства295
5.4Л. Галилеево и псевдогалилеевы пространства (295). 5.4.2. Флаговое пространство (297). 5.4.3. Движения (298). 5.4.4. Углы между плоскостями и кодвижения флагового пространства (301). 5.4.5. Флаговая 2-плоскость (303). 5.4.6. Тригонометрия флаговой 2-плоскости (305). 5.4.7. Площадь треугольника на флаговой 2-плоскости (307)
§ 5. Общие проективные метрики308
5.5.1. Абсолюты (308). 5.5.2. Расстояния между точками (312). 5.5.3. Углы между плоскостями (313). 5.5.4. Классификация проективных метрик (315)
5.5.5. Полярная плоскость и полюс (318). 5.5.6. Движения (319). 5.5.7. Кодвижения (322)
§ 6. Квадрики324
5.6.1. Центры квадрик (324). 5.6.2. Метрические инварианты квадрик (327). 5.6.3. Классификация квадрик (332)
§ 7. Геометрия m-плоскостей335
5.7.1. Параболические и непараболические т-плоскости (335). 5.7.2. Опера торные координаты (336). 5.7.3. Полярные m-плоскость и (n-m-1-плоскость (337). 5:7.4. Перпендикуляр, опущенный из точки на т-плос-кость (339). 5.7.5. Общие перпендикуляры двух т-плоскостей (341)
5.7.6. Параболические общие перпендикуляры двух m-плоскостей (343)
5.7.7. Геометрия /m-плоскостей квазиэллиптических и квазигиперболическнх пространств (346). 5.7.8. Паратактичные m-плоскости и прямые (348). 5.7.9. Геометрия m-плоскостей флагового пространства (348)
§ 8. Циклы и конформные преобразования353
5.8.1. Сферы (353). 5.8.2. Циклы (355). 5.8.3. Циклы на флаговой плоскости (358). 5.8.4. Степень точки относительно цикла (359). 5.8.5. Конформные преобразования (360). 5.8.6. Инверсия относительно цикла (365)
§ 9. Квазисимплектические и полусимплектические пространства366
5.9.1. Квазисимплектические пространства (366). 5.9.2. Полусимплектические пространства (369)
§ 10. Интерпретации 3-пространств371
5.10.1. Квазиэллиптическое 3-пространство как группа движений евклидовой 2-плоскости (371). 5.10.2. Паратактические сдвиги 3-пространств а (373). 5.10.3. Интерпретация многообразия прямых квазиэллиптического 3-прост-ранства (375). 5.10.4. Отражение от пары поляризованных параболических прямых (377). 5.10.5. Метрические квадрики и нуль-системы (378). 5.10.6. Квазигиперболическое 3-пространство как группа движений псевдоевклидовой 2-плоскости (380). 5.10.7. Интерпретация многообразия прямых квазигиперболического 3-пространства на паре 2-плоскостей (382). 5.10.8. Интерпретация многообразия прямых квазигиперболического 3-пространства на комплексной 2-плоскости (384). 5.10.9. Изотропное 3-пространство как группа движений флаговой 2-плоскости (386). 5.Г0.10. Интерпретация квазисимплектического 3-пространства (388)
Глава шестая. Дифференциальная геометрия неевклидовых пространств390
§ 1. Римановы, псевдоримаыовы и полуримановы пространства390
6.1.1. Дифференцируемые пространства (390). 6.1.2. Пространства аффинной связности (392). 6.1.3. Римановы и псевдоримановы пространства (394)
6.1.4. Кривизна римановых и псевдоримановых пространств (397)
6.1.5. Полуримановы и квазиримановы пространства (400). 6.1.6. Кривизна полуримановых пространств (402)
§ 2. Дифференциальная геометрия линий404
6.2.1. Линии и касательные (404). 6.2.2. Соприкасающиеся т-плоскости (404). 6.2.3. Сопровождающий базис и натуральный параметр (406). 6.2.4. Формулы Френе в эллиптическом пространстве (408). 6.2.5. Формулы Френе в гиперболических пространствах (409). 6.2.6. Формулы Френе в полуэллиптических и полугиперболических пространствах (411)
§ 3. Дифференциальная геометрия поверхностей414
6.3.1. Поверхности и касательные плоскости (414). 6.3.2. Первые квадратичные формы поверхности (416). 6.3.3. Нормальная кривизна линии на поверхности (417). 6.3.4. Внешние кривизны поверхности (419). 6.3.5. Риманова и псевдориманова геометрии на поверхностях эллиптического и гиперболических пространств (421). 6.3.6. Полуриманова геометрия на поверхностях полуэллиптических и полугиперболических пространств (422). 6.3.7. Главные кривизны (426). 6.3.8. Геометрия на m-орисферах (428)
Глава седьмая. Простые и квазипростые группы Ли и образы симметрии431
§ 1. Простые и квазипростые группы Ли431
7.1.1. Группы Ли как дифференцируемые пространства (431). 7.1.2. Алгебры Ли (433). 7.1.3. Разрешимые и полупростые группы Ли (436). 7.1.4. Компактные простые группы Ли (433). 7.1.5. Некомпактные простые группы Ли (445). 7.1.6. Кразипростые группы Ли (448)
§ 2. Симметрические пространства450
7.2.1. Инвариантная аффинная связность в группах Ли (450). 7.2.2. Симметрические пространства аффинной связности (456). 7.2.3. Группы Ли как симметрические пространства аффинной связности (458). 7.2.4. Свойства симметрических пространств (460). 7.2.5. Инвариантная риманова и псевдориманова метрика в группах Ли (463). 7.2.6. Римаиовы и псевдоримановы симметрические пространства (465). 7.2.7. Ранг риманова и псевдориманова симметрических пространств и инварианты их точек (466). 7.2.8. Римановы и псевдоримановы симметрические пространства нулевой кривизны (467). 7.2.9. Инвариантная квазириманова метрика в группах Ли и квазиримановы симметрические пространства (469)
§ 3. Образы симметрии470
7.3.1. Образы симметрии (470). 7.3.2. Образы симметрии евклидовых и псевдоевклидовых пространств (471). 7.3.3. Образы симметрии эллиптических и гиперболических пространств (472). 7.3.4. Образы симметрии и косимметрии проективного пространства (475). 7.3.5. Образы симметрии симплектического пространства (478). 7.3.6. Образы симметрии и косимметрии квазиэллиптического и квазигиперболических пространств (479)
§ 4. Семейства образов симметрии482
7.4.1. Пространства образов симметрии (482). 7.4.2. Пространства т-плоскостей (485). 7.4.3. Семейства образов симметрии (487). 7.4.4. Конгруэнции т-плоскостей (490)
Примечания493
Библиография513
Именной указатель528
Предметный указатель533

Об авторе
Розенфельд Борис Абрамович
Видный советский математик, историк математики, педагог и переводчик. Доктор физико-математических наук. Родился в Петрограде, в семье инженера-экономиста. После окончания средней школы поступил в Московский энергетический институт, а с сентября 1936 г. дополнительно стал заниматься на 3-м курсе мехмата МГУ. В 1940 г. окончил четыре с половиной курса Московского энергетического института. Ранее, в 1939 г., окончил экстерном мехмат МГУ и был принят в аспирантуру на кафедру дифференциальной геометрии, где изучал теорию групп Ли, многомерную дифференциальную геометрию и геометрию симметрических пространств под руководством П. К. Рашевского. В 1942 г. защитил кандидатскую, а в 1947 г. — докторскую диссертацию. В 1943–1955 гг. преподавал на кафедре высшей математики МВТУ. В 1950–1955 гг. — профессор кафедры геометрии Азербайджанского университета в Баку. В 1964–1990 гг. работал старшим и ведущим научным сотрудником Института истории естествознания и техники АН СССР. В 1990 г. переехал с женой в США. В 1990–1995 гг. — профессор Пенсильванского университета; читал лекции по геометрии групп Ли и истории математики.

Автор около 450 научных работ. Развивал идеи Э. Картана, с которым встречался в Москве в 1945 г. Помимо математических достижений, Б. А. Розенфельд широко известен переводами и работами по истории математики — он занимался историей математики на средневековом Востоке и перевел на русский язык с арабского и персидского трактаты ат-Туси, Омара Хайяма, ал-Каши, ал-Хорезми, ал-Фаргани, Сабита ибн Корры, Ибн ал-Хайсама, ал-Бируни, Улугбека. Вместе с А. П. Юшкевичем написал разделы по истории математики в Средние века, эпоху Возрождения и по истории геометрии в трехтомной «Истории математики с древнейших времен до начала XIX столетия» (1970–1972, под ред. А. П. Юшкевича), а также по истории геометрии — в книге «Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций» (1981, под ред. А. Н. Колмогорова и А. П. Юшкевича).