Введение.................................... 10
|
Часть I
|
Дифференциальное исчисление............... 13
|
Глава 1 Числа и множества...................... 15
|
1 Множества............................. 15
|
2 Вещественные числа...................... 18
|
3 Верхние и нижние грани числовых множеств ..... 19
|
Глава 2 Пределы последовательностей.............. 21
|
1 Числовые последовательности и их пределы...... 21
|
2 Монотонные последовательности ............. 25
|
3 Подпоследовательности.................... 27
|
4 Критерий Коши ......................... 29
|
5 Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности ....................... 31
|
Глава 3 Пределы функции....................... 33
|
1 Предел функции......................... 33
|
2 Односторонние пределы ................... 35
|
3 Бесконечно малые функции ................. 37
|
4 Сравнение функций ...................... 37
|
Глава 4 Непрерывные функции................... 39
|
1 Непрерывность и разрывы.................. 39
|
2 Свойства непрерывных функций .............. 41
|
3 Точки разрыва.......................... 44
|
Глава 5 Производные и дифференцируемость......... 46
|
1 Производная........................... 46
|
2 Дифференцируемость..................... 49
|
3 Производная сложной функции............... 51
|
4 Производные высшего порядка............... 51
|
Глава 6 Дифференцируемые функции.............. 53
|
1 Поведение функций ...................... 53
|
2 Раскрытие неопределенностей
|
по правилу Лопиталя...................... 57
|
3 Формула Тейлора........................ 59
|
4 Исследование на экстремум................. 61
|
Глава 7 Многомерный анализ.................... 64
|
1 Многомерные пространства................. 64
|
2 Предел функции многих переменных........... 65
|
3 Непрерывность функций многих переменных..... 67
|
4 Частные производные..................... 67
|
5 Дифференцируемость функций многих переменных...................... 68
|
6 Градиент и производная по направлению........ 71
|
Часть II
|
Интегральное исчисление.................... 73
|
Глава 1 Неопределенный интеграл................. 75
|
1 Первообразная.......................... 75
|
2 Табличные интегралы..................... 77
|
3 Приемы интегрирования ................... 78
|
4 Интегрирование рациональных выражений....... 80
|
5 Интегрирование тригонометрических выражений . . 82
|
Глава 2 Определенный интеграл.................. 83
|
1 Интегральные суммы и определенный интеграл ... 83
|
2 Суммы Дарбу........................... 85
|
3 Классы интегрируемых функций .............. 88
|
Глава 3 Свойства интеграла...................... 90
|
1 Аддитивность интеграла Римана.............. 90
|
2 Свойства интегрируемости .................. 91
|
3 Неравенства ............................ 93
|
4 Теоремы о среднем ....................... 94
|
5 Формула Ньютона—Лейбница................ 96
|
Глава 4 Несобственные уравнения.................100
|
1 Интегралы с бесконечными пределами .......... 100
|
2 Интегралы от неограниченных функций.........104
|
3 Интеграл в смысле главного значения..........106
|
Глава 5 Кратные и криволинейные интегралы........108
|
1 Кратные интегралы ....................... 108
|
2 Криволинейные интегралы .................. 112
|
3 Поверхностные интегралы .................. 115
|
4 Теория поля ............................ 118
|
5 Формулы Грина и Стокса...................122
|
Глава 6 Мера и интеграл Лебега...................127
|
1 Интеграл Лебега ......................... 127
|
2 Мера множества и интеграл Лебега по мере ...... 130
|
3 Нормированные пространства ................ 145
|
4 Пространства Лебега......................147
|
5 Теорема Фубини ......................... 151
|
Часть III
|
Ряды......................................155
|
Глава 1 Числовые ряды.........................157
|
1 Определение ряда........................157
|
2 Признаки сходимости знакопостоянных рядов.....160
|
3 Интегральный признак Коши................165
|
4 Знакопеременные ряды....................167
|
5 Знакочередующиеся ряды ..................169
|
Глава 2 Функциональные ряды...................171
|
1 Степенные ряды.........................171
|
2 Функциональные последовательности и ряды.....174
|
3 Равномерная сходимость...................177
|
4 Операции с функциональными рядами..........179
|
Глава 3 Гильбертовы пространства и ряды Фурье......183
|
1 Скалярное произведение...................183
|
2 Примеры гильбертовых пространств...........186
|
3 Геометрия гильбертова пространства...........189
|
4 Ряды Фурье в гильбертовом пространстве........195
|
Часть IV
|
Дифференциальные уравнения...............203
|
Глава 1 Постановка задачи для дифференциальных уравнений............................205
|
1 Примеры дифференциальных уравнений ........ 205
|
2 Задача Коши ........................... 208
|
3 Системы дифференциальных уравнений ......... 209
|
4 Частные случаи дифференциальных уравнений . . . .211
|
Глава 2 Существование и единственность решений.....214
|
1 Нормальная форма.......................214
|
2 Существование решения задачи Коши..........215
|
3 Единственность решения задачи Коши..........218
|
Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения .....221
|
1 Линейные системы.......................221
|
2 Линейная зависимость функций..............223
|
3 Фундаментальная система решений............225
|
4 Неоднородные системы....................226
|
Глава 4 Краевые задачи.........................228
|
1 Краевые условия ......................... 228
|
2 Функция Грина..........................230
|
3 Собственные функции и собственные значения .... 233
|
Глава 5 Динамические системы...................236
|
1 Автономные системы .....................236
|
2 Предельные множества траекторий............238
|
3 Динамические системы....................238
|
4 Устойчивость решений.....................239
|
Литература .................................. 242
|
В последнее время по многим специальностям в университетах читается курс под общим названием «Математика», который по идее должен включать все необходимые темы по высшей математики. С другой стороны, при постоянно сокращающемся объеме часов на математические дисциплины, возникает потребность в компактном и концентрированном учебнике по различным математическим дисциплинам.
Настоящий учебник написан для концентрированного обучения различным разделам высшей математики. Учебник выходит в двух частях.
1. Дифференциальное исчисление
2. Интегральное исчисление
3. Ряды
1. Алгебра и геометрия
2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
3. Теория функций комплексного переменного
4. Теория вероятности и математическая статистика
5. Теория оптимизации
6. Дискретная математика
Стиль изложения ориентирован на учащихся, изучающих высшую математику впервые, поэтому многие понятия и доказательства разъясняются и подробно комментируются. Однако простое изложение не является упрощенчеством, поскольку всем терминам даны строгие определения, а почти все теоремы снабжены полными доказательствами. Лишь в отдельных дисциплинах некоторые теоремы даны без доказательства.
Курс включает в себя не только все основные темы высшей математики, но и более специальные разделы такие, как алгебраические структуры, топология, методы оптимизации, интеграл Лебега и гильбертовы пространства. Подбор тем обуславливался таким образом, чтобы дать учащемуся довольно объемный «джентльменский набор» в высшей математике.
Учебник написан на основании опыта преподавания автора в различных вузах: МИРЭА — Российском технологическом университете, Московском авиационном институте (МАИ), Российском университете дружбы народов (РУДН). Опыт показывает, что объем данного курса можно уместить в четыре семестра.
Мы рекомендуем этот учебник студентам различных специальностей от экономических до инженерных и математических, а также для самообразования. Кроме того, концентрированный курс будет полезен аспирантам для быстрого вспоминания или овладения нужными разделами математики на современном уровне.
Большая часть лекций, излагаемых в учебнике, доступна в виде видеолекций, читаемых автором. Эти лекции выложены на youtube канале и на сайте shamin.ru.