Предисловие к "Лекциям" |
Предисловие к шестому тому |
1 | Алгоритмы и вычислимость |
| 1.1. | Универсальные вычисления |
| 1.2. | Что такое алгоритм |
| 1.3. | Вычислимость |
| 1.4. | Примеры и комментарии |
| 1.5. | Проблема неопределенности |
| 1.6. | Перечислимые множества |
| 1.7. | Эффективные процедуры |
| 1.8. | Машины Тьюринга |
| 1.9. | О "внутренней кухне" |
| 1.10. | Рекурсивные функции |
| 1.11. | Диофантовы множества |
| 1.12. | Комментарии и дополнения |
2 | Неполнота арифметики |
| 2.1. | Теоремы Гёделя |
| 2.2. | Неформализуемость истины |
| 2.3. | Непротиворечивость |
| 2.4. | Неразрешимые уравнения |
| 2.5. | Об арифметических истинах |
| 2.6. | Можно ли помочь арифметике извне? |
| 2.7. | Доказательство второй теоремы Гёделя |
| 2.8. | Лингвистические парадоксы |
3 | Универсальные функции и нумерации |
| 3.1. | Универсальные функции |
| 3.2. | Универсальные множества |
| 3.3. | Изоморфизм гёделевских нумераций |
| 3.4. | Теорема о неподвижной точке |
| 3.5. | Теорема Райса |
| 3.6. | Нумерации и гёделизация |
4 | Доказуемость |
| 4.1. | Конфликт с определением истины |
| 4.2. | HSI-проблема Тарского |
| 4.3. | Нормальные алгоритмы Маркова |
| 4.4. | Системы Поста |
| 4.5. | Проблема эквивалентности слов |
| 4.6. | Таг-проблемы |
| 4.7. | Формальные грамматики |
| 4.8. | Теория и практика |
5 | Математическая логика |
| 5.1. | В чем состоит миссия |
| 5.2. | Переменные, связки и функции |
| 5.3. | Булева алгебра |
| 5.4. | Формулы, высказывания, предикаты |
| 5.5. | Синтаксис и семантика |
| 5.6. | Исчисление высказываний |
| 5.7. | Языки первого уровня |
| 5.8. | Интерпретации и модели |
| 5.9. | Язык арифметики |
| 5.10. | Арифметичность вычислимых функций |
| 5.11. | Запрещенные средства |
| 5.12. | Комментарии |
6 | Диофантов язык и десятая проблема Гильберта |
| 6.1. | Диофантовы множества и функции |
| 6.2. | Неразрешимые проблемы |
| 6.3. | Универсальный многочлен |
| 6.4. | Технические результаты |
| 6.5. | Дополнения |
7 | Конструктивная математика |
| 7.1. | Конструктивные числа |
| 7.2. | Последовательность Шпеккера |
| 7.3. | Конфликт с аксиомой выбора |
| 7.4. | Актуальная бесконечность |
| 7.5. | Инструмент или реальность |
8 | Аксиоматические теории |
| 8.1. | Арифметика Пеано |
| 8.2. | Парадокс категоричности |
| 8.3. | Аксиоматика Цермело--Френкеля |
| 8.4. | Неевклидова геометрия |
| 8.5. | Гипотеза континуума |
9 | Теория моделей |
| 9.1. | Логический аспект |
| 9.2. | Что стоит за результатами Генцена |
| 9.3. | Парадокс Сколема |
| 9.4. | Модели булевых структур |
| 9.5. | Как модель разрушает схему |
| 9.6. | Абстрактные и конкретные модели |
| 9.7. | В чем состоит общая идея |
| 9.8. | Конечные базисы |
10 | Степени неразрешимости |
| 10.1. | Сводимость |
| 10.2. | Продуктивность и креативность |
| 10.3. | Иммунные множества |
| 10.4. | Вычисления с оракулом |
| 10.5. | Тьюринговы степени |
| 10.6. | Иерархия степеней |
11 | Сводка определений и результатов |
| 11.1. | Алгоритмы и вычислимость |
| 11.2. | Неполнота арифметики |
| 11.3. | Универсальные функции и нумерации |
| 11.4. | Доказуемость |
| 11.5. | Математическая логика |
| 11.6. | Диофантов язык и десятая проблема Гильберта |
| 11.7. | Конструктивная математика |
| 11.8. | Аксиоматические теории |
| 11.9. | Теория моделей |
| 11.10. | Степени неразрешимости |
Сокращения и обозначения |
Литература |
Предметный указатель |
Отвлекаясь по дороге в баню на поездку
в Сочи, забываешь куда идешь.
Для нормального изучения любого математического предмета
необходимы, по крайней мере, 4 ингредиента:
1) живой учитель;
2) обыкновенный подробный учебник;
3) рядовой задачник;
4) учебник, освобожденный от рутины,
но дающий общую картину, мотивы, связи, "что зачем".
До четвертого пункта у системы образования руки не доходили.
Конечно, подобная задача иногда ставилась и решалась, но в большинстве случаев -- при параллельном исполнении функций
обыкновенного учебника. Акценты из-за перегрузки менялись,
и намерения со второй-третьей главы начинали дрейфовать, не достигая
результата. В виртуальном пространстве так бывает. Аналог
объединения гантели с теннисной ракеткой перестает решать обе
задачи, хотя это не сразу бросается в глаза.
"Лекции" ставят 4-й пункт своей главной целью. Сопутствующая
идея -- экономия слов и средств. Правда, на фоне деклараций
о краткости и ясности изложения предполагаемое издание около 20 томов
может показаться тяжеловесным, но это связано с обширностью
математики, а не с перегрузкой деталями.
Необходимо сказать, на кого рассчитано. Ответ "на всех" выглядит
наивно, но он в какой-то мере отражает суть дела. Обозримый вид,
обнаженные конструкции доказательств, -- такого сорта книги удобно
иметь под рукой. Не секрет, что специалисты самой высокой категории
тратят массу сил и времени на освоение математических секторов,
лежащих за рамками собственной специализации. Здесь же ко многим
проблемам предлагается короткая дорога, позволяющая быстро освоить
новые области и освежить старые. Для начинающих "короткие дороги"
тем более полезны, поскольку облегчают движение любыми другими
путями.
В вопросе "на кого рассчитано", -- есть и другой аспект.
На сильных или слабых? На средний вуз или физтех? Опять-таки выходит
"на всех". Звучит странно, но речь не идет о регламентации
кругозора. Простым языком, коротко и прозрачно описывается предмет.
Из этого каждый извлечет свое и двинется дальше.
Наконец, последнее. В условиях информационного наводнения
инструменты вчерашнего дня перестают работать. Не потому, что
изучаемые дисциплины чересчур разрослись, а потому, что новых
секторов жизни стало слишком много. И в этих условиях мало кто готов
уделять много времени чему-то одному. Поэтому учить всему -- надо
как-то иначе. "Лекции" дают пример. Плохой ли, хороший --
покажет время. Но в любом случае, это продукт нового поколения. Те же "колеса", тот же "руль", та же математическая суть, --
но по-другому.
Предисловие к шестому тому
Фундамент нужен не потому, что в подвале жить хорошо.
Диапазон "от Диофанта до Тьюринга" подразумевается смысловой.
Короче, речь идет о дискретной математике в той ее части, которая
касается "оснований". Вычислимость, доказуемость, теоремы Гёделя,
неразрешимые проблемы, -- вот круг вопросов, определяющих русло
изложения.
Что касается мотивации, то в обычном понимании ее нет, поскольку
основания математики то и дело натыкаются на непреодолимые преграды,
оставаясь, как говорится, при своих. Но чего, собственно, ожидать
на краю? На грани, где возможное переходит в невозможное, жизнь --
в смерть, теорема -- в парадокс. По сути -- ожидать нечего. Однако,
как и в поиске смысла жизни, основную роль здесь играют побочные
эффекты.
О загадке бестселлеров В.Босса
Книгу В.Босса "Интуиция и математика" я перечитал три раза! Потом
еще раз, чтобы разобраться,
в чем дело, но скрытых пружин так
и не нашел. Конечно, великолепный
подбор миниатюр, точный язык,
мягкий юмор, располагающая интонация, -- но все это вместе взятое
не объясняет результат даже наполовину.
Сын моего приятеля -- парню
14 лет -- выучил "Интуицию" почти
наизусть. Измучил родителей вопросами,
прочел гору дополнительной
литературы. Понятно -- особый
случай, но показательный! В целом
ситуация, безусловно, мягче. Однако
отзывы все положительные,
а процент восторженных -- удивителен
и необъясним.
"Лекции по математике" того же автора -- другое дело. Кое-кто
из моих коллег принял их в штыки,
поскольку система образования,
естественно, противится нововведениям.
Лишняя головная боль для
преподавателя. Тем не менее, в результате
итогового обсуждения -- первые
два тома "Лекций" пришли
к нам на отзыв -- В.Босс получил
высший бал.
Лично мне "Лекции" нравятся даже
больше, чем "Интуиция". Ясное
и продуманное изложение предмета.
Лаконичное до неправдоподобия,
но без ущерба для содержания.
Вот что по этому поводу пишет сам
автор: "Первая часть книги -- сжатый
курс матанализа. Чушь более
сотни страниц, но "все есть". Некоторые
детали, конечно, опускаются,
но это не потери, а приобретения.
Сбросив десяток лишних
килограмм, человек выглядит лучше,
живет интереснее. Так и здесь.
Многие подробности мешают видеть
суть. И освобождение от балласта,
как ни странно, позволяет
обсуждать принципиальные вопросы,
на которые в толстых учебниках
не хватает места".
Первый опыт показывает, что студенты -- и сильные, и слабые -- благосклонно
принимают "Лекции".
В этом еще одна удивительная, хотя
и понятная особенность изложения.
Короткий и ясный взгляд на предмет,
обсуждение мотивов, общая
картина, -- нужны всем.
Наконец, я бы не писал в газету,
если бы речь шла просто о хороших
и даже очень хороших книгах.
"Лекции" В.Босса, на мой взгляд,
явление неординарное. Дело в том,
что информационная лавина сейчас
многое меняет. В результате,
сложившаяся система образования
подходит к критической точке. Конечно,
как в доме накапливаются
ненужные вещи, так и в образовании
со временем укореняется масса
атавизмов. Но хуже другое. То,
без чего вроде бы нельзя обойтись,
перестает помещаться в рамки. Поэтому
необходимы новые подходы
и принципы. "Лекции" обеспечивают
прорыв в этом направлении.
Профессор МФТИ А.П.Афанасьев
-- Нельзя ли в двух словах о главной особенности "Лекций"?
-- Диалектика обучения -- во взаимодействии сторон. Понимание -- умение.
Суть -- детали. "Лекции" добиваются понимания.
-- Как?
-- Правдами и неправдами (улыбается). Очень важно, например, поместить проблему
"целиком в кадр". Чтобы видно было "сразу все".
-- Объяснениями на пальцах?
-- Когда как, только "коротко и ясно". Упрощения, недомолвки. Но главное -- обнажение сути.
-- А что посоветуете, если завтра экзамен, а в голове пусто?
-- Таблетку димедрола.
В условиях информационного наводнения инструменты вчерашнего дня перестают
работать. Поэтому учить надо как-то иначе. "Лекции" дают пример. Плохой
ли, хороший -- покажет время. Но в любом случае, это продукт нового
поколения. Те же "колеса", тот же "руль", та же математическая суть, -- но
по-другому.
В.Босс
Чтобы усвоить предмет, надо освободить его от деталей, обнажить центральные
конструкции, понять, как до теорем можно было додуматься. Это тяжелая
работа, на которую не всегда хватает сил и времени. В "Лекциях" такая работа
проделывается автором.
Популярность книг В. Босса среди преподавателей легко объяснима. Дается то,
чего недостает. Общая картина, мотивация, взаимосвязи. И самое главное --
легкость вхождения в любую тему.
Содержание продумано и хорошо увязано. Громоздкие доказательства ужаты до
нескольких строчек. Виртуозное владение языком. Что касается замысла
изложить всю математику в 20 томах, с трудом верится, что это по силам
одному человеку.
Лекции В. Босса -- замечательные математические книги. Как учебные пособия,
они не всегда отвечают канонам преподавания, но студентам это почему-то
нравится.
Босс В.
Российский ученый, просветитель и популяризатор науки, заведующий сектором Института проблем управления Российской академии наук (ИПУ РАН); доктор физико-математических наук, профессор кафедры проблем управления Московского физико-технического института (МФТИ). Создатель и автор крупного Интернет-проекта «Школа Опойцева».
Практически вся его научная деятельность связана с работой в Институте проблем управления, где в качестве ведущего специалиста в области управления социальными и экономическими системами, статики и динамики сложных систем, он принимал участие во многих научно-прикладных программах и разработках. Руководил прикладными исследованиями для Госплана и Министерства связи СССР, а также крупной научно-исследовательской работой по расчету и оптимизации структуры бортовых вычислительных систем.
Талантливый лектор, Валерий Иванович всегда был увлечен просветительской деятельностью, часто разъезжал по стране, буквально — от Балтики до Камчатки, в качестве активного члена Общества «Знание» — «академии миллионов».
За время работы в Австралии (1998–2001) опубликовал множество статей по математике на английском языке и читал лекции для профессоров в Квинслендском университете.
Последние годы Валерий Иванович посвятил проекту «Школа Опойцева» — это книги, видеолекции и учебные материалы по математике и физике для высшего и школьного образования.
Он был убежден, что: «В условиях информационного наводнения инструменты вчерашнего дня перестают работать. Поэтому учить надо как-то иначе. „Лекции“ дают пример. Плохой ли, хороший — покажет время. Но в любом случае это продукт нового поколения. Те же „колеса“, тот же „руль“, та же математическая суть — но по-другому».