Обложка Люстерник Л.А. Кратчайшие линии: Вариационные задачи
Id: 259388

Кратчайшие линии:
Вариационные задачи № 208. Изд. 2, стереотип.

URSS. 2020. 104 с. ISBN 978-5-9710-7412-0.

Аннотация

Вниманию читателей предлагается книга выдающегося советского математика, члена-корреспондента АН СССР Л.А.Люстерника, в которой с элементарной точки зрения исследуется ряд так называемых вариационных задач. В этих задачах рассматриваются величины, зависящие от кривой, и ищется кривая, для которой эта величина достигает своего наибольшего или наименьшего значения. Материал книги в основном излагался автором на лекциях в школьном ...(Подробнее)математическом кружке МГУ.

У читателя предполагается только знакомство с курсом элементарной математики. При этом первые главы носят совершенно элементарный характер, другие же, не требуя специальных знаний, требуют несколько большего навыка к математическому чтению и размышлению. Весь материал книги можно рассматривать как элементарное введение в вариационное исчисление.

Книга будет полезна преподавателям математики средней и высшей школы, руководителям математических кружков, студентам математических отделений университетов и педагогических институтов, школьникам старших классов, а также всем любителям математики.


Оглавление
Введение................................... 5
ЛЕКЦИЯ 1
Глава I. Кратчайшие линии на простейших поверхностях 7
§ 1. Кратчайшие линии на многогранных поверхностях . . 7
§ 2. Кратчайшие линии на поверхности цилиндра...... 12
§ 3. Кратчайшие линии на конической поверхности..... 20
§ 4. Кратчайшие линии на поверхности шара........ . 28
Глава II. Некоторые свойства плоских и пространственных кривых и относящиеся к ним задачи .... 36
§ 5. Касательная и нормали к плоским кривым и связанные с ними задачи...................... 36
§ 6. Некоторые сведения из теории плоских и пространственных кривых........................ 41
§ 7. Некоторые сведения из теории поверхностей...... 45
Глава III. Геодезические линии.................. 47
§ 8. Теорема И. Бернулли о геодезических линиях..... 47
§ 9. Дополнительные замечания о геодезических линиях. 52
§ 10. Геодезические линии на поверхностях вращения . . 57
ЛЕКЦИЯ 2
Глава IV. Задачи, связанные с потенциальной энергией натянутой нити........<............... 60
§ И. Движения линий, не меняющие их длин......... 60
§ 12. Эволюты и эвольвенты................... 66
§ 13. Задачи на равновесие системы упругих нитей..... 67
Глава V. Изопериметрическая задача.............. 72
§ 14. Кривизна и геодезическая кривизна........... 72
§ 15. Изопериметрическая задача................. 75
Глава VI. Принцип Ферма и его следствия .......... 81
§ 16. Принцип Ферма........................ 81
§ 17. Кривая рефракции....................... 83
§ 18. Задача о брахистохроне.................. 87
§ 19. Цепная линия и задача о наименьшей поверхности вращения............................ 90
§ 20. Связь между механикой и оптикой ........... 99

Введение

В настоящей книжке исследуется с элементарной точки зрения ряд так называемых вариационных задач. В этих задачах рассматриваются величины, зависящие от кривой, и ищется кривая, для которой эта величина достигает своего наибольшего или наименьшего значения. Таковы, например, задачи: среди всех кривых, соединяющих две точки на некоторой поверхности, найти кратчайшую; на плоскости среди всех замкнутых кривых заданной длины найти ту, которая ограничивает наибольшую площадь, и т. д.

Материал этой книги в основном излагался автором на лекциях в школьном математическом кружке МГУ. Содержание первой лекции (§§ 1—10) в основном совпадает с содержанием вышедшей в 1940 г. брошюры автора «Геодезические линии».

У читателя предполагается только знакомство с курсом элементарной математики. При этом первые главы носят совершенно элементарный характер, другие же, не требуя специальных знаний, требуют несколько большего навыка к математическому чтению и размышлению.

Весь материал книжки можно рассматривать как элементарное введение в вариационное исчисление (так называется тот раздел математики, в котором систематически изучаются задачи на отыскание минимума или максимума функционалов). Вариационное исчисление не входит в первый концентр курса «высшей математики», изучающегося, например, в технических вузах. Однако мы считаем, что для человека, приступающего к изучению курса «высшей математики», не бесполезно заглянуть подальше вперед.

Для читателя, знакомого с элементами математического анализа, не представит труда сделать некоторые определения и рассуждения, излагаемые в книжке не строго, совершенно строгими (поясняющие соображения для этого он часто найдет в тексте, данном мелким шрифтом); нужно, например, говорить не о малых величинах и их приближенном равенстве, а о бесконечно малых величинах и их эквивалентности. Если более взыскательный читатель останется все же неудовлетворенным допущенным здесь уровнем строгости и логической законченности рассмотрений, то пусть это послужит для него объяснением необходимости той логической шлифовки основных понятий математического анализа, с которой он столкнется, например, в университетских курсах анализа. Без этой шлифовки невозможно строгое и систематическое изложение таких глав анализа, как вариационное исчисление.

Математический анализ выработал мощный аналитический аппарат, решающий иногда автоматически многие трудные задачи. Однако на всех этапах овладения математикой исключительно важно видеть простой геометрический или физический смысл решаемой задачи. Нужно уметь решать задачи «на пальцах», как говорят математики, т. е. находить пусть нестрогое, но простое и наглядное доказательство.

Если эта небольшая книжка хоть в некоторой мере будет способствовать развитию у читателей этих элементов математической культуры, то автор будет считать, что труд, затраченный им на ее написание, оказался не бесполезным.


Об авторе
Люстерник Лазарь Аронович
Выдающийся советский математик, член-корреспондент АН СССР. Родился в городе Здуньска-Воля (ныне Лодзинское воеводство, Польша). Окончил физико-математический факультет Московского университета в 1922 г. Ученик создателя московской математической школы Н. Н. Лузина; был участником знаменитой «Лузитании». В 1924–1926 гг. учился в аспирантуре НИИ математики и механики МГУ. В 1927 г. избран приват-доцентом Московского университета. В 1928–1930 гг. был профессором Горьковского пединститута, а с 1930 г. до последних дней — профессором Московского университета. С 1934 по 1948 гг. занимал должности старшего научного сотрудника, заведующего отделом, заместителя директора Математического института (МИАН) им. В. А. Стеклова. Одновременно в 1936–1943 гг. — заведующий кафедрой функционального анализа механико-математического факультета; читал курс функционального анализа. В 1948–1955 гг. занимал должность заведующего отделом Института точной механики и вычислительной техники АН СССР.

В область научных интересов Л. А. Люстерника входили функциональный анализ, вариационное исчисление, дифференциальная геометрия и алгебраическая топология, методы которой он стал применять в анализе. Вместе с Л. Г. Шнирельманом он доказал гипотезу А. Пуанкаре о том, что каждая регулярная замкнутая поверхность, гомеоморфная сфере, имеет не менее трех замкнутых геодезических (эллипсоид с различными, но почти равными осями является критическим случаем, когда таких геодезических точно три). Он также работал в области математической физики, вычислительной математики, истории науки. За разработку новых топологических методов исследования в математическом анализе он в 1946 г. был награжден Сталинской премией второй степени. Его работы внесли значительный вклад в достижения советской математической школы и применение средств вычислительной техники для решения практических задач во многих областях науки.